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hj9-弧长与扇形面积

hj9-弧长与扇形面积

H j 同学个性化教学设计

年 级 九 教 师: 科 目 数学.9

弧长与扇形面积 一、知识点

1、n °圆心角所对弧长:L=

180n R π, (R n

L π2360

?=

) 2、S 扇形=2360n R π=LR 21, (LR R R n R n R n S 2

1218036036022

=??==?=

πππ扇形) 公式中没有n °,而是n ;没有180°和360°,而是180和360.

3、母线长为L ,?底面圆的半径为r 的圆锥:

沿圆锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平,这个扇形的半径为母线长L , 扇形的弧长为2πr ,因此圆锥的侧面积和圆锥的全面积:

扇形的半径就是圆锥的母线,?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.圆锥的侧面积是展开的图扇形

面积S=2

360

n l π,其中n 可由2πr=180L n π求得:n=L r 360,

?∴扇形面积S=360

3602

L

L r π=πrL ;全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的,所以全面积=πrL+r 2.

二、例题

例1、制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,?试计算如图所示的管道的展

直长度,即AB 的长(结果精确到0.1mm )

40mm

http://www.wendangku.net/doc/1b031f7090c69ec3d4bb7531.html.c

B

A

O

110?

hj9-弧长与扇形面积

例2、在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m?的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示:

(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?

(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?

Ts:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆心,5m为半径的圆的面积.(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形。

例3.如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求AB的长(?结果精确到0.1)和扇形AOB 的面积结果精确到0.1)

例4.(1)操作与证明:如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.

(2)尝试与思考:如图a、b所示,?将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处,并将纸板绕O旋转,,当扇形纸板的圆心角为________时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为_______时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a.

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D E

C

B A O

(a) (b) (3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处,若将纸板绕O 点旋转,当扇形纸板的圆心角为_______时,正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ,这时正n?边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n 边形面积S 之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.

Ts :(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD?分别交于点M 、N ,连结OA 、OD . ∵四边形ABCD 是正方形

∴OA=OD ,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO , 又∠MON=90°,∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地,当点M 与点A (点B )重合时,点N 必与点D (点A )重合,此时AM+AN 仍为定值a . 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a . (2)120°;72°

(3)360n ;正n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是S n

例5.圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为58cm ,高为20cm ,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到0.1cm 2)

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例6.已知扇形的圆心角为120°,面积为300πcm 2. (1)求扇形的弧长;

(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?

ts :(1)由S 扇形=2

360

n R π求出R ,再代入L=180n R π求得.

(2)若将此扇形卷成一个圆锥,?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长,

就可求圆的半径,其截面是一个以底是直径,?圆锥母线为腰的等腰三角形.

三、练习 (一)选择题

1.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是( ). A .3π B .4π C .5π D .6π

2.如图1所示,把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上,按顺时针方向绕点D 旋转到如图 的位置,则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为( )

A .1

B .π

C .2

D .2π

(1) (2) (3)

3.如图2所示,实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆 的圆心,则游泳池的周长为( )

A .12πm

B .18πm

C .20πm

D .24πm

4.圆锥的母线长为13cm ,底面半径为5cm ,则此圆锥的高线为( ) A .6cm B .8cm C .10cm D .12cm

5.在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮,?用剩余部分制作成一个底面直径为80cm ,母线长 为50cm 的圆锥形烟囱帽,则剪去的扇形的圆心角度数为( )

A .228°

B .144°

C .72°

D .36°

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6.如图所示,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A 是底面圆周上一点,?从点A 出发绕侧面一周,再 回到点A 的最短的路线长是( )

A .63

B .

33

2

C .33

D .3

二、填空题

7.圆的半径为R ,1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______.圆的半径为R ,5°的圆心角所对的扇

形面积S 扇形=_______.圆半径为R ,n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______. 圆半径为R ,弧长为

l 的扇形面积S 扇形=_______。

8.如果一条弧长等于4

π

R ,它的半径是R ,那么这条弧所对的圆心角度数为______,? 当圆心角增

加30°时,这条弧长增加________.

9.如图3所示,OA=30B ,则AD 的长是BC 的长的_____倍.

10.母线长为L ,底面半径为r 的圆锥的表面积=_______.

11.矩形ABCD 的边AB=5cm ,AD=8cm ,以直线AD 为轴旋转一周,?所得圆柱体的表面积是__________ (用含π的代数式表示)

12.粮仓顶部是一个圆锥形,其底面周长为36m ,母线长为8m ,为防雨需在粮仓顶部铺上油毡,如果 按用料的10%计接头的重合部分,那么这座粮仓实际需用________m 2的油毡.

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三、综合题

13.已知如图所示,AB 所在圆的半径为R ,AB 的长为3

π

R ,⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ,且与⊙O 内切于点D ,求⊙O ′的周长.

14.如图,若⊙O 的周长为20πcm ,⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ,⊙A 在⊙O?内沿⊙O 滚动,⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动,⊙B 转动6周回到原来的位置,而⊙A 只需转动4周即可,你能说出其中的道理吗?

http://www.wendangku.net/doc/1b031f7090c69ec3d4bb7531.html.c

B A O

15.如图所示,在计算机白色屏幕上,有一矩形着色画刷ABCD ,AB=1,AD=3,将画刷以B 为中心, 按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置(A ′点转在对角线BD 上),求屏幕被着色的面积.

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16.一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm,母线长是120cm,?需要加工这样的一个烟囱帽,请你画一画:

(1)至少需要多少厘米铁皮(不计接头)

(2)如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽,那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少?17.如图所示,已知圆锥的母线长AB=8cm,轴截面的顶角为60°,?求圆锥全面积.

18.如图所示,一个几何体是从高为4m,底面半径为3cm?的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的,圆锥的底面就是圆柱的上底面,圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上,?求这个几何体的表面积.