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排列组合问题的类型及解答策略

排列组合问题的类型及解答策略

排列组合问题,联系实际,生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握。实践证明, 备考有效的方法是题型与解法归类, 识别模式, 熟练运用。 本文介绍十二类典型排列组合问 题的解答策略,供参考。

一、相邻问题捆绑法

例 1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120

解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲、乙两人捆在一起视作一人,与其余四人进行全

排列有

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种排法;甲、乙两人之间有

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种排法。由分步计数原理可知,共有 =240

种不同排法,选 C 。

评注:从上述解法可以看出,所谓“捆绑法”,就是在解决对于某几个元素相邻的问题 时,可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

二、相离问题插空法

例 2 要排一张有 6个歌唱节目和 4个舞蹈节目的演出节目单, 任何两个舞蹈节目不得 相邻,有多少不同的排法?(只要求写出式子,不必计算)

解:先将 6个歌唱节目排好,其不同的排法为 种;这 6个歌唱节目的空隙及两端共 7个位置中再排 4个舞蹈节目,有 种排法。由分步计数原理可知,任何两个舞蹈节目不 得相邻的排法为 种。

评注:从解题过程可以看出, 不相邻问题是要求某些元素不能相邻, 由其它元素将它们 隔开。 此类问题可以先将其它元素排好, 再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两 端位置,故称插空法。

三、定序问题缩倍法

例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有 3面红旗、 2面白旗, 把这 5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是 __________(用数字作答)。

解:5面旗全排列有 种挂法,由于 3面红旗与 2面白旗的分别全排列均只能算作一

次的挂法,故共有不同的信号种数是 =10(种)。

评法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。 这类问题用缩小 倍数的方法求解比较方便快捷。

四、标号排位问题分步法

例 4 同室 4人各写一张贺年卡, 先集中起来, 然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡, 则四张贺年卡的分配方式有()

A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种

解:此题可以看成是将数字 1, 2, 3, 4填入标号为 1, 2, 3, 4的四个方格里,每格填 一个数, 且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。 所以先将 1填入 2至 4号的 3个方格

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