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带状对称正定矩阵的并行 Cholesky 分解及其实现

带状对称正定矩阵的并行 Cholesky 分解及其实现
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矩阵的正定性及其应用论文

矩阵的正定性及其应用 摘 要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后,简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义.在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例. 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T = (1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T (或0. 定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p = 定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是:存在非奇异矩阵C , 使 C C A T =.即E A 与合同。 推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编

正定矩阵的判定方法及正定矩阵 在三个不等式证明中的应用 作者:袁亮(西安财经大学) 摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发,给出了正定矩阵的若干判定定理及推论,并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵,判定,不等式,应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application

目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)

1 引言 代数学是数学中的一个重要的分支,而正定矩阵又是高等代数中的重要部分.特别是正定矩阵部分的应用很广泛, n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中,占有十分重要的地位.它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用,而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法,并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵,若对任意n x∈,且0 R x, ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义,给出正定矩阵的判定定理,并给> 出正定矩阵的重要推论,这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用,并在矩阵对策,经济均衡,障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用,其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式,其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明,其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式,这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面,它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定 设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有* X A X>0,则称A是正定矩阵. 例1设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,T B为B的转置矩阵,试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r(B)=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵,则对任意的实n维列向量0 x, ≠

正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用 摘要:正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念,深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此,本文首先对正定矩阵的定义进行了描述,其次研究了正定矩阵的性质与判定方法,最后简单介绍了其具体应用。 关键词:正定矩阵;基本性质;推论;判定;应用 前言:矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念,如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程,二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应,甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型,正定矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义 设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量X=(x1,……,xn) 都有X′MX>0,就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型,即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米矩阵)也是正定矩阵。 另一种定义:一种实对称矩阵,正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质 当矩阵A为正定矩阵的时候,则必有以下几个性质,即: (1)aii>0,i=1,2,……,n; (2)A的元素的绝对值最大者,必定为主对角元; (3)≤annAn-1 ,其中,An-1是A的n-1阶主子式; (4)≤a11a22……ann,当且仅当A为对角阵的时候成立; 而除了以上这几个性质外,还有若干个推论也是比较重要的,在很多应用中

正定矩阵的判定

正定矩阵的判定 摘 要:鉴于正定矩阵的重要性及其应用的广泛性,本文给出了正定矩阵判定的若干等价条件并逐条予以证明,并辅助典型例题。 关键词:正定矩阵;正交矩阵;判定;特征值;正定二次型 一、利用定义 (一)n 阶实对称矩阵A 称为正定矩阵,如果对于任意的n 维实非零列向量X ,都有 T X AX 0>。正定的实对称矩阵A 简称为正定矩阵,记作0A >。 例1 设A 是正定矩阵,P 是非奇异实方阵,则T P AP 也是正定矩阵。 证明:因为A 是实对称阵,故T P AP 显然也是实对称阵,又对任何实的非零列向量X , 由于PX ≠0(P 是非奇阵),故() T T X P AP X 0>,即T P AP 是正定阵。 1.实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维实非零列向量 X =12x x ?? ? ? ??? ≠0, 二次型'X AX 是正定二次型。 2.实对角矩阵1n d d ?? ? ? ??? 是正定矩阵的充分而且必要条件是i d >0(i =1,2, n )。 3.实对称矩阵A 是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型'X AX 的秩与符号差都等 于n 。 二、利用主子式 (一)n 阶实对称矩阵A 的一切顺序主子式都大于0,则A 为正定矩阵。 证明:对n 作数学归纳法。当1n =时,()2 1111f x a x =,由条件11a >0,显然有 ()1f x 是正定的。假设该论断论断对1n -元二次型已经成立,现在来证n 元的情形。 令 111,111,11,1n n n n a a A a a ----?? ?= ? ??? ,11,n n n a a α-?? ?= ? ???

实对称矩阵正定、半正定的简易判别

目 录 1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1) 2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。 .............................................. 3 2. 3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E [] 3. (4) 2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数 [] 9等于n 。 (5) 2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。 ................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =,其中A A T =,()n x x x f ,,,21 半正定。 . 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的 秩。 (5) 2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零, 但至少有一个特征值等于零。 (5) 2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。 ............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T =,则A 半正定。 (5) 2.4.6 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是它与矩阵?? ? ? ??000r E 合同。..... 5 3.利用合同变换原理推出的降阶法[]1判别实对称矩阵的正定与半正定。 ............................................... 5 4.实对称正定矩阵的另一个充分必要条件 .................... 8 5.实对称矩阵为正定的充分性的判别法. ..................... 9 6.实对称矩阵半正定的一个新依据 .........................11 7.实对称矩阵的一个简单应用 . (13)

对称正定矩阵与反对称矩阵性质

Science Bird改组为:

08中科大高代 232 3 23567A(4{111}A(008A(λλλλλλλλλλλ??+n -1一、填空 1、已知方阵A,求A 、已知方阵A,求A 、线性方程组 4、求以A(1,-2,1),B(2,3,0),C(0,-1,4),D(1,3,-1)为四顶点的四面体 的体积。、向量组线性相关 、求线性变换在某基下的矩阵 、已知四阶方阵)的秩为,初等因子组为,,,()(),,则)的不变因子是____,行列式因子是___ 、)=220 0Smith ___0010100010109A=Jordon ______ 00101000100000110λλλλ?? +?? ????????????? ?????????? ,求它的标准形、的标准形是、求实正交阵的正交相似标准形。 n n 1212F P FA=AF A 12 :112x-y+z=0 2 (1)l l 2l l y x z ππ×∈+?= =???1二、若对任意可逆,,则为数量矩阵。三、证明:酉矩阵的特征值的模长是。四、已知直线l 和平面:、求在上的投影直线的方程 ()、求绕旋转所得的旋转曲面的方程 222123123122331123123A B A+B A B A+B Q(x ,x ,x )x x x 4x x 4x x 4x x 1Q(x ,x ,x )2Q(x ,x ,x )1n A B A+B P P P P P P =++?+?=≥五、已知二次型( )用正交变换将化为标准形()判断曲面的类型 六、阶实对称方阵,,的正惯性指数分别是,,证明:+

1s 1s 2s 1n 2s 1n n A B *****0****00B ***B=,B B ,,000***000000000λλλλ???????????????????? %""%++七、证明:阶实方阵正交相似于一个准上三角阵 其中,,为二阶实方阵;为实数。 A B A B 八、设实方阵,相似且相合,问,是否正交相似,试证之。

讨论对称矩阵的正定性-模板

讨论对称矩阵的正定性 本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。关键词:对称矩阵,正定性二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,其中正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵,那么,正定矩阵就一定是对称矩阵.那么怎样的对称矩阵是正定矩阵呢?本文将给出正定矩阵的定义以及判别实对称矩阵正定的常用条件. 设=,(其中C,i,j=1,2,…,n), 的共轭转置记为= 定义对于复对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵. 若仅在实数域上考虑,此定义等价于 定义对于实对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵. 由于二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,此定义又等价于 定义如果对于任一组不全为零的非零实数,,…,,都有 f(,,…,)=>0,则称实二次型f(,,…,)是正定的. 由以上定义可知正定矩阵的和仍是正定矩阵. 事实上若与为同价正定矩阵,则对于非零列向量=(,,…,)0,必有>0, >0,从而(+)=+ >0, 所以+也是正定的. 定理 n阶实对称矩阵正定,当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n. 证明设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得 ++…+(*) 由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么正定当且仅当(*)是正定的,由定义知(*)正定当且仅当>0 (i=1,2,…,n,),因此,正惯性指数为n. 推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0,(i=1,2,…,n,). 证明由定理得,实对称矩阵正定当且仅当二次型 f(,,…,)=++…+的正惯性指数为n,因此,>0 (i=1,…,n,). 推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n.

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