精选题13_压杆稳定

压杆稳定

1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径10 mm d =的细长圆杆，弹性模量

200 GPa,E = 屈服极限s 360 MPa σ=，试求此结构的破坏载荷F 值。

解：1

2.37 m, sin()26

H α==, 0.169()Cy Dy F F F =-=↓,

N1N4N2N30.507F F F F F ==-=-=

由杆1，4，N11s 0.507F F A σ==，s 155.8 kN 0.507

A

F σ=

=

由杆2，3，2N2cr 2π0.673 kN EI F F l ===, cr 2 1.33 kN 0.507

F

F ==

结构破坏载荷 1.33 k N

F = 2. 图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为30 mm, 1 m d l ==。各杆

的弹性模量均为200 G P

E =p 0100, 61λλ==，直线经验公式系数304 MPa, 1.12 MPa a b ==，许用应力[]160 MPa

σ=，并规定稳定安全因数st []3n =，试求此结构的许可载荷[]F 。

解：由平衡条件可知杆1，2，3，4受压，其轴力为

N1N2N3N4N F F F F F =====

杆5受拉，其轴力为N5F F =

按杆5的强度条件：N5[], []113 kN F

F A A

σσ≤≤=

按杆1，2，3，4的稳定条件 p 133λλ=> 由欧拉公式 cr 78.48 kN F =

cr

st N

[]F n F ≥ 37.1 kN F ≤

[]37.1 kN F =

3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联，如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已知杆长 2 m l =，横截面积220 cm A =，惯性矩440 cm z I =；钢的弹性模量

m

s 200 GPa E =，铜的弹性模量c 100 GPa E =，钢的线膨胀系

数6s 105.12-?=α℃-1，铜的线膨系数6c 105.16-?=α℃-1。 解：铜杆受压，轴力为Nc F ，钢杆受拉，轴力为Ns F ，Nc Ns N F F F ==

由协调条件 s c l l ?=? 即 N N s c s c F l F l

tl tl E A E A

αα?+

=?- N c s s c

11

()()F t A E E αα?=

+-

铜杆为细长杆 2c cr 2π98.7 kN E I

F l

==

当 Nc cr

F F =时失稳, 此时 185 C

t ?= 4. 图示矩形截面杆AC 与圆形截面杆CD 均用低碳钢制成，C ，D 两处均为球铰，材料的弹性模量200 GPa E =，强度极限b 400 MPa σ=，屈服极限s 240 MPa σ=，

比例极限p 200 M P a σ=，直线公式系数304 M P a a =, 1.118 MPa b =。

p 0100, 61λλ==，强度安全因数[] 2.0n =，稳定安全因数st [] 3.0n =，试确定结构的最大许可载荷F 。 解：(1) 由梁AC 的强度

2

max max

max 2, , []

36 97.2 kN z z

M F bh

M W W F σσ===≤≤得 (2) 由杆CD 的稳定性

cr

p cr N N 1200, 15.50 kN, ,

33

15.50 kN, []15.50 kN

CD CD F F F F F F F λλ=>==≥≤=

5. 图示两端固定的工字钢梁，横截面积22

6.1 cm A =，惯性矩4

1 130 cm z I =，

493.1 cm y I =,长度6 m l =，材料的弹性模量200 GPa E =，比例极限

p 200 MPa σ=，屈服极限s 240 M P a σ=，直线公式的系数

304 M P a , a b ==，线膨胀系数712510/l α-=?℃，当工字钢的温度升高

10t ?=℃时，试求其工作安全因数。 解：p 158.799.3λλ=>=

由欧拉公式，可得临界应力cr 78.2 MPa σ=

温度应力 25 MPa l tE σα=?= 工作安全因数 cr

st 3.13n σσ

=

=

6. 图示正方形平面桁架，杆AB ，BC ，CD ，DA 均为刚性杆。杆AC ，BD 为弹性圆杆，其直径20 mm d =，杆长550 mm l =；两杆材料也相同，比例极限

p 200 MPa σ=, 屈服极限s 240 MPa σ=，弹性模量200 GPa E =，直线公式系数304 MPa a =, 1.12 MPa b =，线膨胀系数612.510/l α-=?℃，当只有杆AC 温度升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量cr t ?。 解：由平衡方程可得：N N N AC BD F F F == (压) 由变形协调方程，并注意到小变形， 有AC

BD ??

即 N N AC BD l F l F l

tl EA EA

α?-=

又由 p 110

99λλ=>=, 知2cr 2πEI

F l

= 令 N cr F F =, 得 22

cr 2

π130.58d t l

α?==℃ 7. 图示结构，已知三根细长杆的弹性模量E ，杆长l ，横截面积A 及线膨胀系数

α均相同。问：当升温t ?为多大时，该结构将失稳。

解：由 N l F l

tl EA α?=， 可得 N l F t E A α=?

细长杆： 2cr 2π EI

F l

=

当 N cr F F =时失稳 22πl EI tEA l =?α 得 2

2πAl

I

t l α=? 8. 图示结构ABC 为矩形截面杆，60 mm, 100 mm, 4 m b h l ===，BD 为圆截面杆，直径60 mm d =，两杆材料均为低碳钢，弹性模量200 GPa E =, 比例极限

p 200 MPa σ=,屈服极限s 240 MPa σ=，直线经验公式为cr (304 1.12) MPa σλ=-，均布载荷 1 kN/m q =，稳定安全因数st []3n =。试校核杆BD 的稳定性。 解：(1) 由协调方程，Δcos 45

BD

B l f = 得

3

4N cos 45(2)5(2)38448BD F l q l EI EI -

=

解得 N 7.06 k N BD F = (2) 杆BD ：p 377100λλ=>= 由欧拉公式：cr 39 kN F =

cr

st st N 5.56[]BD

F n n F =

=>，安全。 B

D

A

C

9. 正方形截面杆，横截面边长a和杆长l成比例增加，它的长细比有4种答案：

(A)成比例增加；(B)保持不变；(C)按2

(/)

l a变化；(D)按2

(/)

a l变化。

答：B

10. 非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力。答：大。

11. 两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形，其它条件均相同，则横截面为的柔度大，横截面为的临界力大。

答：圆形；正方形。

12. 在水平面ABC上用同材料的三根杆支持F。A、B、

C、D均为铰链节点。铅直力F的作用线恰好通过等边

三角形ABC的形心G。已知DG AB h

==。三杆截面均

为圆形，直径为d，材料的弹性模量为E。适用欧拉公

式的临界柔度是90。已知20

h d

=，试确定最大力F。

解：

2

sin60

23

BE

BE h BG BD

=?=====

1234N N

, 3sin,

N N N N

F F F F F DB

G F F

===∠===

所以

4

344

22

π

92.490,

64

π0.03π

()

d

Ed Ed

F

h h

λ

2

3

==>=

=?=

所以

13. 图示结构，由圆杆AB、AC通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹性模量均分别相等，BC间的距离保持不变，F为给定的集中力。试按稳定条件确定用材最省的高度h和相应的杆直径D。（设给定条件已满足大柔度压杆的要求。）

解：杆达到临界状态时，

cr22

πEI

F

h l

2

=

+

，

此时之F

值为：

4

22

2πEI

F

h l

23

==

+

可求得：4

D=

(a)

二杆之总体积为：V ==

(b) 222d 0, 5, d 2V l

h l h h h ==+=得所以 (c) 将(c)式代入(a)

式得， 1.303D =

14. 长方形截面细长压杆，/1/2b h =；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr F 是原来的多少倍？有4种答案：

(A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C

15. 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因数μ的范围有4种答案：

(A)μ<0.5； (B)0.5μ<<0.7； (C)0.5μ<<2； (D)μ<2。 答：C

16. 圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。

答：1π;163。

17. 试导出具有初始挠度0sin(π/)y a x l =的图示压杆的挠度曲线方程()y x 。 证：2220() , , sin(π/)F

EIy F y y k y k y k a x l EI ''''=-+=

+=-令 22

sin(π/)

sin()cos()π/1

a x l y A kx B kx k l 2''=++- 由0, 0; 0, , 0; 0x y B x l y A ======

得 22

s i n (π/)πa l F x l

y E I l F

2=- 18. 某结构失稳时，挠曲线如图（a ）所示，即上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推导临界力欧拉公式及挠曲线方程。

(a)

(b)

证：222

e cr cr e e cr cr , [], , sin()cos()M F y F k M M y k y k y y A kx B kx EI EI F F -''''==+==++

由 e

cr

0, 0, 0, 0, M x y y A B F '=====-

e cr 2cr [1cos()]π, , 0, sin()0, kx M EI y x l y kl F F l 2-'=====

[1cos(/)]

, 2

x l x l y y δπδ-==,=

。

19. 图示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度为k ，试导出它的临界载荷。

解：给以微干扰，由其平衡状态求cr F

cr cr 0

22

B k l kl

M F F δδ'==,=∑得

20. 图示刚性杆，由弹簧支持，左右弹簧的刚度分别为1k 、2k ，试导出它的临界载荷。 解：由微干扰后的平衡状态

cr 120: ()A

M F k l δδδ22=-=∑

11220: 0y

F

k k δδ=+=∑

22212cr 12112

1/k l k l k k

F k k k k δδδ2===-++

21. 导出图示结构在图形平面内失稳的临界载荷。已知：杆AB 、BC 均为刚性杆，杆CD 的弯曲刚度为EI 。注：悬臂梁端部受有横向集中力F 时，端点的挠度公式为3/(3)y Fl EI =。 解：cr N 0: A M F F l δ==∑

已知 3N cr 23, 3F l EI

F EI l

δ==得

F

22. 图示刚架，AB 为刚性杆，BC 为弹性梁，在刚性杆顶端受铅垂载荷F 作用，试导出该载荷的临界值。设梁BC 的弯曲刚度EI 为常值。

证：由微干扰后的平衡状态知梁BC 在B 端的外力偶 e cr B M F a δδθ=,=

e cr 3, 3B M l EI

F EI al θ== 23. 两根直径为d 的杆，上下端分别与刚性板刚性连接，试按细长杆考虑确定临界力cr F 。

解：压杆将首先在与两杆组成的平面相垂直的面内失稳。

此时，44

cr 22

2πππ =, 64()128d EI Ed I F l l μμ23=2,== 24. 图示压杆，AC 、CB 两杆均为细长压杆，问x 为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与C 处不加支撑时承载能力的比值。

解：(1) 由cr 2

π, ()

EI

F l μ2=当0.7()x l x =-时承载能力最高， 0.70.4121.7

l x l ==

(2) 22

cr 22

cr 1()π/(0.412) 2.89()π/(0.7)F EI l F EI l 2==

25. 图示结构，AB 和BC 是两端铰支的细长杆，弯曲刚度均为EI 。钢丝绳BDC 两端分别连结在B 、C 两铰点处，在点D 悬挂 一重量为P 的重块。试求：

(1) 当3h =m 时，能悬挂的P 最大值是多少？

(2) h 为何值时悬挂的重量最大？

解：(1) 2

tan 3α=

钢丝绳受力 N 2c o s

P

F α=

杆受力 N N N N

t a n c o s , s i n 223

A B B C P P P

F F F F ααα=====

3

由杆AB 求P ：21

12π2π, 29

AB P EI EI P l 2==

由杆BC 求P ：22max 2π3π3π, , 31616

BC P EI EI EI

P P l 222===

(2) 由杆AB π92

EI P

2= 由杆BC

πt a n 9, t a n 16216

E I P αα2

== 又由图知 32

tan , 3.56 m 9

h h α2===

26.铰接桁架，由竖杆AB 和斜杆BC 组成，两杆均为弯曲刚度为EI 的细长杆，在节点B 处承受水平力F 作用。

(1)设 1.2 m, 0.9 m a b ==，试确定水平力F 的最大值（用π、EI 表示）。 (2)保持斜杆BC 的长度不变，确定充分发挥两杆承载能力的α角。 解：(1)由力三角形容易求得

N N N cr N cr 222

45ππππ, , (), ()33 2.56 1.5

AB

BC AB BC AB BC F F EI EI EI EI

F F F F l l 2222====== 令2N N cr 4(), 0.293π3AB AB F

F F F EI ==≤得 令2N N cr 5(), 0.267π3

BC

BC F F F F EI ==≤得 max 0.267πF EI 2=

(2)N N tan , cos AB BC F

F F F αα

=?=

令N N cr N N cr (), (), AB AB BC BC F F F F α===61.51?得

27. 桁架ABC 由两根具有相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。确定使载荷F 为最大时的θ角（设0πθ<<）。 解：N N cos sin AB BC F F F F θθ=,= 设支座,A C 间距离为l ，按稳定公式：

N N 2222ππ, cos sin AB

BC EI EI

F F l l ββ

2

2

==。 当杆AB 和杆BC 的承载能力同时达到临界值的F 为最大。

此时，2

2

22ππcos sin arctan(cot cos sin EI EI

F F l l θθθβββ

22=,=,=)

N

BC

N AB

m

28. 图示空间框架由两根材料、尺寸都相同的矩形截面细长杆和两块刚性板固接而成。试确定压杆横截面尺寸的合理比值/h b 。 解：在xz 平面内：cr 2

πy EI F l

2=

在yz 平面内：cr

2

π(2)x

EI F l 2

'= 合理的截面应使cr cr

4x y F F I I '==或，334, 21212bh hb h

b

?==

29. 在一般情况下，稳定安全因数比强度安全因数大。这是因为实际压杆总是不可避免地存在 、 以及 等不利因素的影响。当柔度λ越大时，这些因素的影响也越 。

答：初曲率；载荷的偏心；材料的不均匀；大。

30. 图示构架，AB 为刚性杆，F 作用在跨中，AC 、BD 、BE 均为细长压杆，且它的材料、横截面积均相同。设弹性模量E 、横截面面积A 、惯性矩I 和图示尺寸a 已知，稳定安全因数st []3n =，试求许可载荷[

F 解：N N N , 2AC BD BE F F F F =

== N N 2

2

cr 22 π()AC AC BD AC F a F i i E

a μλσμ===

22cr 22

cr cr cr cr π, ()2()()2()()BD BD

AC AC

BD BD

i E i a F F λσμσσ=

=

==>

故杆BD 、BE 杆先失稳22cr 2

st )π[][

]3BD F EA

F n a ==

31. 托架横梁AB 由斜杆CD 支撑。杆CD 由两根10010010??的等边角钢焊成，两端CD 为球铰。角钢的惯性矩4179.5 cm x I =，横截面面积219.26 cm A =，

0 2.84 cm z =。材料的比例极限p 200 MPa σ=， 屈服极限s 235 M P a σ=，

稳定直线公式系数304 MPa a =, 1.12 MPa b =，弹性模量

200 G

E =。稳定安全因数st []3n =。试根据杆CD 求托架的许可载荷[]

F 。

2

解：p 92.6, 99.3l

i

μλλ=

==

=, s

0p 061.6, a b

σλλλλ-=

=>>， 中柔度 cr cr cr 200 MPa

770 kN

a b F A σλσ=-===

由

0A

M

=∑，并考虑st []n []121 k N F =

32. 图示桁架ABC 由两根材料相同的圆截面杆组成，该桁架在节点B 处受载荷F 作用，其方位角θ可在0 90与间变化，0π/2θ≤≤。已知杆1,2的直径分别为

120 mm d =，230 mm d =， 2 m a =，材料的屈服极限s 240 MPa σ=，比例极限

p 196 MPa σ=，弹性模量200 GPa E =，屈服安全因数 2.0s n =，稳定安全因数

st [] 2.5n =。试计算许可载荷值[]F 。

解：(1)N1cos(60)F F θ=--， 1杆所受最大力为F N2cos(30)F F θ=+，2杆所受最大力为2

F

(2)p 100λ==

(3) 1杆 1p 200λλ=>

2

21cr 121cr 1

1st

ππ()15.5 kN

4()[] 6.2 kN []d E F F F n λ=?==

=

(4) 2杆 2p 231λλ=>

2

22cr 222cr 2

2N2st

ππ()26.2 kN

42()[]2[]20.96 kN []d E F F F F n λ=?=====

[] 6.2 kN F =

33. 图示结构，两细长杆弯曲刚度EI 相同，设载荷F 与杆AB 轴线的夹角为θ，且0/2θπ≤≤，稳定安全因数st []2n =，试求许可载荷[]F 。 解： BC AB l l >， 稳定性由杆BC 控制

N π

sin ()2

BC F F F θθ===

2N cr 2st ()2π[]3BC F EI

F n a ==

34. 若cr σ表示压杆的临界应力，p σ为压杆材料的比例极限，则下列结论中哪些是正确的？

(1) 当cr p σσ<时，2cr 2

πE

σλ

> (2) 当cr p σσ>时，2cr 2

πE

σλ

<

(3) 当cr p σσ=时，2cr 2πE σλ=

(4) 在一切情况下，2cr 2πE

σλ

≤ (A) (1),(2)； (B) (3),(4)； (C) (1),(2),(3)； (D)(2),(3),(4)。 答：D

35. 设?为压杆的折减系数，下列结论中哪些是正确的？ (1) ?值越大，表示压杆的稳定性越好。 (2) 1?=表示杆不会出现失稳破坏。

(3) ?值与压杆的柔度λ有关，与杆件材料的性质无关。

(A) (1),(2)； (B) (2),(3)； (C) (1),(3)； (D) 全对。 答：A

36. 如图所示结构，横梁AB 的中央受集中力F 作用，木杆AC ，BD ，BE 的横截面相同，其面积为A ，材料许用应力为[]σ，杆AC 的柔度100λ=，试求构件的最大许可载荷。(稳定折减系数2

3 000

?λ=

，假定杆AB 满足弯曲强度条件)

解：杆AC 容许最大轴力N 0.3[]AC F A σ=；

杆BD 容许最大轴力N 0.15[]BD F A σ=；

由此可求得构件最大许可载荷]F A σ=。

37. 正方形截面压杆CD ，EF ，材料截面尺寸相同，已知：边长100 mm ，许用

应力[]10 MPa σ=，当80λ≤时，2

1.020.55[(20)/100]?λ=-?+，当80λ>时，

23 000/?λ=。试求CD ，EF 两杆能同时达到稳定许用应力时的x 与a 的关系。

解：112

3 000

104, 0.277104λ?===

11[][]27.7 kN F A ?σ

==

2

2269.32069.3 , 1.020.55[

]0.58100

λ?+==-?= 22[][]58 kN F A ?σ==

由几何关系：

1227.73[] 582l x F l l a l EA

??==?=?? 0.716x a =

材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定

第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ

第十一章压杆稳定

第十一章 压杆稳定 是非判断题 1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。（ ） 2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。（ ） 3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。（ ） 4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ） 5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（ ） 6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。（ ） 7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。（ ） 8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。（ ） 9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。 （ ） 填空题 10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。 11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1 2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。 12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。 13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采 用 的横截面面积A 和惯性矩I 。 14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平 面内。 z C 题15图 15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。 16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。 17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。 18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济， 原因时 。 19 b 为细长杆，结构承载能力将 。 B P

第十四章 轴向压杆的稳定计算

第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?

? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。

材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定

第十四章 压 杆 稳 定 14.1某型柴油机的挺杆长度l =25.7cm,圆形横截面的直径d =8mm,钢材的E=210Gpa,MPa p 240=σ。挺杆所受最大压力kN P 76.1=。规定的稳定安全系数 5~2=st n 。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支，μ=1, 1294 /008.0257.01== =?i l μλ 而 9.926 9 22102401021014.31== = ???p E σπλ 1λλ 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 kN P L EI lj 30.62 644 )5108(14.3922 2 ) 257.01(1021014.3)(== = ?? ??-??μπ 58 .376.130 .6=== P P lj n 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm ，内径d =44mm,l =950mm.材料为30CrMnS i N i 2A, 试求斜撑杆的临界压力lj P 和临界应力 lj σ。（原图见教材P173.）(GPa E MPa MPa p b 210,1200,1600===σσ) 解：斜撑两端按铰支座处理， 5 .419 .55017.0044.0052.06 921012001021014.31017.095.01224 1224 1 == = ====+= += ????p E i l m d D i σπμλλ 1λλ ，可用拉欧公式计算 2 )044.0052.0(1040164 ) 044.0052.0(14.3) 95.01(1021014.3)(/665401224 3 4 49 222m MN kN P A P lj l EI lj lj == = =?= = -?-???π σμπ 14.5三根圆截面压杆，直径均为d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,MPa s 240=σ.两端均为铰支，长度分别为l 1l 2和l 3，且m l l l 532321===。试求各杆的临界压力lj P 。 解：对于A3钢 1.57,10012 .1240 3042===≈--b a s σλλ 分别计算三杆的柔度 3 .31)3(5.62)2(125)1(4 /16.025.114/16.05.214/16.05 13 32 21 1== = ======???i l i l i l μμμλλλ

第十三章-压杆稳定

第十三章 压杆稳定 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。 1.2 临界压力 细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。 1.3 稳定计算 为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： st cr n F F n ≥= －稳定条件 2 重点与难点及解析方法 2.1临界压力 临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。 2.2稳定计算 压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。 利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。 稳定计算要求掌握安全系数法。 解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据 柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。 3典型问题解析 3.1 临界压力

mm .h A I i min 55113 2===mm .a A I i 31632===例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm 2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm 、(2)、a=56.5mm 、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm 。若已知材料的E =200GPa ，σs =235MPa ，σcr =304－1.12λ，λp =100，λs =61.4，试计算各杆的临界荷载。 [解] 压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。 (1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm 时 λ＞ λP 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力 (2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm 时 所以 9.12910 55.113 5.031=??==-i l μλkN 37521 21=?=?=A E A F cr cr λπ σ 0.7d 图13－1

材料力学_陈振中_习题第十四章压杆稳定

第十四章压杆稳定 14.1某型柴油机的挺杆长度l=25.7cm,圆形横截面的直径d=8mm,钢材的 E=210Gpa, ；「p =240MPa 。挺杆所受最大压力 n st = 2 ~ 5。试校核挺杆的稳定性。 解：计算柔度，挺杆两端可认为较支， 尸1, ，=银黑=129 用欧拉公式计算临界压力，校核稳定性。 在2~5之间，安全。 14.4图中所示为某型飞机起落架中承受压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径 内径d=44mm,l=950mm.材料为30CrMnS i N i 2A,试求斜撑杆的临界压力 P lj 和临界应力 Gj 。(原图见教材 P173.) (6 =1600MPa,；「p = 1200MPa ,E = 210GPa ) 解：斜撑两端按铰支座处理, i =4-D 2 d 2 =1、0.0522 0.0442 = 0.017m 「縣=55.9 ■ - '1，可用拉欧公式计算 14.5三根圆截面压杆，直径均为 d=160mm,材料为A3钢，E=200Gpa,匚s = 240 MPa 俩 端均为铰支，长度分别为 hb 和b ，且h =212 = 3I 3 =5m 。试求各杆的临界压力 P lj 。 分别计算三杆的柔度 P =1.76kN 。规定的稳定安全系数 =92.9 3.142 210 109 彳14(8 10 色)4 4 (1W.257)2 二 6.30kN P lj 6.30 n = 百=彳76 = 3.58 D=52mm , 3.14 210 109 1200 106 = 41.5 3.142 210 109 (1 0.95) 4 4 3.14(0.052" -0.0444) 64 = 401kN lj _ 401 103 _ -4 '(0.0522 -0.0442) 2 = 665MN /m 2 解：对于A3钢 100,十晋=57.1 '(1) (2) (3) =口 125 i 1 0.16/4 125 二.农=1 2.5 i 2 二— i 0.16/4 二 62.5 =31.3 /. 1 2 9 3.142 210 109 -------------- 6 ---- 240 10 P j

建筑力学第11章压杆稳定

第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr

工程力学第十三章 压杆稳定

第十三章 压杆稳定 思考题 1 何谓失稳？何谓稳定平衡与不稳定平衡？ 2 试判断以下两种说法对否？ （1）临界力是使压杆丧失稳定的最小荷载。 （2）临界力是压杆维持直线稳定平衡状态的最大荷载。 3 应用欧拉公式的条件是什么？ 4 柔度λ的物理意义是什么？它与哪些量有关系，各个量如何确定 。 5 利用压杆的稳定条件可以解决哪些类型的问题？试说明步骤。 6 何谓稳定系数？它随哪些因素变化？为什么？ 7 提高压杆的稳定性可以采取哪些措施？采用优质钢材对提高压杆稳定性的效果如何？ 习题 1 图示四根压杆的材料及截面均相同，试判断哪一根杆最容易失稳？哪一根杆最不容易失稳？ 2 图示压杆，材料为Ｑ235钢，横截面有四种形式，但其面积均为3.2×103ｍｍ2。试计算它们的临界力，并进行比较。已知弹性模量Ｅ＝200ＧＰａ，ａ＝240ＭＰａ，ｂ＝0.00682ＭＰａ。 题1图题2图

3 图示压杆的横截面为矩形，ｈ＝60mm，ｂ＝40mm，杆长l＝2.4ｍ，材料为Ｑ235钢，Ｅ＝200GPa。杆端约束示意图为：在正视图（a）的平面内两端为铰支；在俯视图（b）的平面内，两端为固定。试求此杆的临界力。 4 已知柱的上端为铰支，下端为固定，外径Ｄ＝200ｍｍ，内径ｄ＝100ｍｍ，柱长l ＝9ｍ，材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ。试求柱的许可荷载[Ｆ]。 题3图题4图 5 两端铰支工字钢受到轴向压力Ｆ＝400ｋＮ的作用，杆长l＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，试选择工字钢的型号。 6 压杆由两根∟140×12的等边角钢组成，如图示，杆长ｌ＝3ｍ，许用应力[σ]＝160ＭＰａ，两端固支。承受的轴向压力为Ｆ＝850ｋＮ。试对压杆进行稳定性校核。 7 图示一简单托架，其撑杆ＡＢ为圆截面木杆，已知ｑ＝50ｋＮ/ｍ，许用应力[σ]＝11ＭＰａ，ＡＢ两端为柱形铰，试求撑杆所需的直径ｄ。 题6图题7图 8 图示结构中，ＡＢ为刚性梁，Ａ端为水平链杆，在Ｂ点和Ｃ点分别与直径ｄ＝40ｍｍ的钢圆杆铰接。已知ｑ＝35ｋＮ/ｍ，圆杆材料为低碳钢，[σ]＝170ＭＰａ。试问此结构是否安全？ 9 图示结构中钢梁ＡＣ及柱ＢＤ分别由№22ｂ工字钢和圆木构成，均布荷载集度ｑ＝8ｋＮ/ｍ。梁的材料为Ｑ235钢，许用应力[σ]＝160ＭＰａ；柱的材料为杉木，直径ｄ＝160ｍｍ，[σ]＝11ＭＰａ，两端铰支。试校核梁的强度和立柱的稳定性。

13-第十三章压杆稳定讲解

第十三章 压杆稳定 §13.1 压杆稳定的概念 构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。 一、压杆稳定 直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。 二、失稳（屈曲） 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。 三、临界压力 压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。 §13.2 两端铰支细长压杆的临界压力 在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。 图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr = 代入挠曲线近似微分方程，即EI M(x) -y d 2 2=dx 得： EI F k k dx cr y ,0y y d 2 22 2==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x 求得 ： 0A s i n ,0==kx B 解得： ),2,1,0(????==n l n k π2 22F l EI n cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷 2 2F l EI cr π= 上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I

§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力 几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷 例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。求压杆的临界载荷cr F 。 解：根据欧拉公式 239412 22 20010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-????===?? 此时横截面上的正应力 3 cr P 26 424.21077MPa 2010 F A σσπ-??===≤?? 图 11-8

第十四章 压杆稳定

一、是非题 14.1 由于失稳或由于强度不足而使构件不能正常工作，两者之间的本质区别在于：前者构件的平衡是不稳定的，而后者构件的平衡是稳定的。（） 14.2 压杆失稳的主要原因是临界压力或临界应力，而不是外界干扰力。（） 14.3 压杆的临界压力（或临界应力）与作用载荷大小有关。（） 14.4 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，其临界压力也一定相同。（） 14.5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。（） 二、选择题 14.6 在杆件长度、材料、约束条件和横截面面积等条件均相同的情况下，压杆采用图（）所示的截面形状，其稳定性最好；而采用图（）所示的截面形状，其稳定性最差。 14.7一方形横截面的压杆，若在其上钻一横向小孔（如图所示），则该杆与原来相比（）。 A. 稳定性降低，强度不变 B. 稳定性不变，强度降低 C. 稳定性和强度都降低 D. 稳定性和强度都不变 14.8 若在强度计算和稳定性计算中取相同的安全系数，则在下列说法中，（）是正确的。

A. 满足强度条件的压杆一定满足稳定性条件 B. 满足稳定性条件的压杆一定满足强度条件 C. 满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 D. 不满足稳定性条件的压杆不一定满足强度条件 三计算题 14.9无缝钢管厂的穿孔顶针如图所示。杆端承受压力。杆长l =4.5m ，横截面直径d =15cm ，材料为低合金钢，E =210 Gpa 。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为=3.3 。试求顶杆的许可载荷。 14.10某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD 为20号槽钢，材料为A3 钢。起重机的最大起重量是P = 40 kN 。若规定的稳定安全系数为=5 ，试校核BD 杆的稳定性。 14.11 10 号工字梁的C 端固定，A 端铰支于空心钢管AB 上。钢管的内径和外径分别为30mm 和40mm ，B 端亦为铰支。梁及钢管同为A3 钢。当重为300N 的重物落于梁的 A 端时，试校核A B 杆的稳定性。规定稳定安全系数=2.5 。

材料力学压杆稳定答案

9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解： 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上 端 自由的体系在面外失稳 故面外失稳时最小 =。 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。 已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。解： m 9-6(9-10)如果杆分别由下列材料制成： （1）比例极限，弹性模量的钢；

新材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定

第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E πσ D 、λ≥s E π σ

工程力学答案 第11章 压杆稳定

11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1 d l == mm m；（2）矩形截面2400,1 h b l === m m；（3）16号工字钢，2 l=m l 解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力： （1）圆形截面，25,1 d l == mm m： 2 29 2 22 0.025 20010 6437.8 1 cr EI P l π π π ? ??? === N kN （2）矩形截面2400,1 h b l === m m 当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先失稳 2 0.040.02 min(,) 12 y z y I I I I ? ===，故： 2 29 2 22 0.040.02 20010 1252.7 1 cr EI P l π π ? ??? === N kN （3）16号工字钢，2 l=m 查表知：44 93.1,1130 y z I I == cm cm，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1 μ=时 4 min(,)93.1 y z y I I I I ===cm，故： 2298 22 2001093.110 459.4 2 cr EI P l ππ- ???? === N kN 11-3 有一根30mm×50mm的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载已知材料的弹性模量E=200GPa，比例极限σP=200MPa。 解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的 P λ 2 2 99.35 P P P E π σλ λ =→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于 P λ可采用欧拉公式计算临界力。故 0.7 80.83 1.229 0.03 99.35 x P y z l l l l i μ λλ ? ===>> =→mm， 即 1.229 l>mm为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。 11-6 某钢材的比例极限230 P σ=MPa，屈服极限274 s σ=MPa，弹性模量E=200GPa，331 1.09 cr σλ =-。 试求 P s λλ 和，并绘制临界应力总图（0150 λ ≤≤）。

第11章 压杆稳定

第十一章 压杆稳定 11-1 图示压杆在主视图a 所在平面内，两端为铰支，在俯视图b 所在平面内，两端为固定，材料的为Q235钢，弹性模量GPa 210=E 。试求此压杆的临界力。 (a ) (b ) 解： 在主视图所在平面内，如图(a)所示，压杆的柔度为 6.1386240 323212 13=?==?= =h l bh bh l i l a a a μλ 在俯视图所在平面内，如图(b)所示，压杆的柔度为 9.1034240 3312 5.03=?=== =b l bh hb l i l b b b μλ ∵ 100p ≈>>λλλb a ，∴为大柔度压杆，且失稳时在主视图平面内 失稳 故压杆的临界力为 kN 9.258N 40606.1381021023 222cr =????= =πλπA E F a 11-2 两端固定的矩形截面细长压杆，其横截面尺寸为 m m 60=h ，m m 30=b ，材料的比例极限MPa 200p =σ，弹性模量GP a 210=E 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。 解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。 3 2123 min min b bh hb A I i === 欧拉公式适用于max λp λ≥，即 m i n m a x i l μλ=p σπ E ≥ 由此得到 =≥P E i l σμπm i n m 76.1m 10 200102105 .0321030326 9 3p =?????= -π σμπE b 故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为1.76m 。

!第八章压杆稳定性要点

15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?

() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)

压杆稳定作业答案Word版

13-2 题13-2图所示压杆的截面为矩形，h =60mm ，b =40mm ，杆长l =2.0m ，材料为Q235钢，E =2.1×105MPa 。两端约束示意图为：在正视图(a)的平面内相当于铰支；在俯视图(b)的 平面内为弹性固定，采用μ=0.8。试求此杆的临界力F cr 。 解: 图(a)12115.5,0.06/23 z λ?= =图(b)0.82138.60.04/23 y λ?= =,即y z p λλλ>> 3 2 9 220.060.042.11012258.8()(0.82) y cr y EI F kN l ππμ????∴===? 13-4 题13-4图所示结构中，两根杆的横截面均为50×50mm 2 正方形，材料的弹性模量 E =70×103MPa ，试用欧拉公式确定结构失稳时的荷载 F 值。 解:由结点B 的平衡,34,55 BA BC F F F F == 229422 70100.05/1290()2BAcr EI F kN l ππμ???===,5 1503 cr BAcr F F kN ∴== 22942270100.05/12160() 1.5BCcr EI F kN l ππμ???===,52004 cr BCcr F F kN ∴== 所以结构失稳时荷载:150cr F kN = 题13-4图 F F BA F BC B 题13-2图

13-6 题13-6图所示5根圆杆组成的正方形结构。a =1m ，各结点均为铰接，杆的直径均为d =35mm ，截面类型为a 类。材料均为Q235钢，[σ]=170MPa ，试求此时的容许荷载F 。又若力F 的方向改为向外，容许荷载F 又应为多少? 解:(1)由结点A(C)的平衡，得 2 AB BC AD CD F F F F F ====(压), 由结点B(D)的平衡，得 BD F F =(拉) 压杆:11 114.3,0.035/4 l i μλ?= = =查表13-1,0.533?= 由[][]2222,123424 F F kN d σ?σ?σπ= ≤∴≤= 拉杆BD:[] 2 163,4 d F kN πσ≤=所以,容许荷载[]123F kN = （2）若力F 的方向改为向外:BD 杆受压,12 161.6,λ?= =查表13-1,0.297?= []48.6F kN ?σ≤=,即容许荷载[]48.6F kN = 13-11 题13-11图所示结构中，AD 为铸铁圆杆，直径d 1=60mm ，容许压应力[σc ]＝120MPa ；BC 杆为钢圆杆，直径d 2=10mm ，材料为Q235钢，容许应力 [σ]＝170MPa 。试求容许分布荷载[q ]。 解：由平衡条件 6.75AD F q =-（压）， 2.25BC F q =题13-11图 A B C D 1.5m 3m 1.5m q F AD F F BD q 题13-6图 F BD F BC F BA F AB F F A

第十一章 压杆稳定

第十一章 压杆稳定 § 11-1 压杆稳定的概念 承受轴向压力的直杆称为压杆。对较短粗压杆，当压杆横截面上的正应力不超过材料的容许应力，就能保证杆件正常工作，这类问题属于强度问题。但对于细长压杆，当其所受轴向压力达到某一数值之后，其直线的平衡形式将突然转变为弯曲形式，致使构件或结构丧失正常承载能力而发生破坏。在工程史上，曾发生过不少类似长杆的突然弯曲破坏导致整个结构毁坏的事故。其中最有名的是1907年北美北克圣劳伦斯河上的大铁桥，因桁架中一根受压弦杆突然弯曲，引起大桥的坍塌。这类细长压杆突然破坏问题属于“稳定问题”。稳定问题与强度、刚度问题一样，在构件和结构设计中占据着重要的地位。 图11-1 当压力P 的数值增大到某一极限值cr P 时,如图11-1(d)。压杆虽然也可能处于直线平衡位置，但一旦受到侧向干扰发生微小弯曲，即使除去干扰，压杆仍处于弯曲的平衡位置，而不能恢复原有的直线形状，这时压杆在直线形状下的平衡是处于不稳定的临界平衡状态，压杆所能承受轴向压力的极限值cr P 称为压杆的临界压力,简称为临界力。 不仅压杆会出现失稳现象，其它类型构件，如梁、拱、薄壁筒、圆环等也存在稳定问题，这些构件的稳定问题都比较复杂，不予研究，本章仅讨论常见压杆稳定问题。 § 11-2 细长压杆的临界力、临界应力 一、细长压杆的临界力 意大利科学家欧拉最先证明，在压杆内的应力小于材料的比例极限时，细长压杆的临界力计算可由挠曲线近似微分方程推得为 ()2 2l EI P cr μπ= 式（11-1） μ——长度系数。μ反映了压杆两端支承对临界力的影响，l μ称为相当长度。各 种支承情况下压杆的μ见表11-1。 应当注意，在两端支承各方向相同时，杆的弯曲必然发生在抗弯能力最小的平面内，所以，上式中惯性矩应为压杆横截面的最小惯性矩，如图11-2(a)所示，受压柱会左右失稳，所以I 用y I ；对于杆端各方向支承情况不同时，如图11-2(b) 所示, 左右稳定和前后稳定所对应的两端约束μ、I 是不同的，应分别计算，然后取最小的cr P 作为压杆的临界荷载。

第十三章压杆稳定

第十三章压杆稳定 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 深入理解弹性平衡稳定性的概念 熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响 压杆的分类与临界应力曲线 掌握压杆稳定性校核的方法 2．教学内容 稳定的概念 两端铰支细长压杆的欧拉临界力 杆端约束的影响 临界应力曲线 压杆稳定性的校核 二、重点难点 重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、讲课提纲 1、稳定的概念 1.1分叉点失稳 1.1.1三种平衡状态 (1）刚球的稳定性 如物体因受了干扰稍为偏离它原来的平衡位置，而在干扰消除后它能够回到原来位置的平衡状态，就说它原来位置的平衡状态是稳定的。若干扰消除后它不回到原来位置的平衡状态，就说原来位置的平衡状态不稳定。所以一个刚体的稳定性是指它维持其原有位置的平衡状态的能力。

图 13.1 在图13.l a中，刚体小球A、和C各在重力W与反力R作用下处于平衡状态。但是，A的平衡状态是稳定的，B和C的平衡状态却不稳定。因为若分别以微干扰力使三球稍微移动到其邻近位置又撤去干扰力之后，原在谷底A的球到了A'，因反力不能平衡重力，必滚回谷底A，最终在A静平衡。原在峰顶B的球到了B'，反力和重力的不平衡使它往低处滚，非滚到某一谷底不会停止．绝不可能回到原位置峰顶B去静平衡。原在C的球则在干扰力让它到达之处就地静止并平衡。因 R和W始终在一直线上． 图13.lb中几条线分别表示山谷、平原、和山峰。谷坡越陡，坡上的球越易回谷底平衡， 因而球在谷底的平衡越稳定．谷坡越平，稳定性越小，谷变为平地，球的平衡的稳定性降为 零。平地若变为峰，球在峰顶，其平衡就不稳定了。所以，球在平地的平衡，是稳定平衡与不稳定平衡的分界，并称为临界平衡或中性平衡。 (2）弹性压杆的稳定性 所谓弹性压杆的稳定性是指弹性压杆在中心压力作用下的直线位形的平衡状态的稳定性；又因弹性体受力后的任一平衡状态都对应着某个唯一的变形状态，所以也是指弹性压杆受压后的轴向缩短的变形状态的稳定性。 设有一两端球铰支座的弹性均质等直杆受毫无偏心的轴向压力作用(这就是所谓的理想压杆)，杆呈轴向缩短变形状态，如图13.2a。现在要判断这种变形状态(或直线位置的平衡状态)是否稳定。要作这种判断，可加一微小干扰力Ｑ，使杆轴到达一个微弯曲线位置，

第12章-压杆稳定

第12章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆等轴向压力P=P Q；时处于直线平衡状态。与其受到一微小横向干扰力后发生微小 弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（）。 A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯充到状态不变； D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q，时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯 变形（） A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、两根细长压杆a,b的长度，横截面面积，约束状态及材料均相同，若a,b杆的横截面形状分别为正 方形和圆形，则二压杆的临界压力P a e和P b e;的关系为（） A、P a e〈P b e B、P a e＝P b e C、P a e〉P b e D、不可确定 4、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（）无关。 A、杆的材质 B、杆的长度 C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸 5、压杆的柔度集中地反映了压杆的（）对临界应力的影响。 A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件； A、A、 B、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D、材料，长度，截面尺寸和形状； 6、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（）来到断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 7、细长压杆的（），则其临界应力σ越大。

A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； B、B、 C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 8、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（）。 A、λ≤π√E/σp B、λ≤π√E/σs C、λ≥π√E/σp D、λ≥π√E/σs 9、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（） A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细雨长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆种中长杆的临界应力均不是减小的； 10、两根材料和柔度都相同的压杆（） A.界应力一定相等，临界压力不不一定相等； B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C.临临界应力和临界压力一定相等； D.临界应力和临界压力不一定相等； 11、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（）是正确的。 A、细长杆的σe值与杆的材料无关； B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关； D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关；