2020-2021高三数学下期中试卷含答案(2)
一、选择题
1.等差数列{}n a 中,已知70a >,390a a +<,则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为( ) A .4S
B .5S
C .6S
D .7S
2.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( ) A .65
B .184
C .183
D .176
3.ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2b =,6
B π
=,4
C π
=
,
则ABC ?的面积为( ) A
.2+B
1
C
.2
D
1
4.设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥??
+-≤??+-≥?
,则3z x y =+的最大值是( )
A .9
B .8
C .3
D .4
5.设数列{}n a 是等差数列,且26a =-,86a =,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ). A .45S S <
B .45S S =
C .65S S <
D .65S S =
6.如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则 A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形
C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形
D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<,则( ) A .n S 的最大值是8S B .n S 的最小值是8S C .n S 的最大值是7S
D .n S 的最小值是7S
8.已知ABC ?中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =
,c =,
30B =?,则AB 边上的中线的长为( )
A
B .
34
C .
32或
37
D .
34或37
9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且满足21,,n n n S S S ++成等差数列,则3a 等于( ) A .
1
2
B .12
-
C .
14
D .14
-
10.如果等差数列{}n a 中,3a +4a +5a =12,那么1a +2a +…+7a =( ) A .14
B .21
C .28
D .35
11.等差数列{}n a 中,已知611a a =,且公差0d >,则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A .6
B .7
C .8
D .9
12.已知4
2
1
3332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<
D .c a b <<
二、填空题
13.要使关于x 的方程(
)
2
2
120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小,则a 的取值范围是__________.
14.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且13a =,131n n a S +=+,*n ∈N ,则5S =______. 15.已知△ABC 中,角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ,且bcosC ﹣ccosB 14
=a 2
,tanB =3tanC ,则a =_____.
16.设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3,则a 4 = ___________.
17.已知数列111
1
12123123n
+++++++L L L ,,,,,,则其前n 项的和等于______. 18.在
中,若
,则
__________.
19.在△ABC 中,2BC =,7AC =3
B π
=
,则AB =______;△ABC 的面积是
______.
20.(理)设函数2
()1f x x =-,对任意3,2x ??∈+∞????
,
2()4()(1)4()x
f m f x f x f m m
-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 三、解答题
21.已知锐角ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足
22sin 1cos A C B =-.
(1)若2a =,22c =,求b ; (2)若14
sin 4
B =
,3a =,求b . 22.在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且
cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. (Ⅰ)求角B 的大小;
(Ⅱ)若ABC ?的面积为
33
4
,其外接圆的半径为533,求ABC ?的周长.
23.已知函数()11f x x x =-++. (1)解不等式()2f x ≤;
(2)设函数()f x 的最小值为m ,若a ,b 均为正数,且14
m a b
+=,求+a b 的最小值.
24.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且
240a bc -=.
(1)当5
2,4
a m ==
时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围.
25.数列{}n a 中,11a = ,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足2
1()2
n n n S a S =?-.
(1)求n S 的表达式; (2)设n b =
21
n
S n +,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.已知在等比数列{a n }中,2a =2,,45a a =128,数列{b n }满足b 1=1,b 2=2,且{1
2
n n b a +
}为等差数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和
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一、选择题 1.C 解析:C 【解析】
【分析】
先通过数列性质判断60a <,再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】
∵等差数列{}n a 中,390a a +<,∴39620a a a +=<,即60a <.又70a >,∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值,将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.
2.B
解析:B 【解析】
分析:将原问题转化为等差数列的问题,然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解:由题意可得,8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列,且前8项和为996, 设首项为1a ,结合等差数列前n 项和公式有:
81187
8828179962
S a d a ?=+
=+?=, 解得:165a =,则81765717184a a d =+=+?=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛:本题主要考查等差数列前n 项和公式,等差数列的应用,等差数列的通项公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.B
解析:B 【解析】
试题分析:根据正弦定理,
,解得
,
,并且
,所以
考点:1.正弦定理;2.面积公式.
4.A
解析:A 【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标还是在点
()3,2C 处取得最大值,其最大值为max 33329z x y =+=+?=.
本题选择A 选项.
5.B
解析:B 【解析】
分析:由等差数列的性质,即2852a a a +=,得5=0a ,又由545S S a =+,得54S S =. 详解:Q 数列{}n a 为等差数列, 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ,5=0a ∴
由数列前n 项和的定义545S S a =+,54S S ∴= 故选B.
点睛:本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用,解题时要认真审题,注意灵活运用数列的基本概念与性质.
6.D
解析:D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0,则111A B C ?是锐角三角形,若222A B C ?是锐角三角
形,由
,得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-,那么,2222
A B C π
++=,矛
盾,所以222A B C ?是钝角三角形,故选D.
7.D
解析:D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形,结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性,从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号,即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知,得()11n n n S nS ++<, 所以
1
1
n n S S n n +<+, 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+, 所以1n n a a +<,
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<,即
8
7
1a a <-, 所以80a >,70a <,
即数列{}n a 前7项均小于0,第8项大于零, 所以n S 的最小值为7S , 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用,等差数列单调性的证明和应用,前n 项和最值的判断,属于中档题.
8.C
解析:C 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得29180a a -+=,解得a 值,由已知可求中线1
2
BD c =
,在BCD V 中,由余弦定理即可计算AB 边上中线的长. 【详解】
解:3,30b c B ===o Q ,
∴
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得292722
a a =+-??,
整理可得:29180a a -+=,∴解得6a =或3.
Q 如图,CD 为AB 边上的中线,则12BD c ==,
∴在BCD V 中,由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-??,可得:
2226(
26222CD =+-???,或2223()23222
CD =+-??,
∴解得AB 边上的中线32CD =
或37. 故选C .
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.
9.C
解析:C 【解析】
试题分析:由21,,n n n S S S ++成等差数列可得,212n n n n S S S S +++-=-,即
122n n n a a a ++++=-,也就是2112n n a a ++=-,所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-,从而
223111
1()24
a a q ==?-=,故选C.
考点:1.等差数列的定义;2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
10.C
解析:C 【解析】
试题分析:等差数列{}n a 中,34544123124a a a a a ++=?=∴=,则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +?+++=
=
==L
考点:等差数列的前n 项和
11.C
解析:C 【解析】
因为等差数列{}n a 中,611 a a =,所以611611115
0,0,,2
a a a a a d =-=-,有2[(8)64]2
n d
S n =
--, 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 12.A
解析:A 【解析】 【分析】 【详解】
因为422233332=4,3,5a b c ===,且幂函数23