2017_2018学年高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法名师讲义新人教B版必修5
3.3 一元二次不等式及其解法
第一课时一元二次不等式及其解法
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？
(2)如何求解一元二次不等式？
(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？
[新知初探]
1．一元二次不等式
含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．[点睛] 一元二次不等式应满足：
(1)一元，即只包含一个未知数，其他均为常数；
(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且最高次项的系数不能为0.
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a>0)的根有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根没有实数根
预习课本P74～78，思考并完成以下问题
[点睛] (1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1 (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R( ) 解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R. (3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1 (4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R. 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 2．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A．{x|x＞0} B．{x|x＜2} C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2} 解析：选D 原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2. 3．不等式x2－2x－5>2x的解集是( ) A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1 解析：选B 由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0， 因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5， 故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}． 4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________． 解析：原不等式变形为3x 2 －5x ＋4<0. 因为Δ＝(－5)2 －4×3×4＝－23<0， 所以由函数y ＝3x 2 －5x ＋4的图象可知，3x 2 －5x ＋4<0的解集为?. 答案：? 一元二次不等式解法 [典例] (1)2x 2 ＋5x －3<0； (2)－3x 2＋6x ≤2； (3)4x 2 ＋4x ＋1>0； (4)－x 2＋6x －10>0. [解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2 ＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2 ＋5x －3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为?????? ??? ?x ? ?? －3 1 2. (2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2 －6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2 ＝ 3＋3 3 ， 作出函数y ＝3x 2 －6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 ???? ?? x ? ?? x ≤3－33或x ≥ 3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2 ＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作 出函数y ＝4x 2 ＋4x ＋1的图象如图所示． 由图可得原不等式的解集为? ????? ??? ?x ??? x ≠－1 2，x ∈R . (4)原不等式可化为x 2 －6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2 －6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为?. 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． [活学活用] 已知集合M ＝{x |x 2 －3x －28≤0}，N ＝{x |x 2 －x －6＞0}，则M ∩N 为( ) A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7} B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7} C ．{x |x ≤－2或x ＞3} D ．{x |x ＜－2或x ≥3} 解析：选A ∵M ＝{x |x 2 －3x －28≤0} ＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}. 三个“二次”关系的应用 [典例] (1)若不等式ax 2 ＋bx ＋2>0的解集是? ???? ??? x ??? －12 1 3，则a ＋b 的值为( ) A ．14 B ．－10 C ．10 D ．－14 (2)已知一元二次不等式x 2 ＋px ＋q ＜0的解集为?????? ??? ?x ??? －12 ＜x ＜ 1 3，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集． [解析] (1)由已知得， ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，1 3 ，且a <0. ∴????? －b a ＝－12＋1 3，2a ＝? ????－12×1 3 ，解得? ?? ?? a ＝－12， b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14. [答案] D (2)解：因为x 2 ＋px ＋q ＜0的解集为?????? ????x ??? －12 ＜x ＜ 1 3，所以x 1＝－12与x 2＝1 3是方程x 2＋ px ＋q ＝0的两个实数根， 由根与系数的关系得???? ? 13－1 2 ＝－p ，13×? ?? ?? －12＝q ，解得????? p ＝16，q ＝－1 6 . 所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2 －x －6＜0，解得－2＜ x ＜3. 即不等式qx 2 ＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}． (1)一元二次不等式ax 2 ＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标． (2)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2 ＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2 ＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． [活学活用] 1．若不等式f (x )＝ax 2 －x －c >0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (x )的图象为( ) 解析：选B 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a <0，排除C 、D ，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B. 2．已知不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集为{x |2 －bx ＋a >0的解集． 解：由题意知????? 2＋3＝－b a ， 2×3＝c a ， a <0， 即???? ? b ＝－5a ， c ＝6a ，a <0. 代入不等式cx 2 －bx ＋a >0， 得6ax 2 ＋5ax ＋a >0(a <0)． 即6x 2 ＋5x ＋1<0，解得－12 ， 所以所求不等式的解集为? ????? ??? ?x ??? －12 1 3. 解含参数的一元二次不等式 [典例] [解] 方程x 2 ＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2 ＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}； 当a ＝－1时，原不等式解集为?； 当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 解含参数的一元二次不等式时的注意点 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． [活学活用] 解关于x 的不等式x 2 －(a 2 ＋a )x ＋a 3 ＞0. 解：原不等式变形为(x －a )(x －a 2 )＞0， Δ＝a 2(a －1)2≥0. 当a ＝0时，Δ＝0，解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，Δ＝0，解集为{x |x ≠1}； 当a ≠1，且a ≠0时，Δ＞0，方程(x －a )(x －a 2 )＝0的两根是x 1＝a ，x 2＝a 2 ， 当a 2 ＞a ，即a ＞1，或a ＜0时， 解集为{x |x ＞a 2 ，或x ＜a }； 当a 2 ＜a ，即0＜a ＜1时， 解集为{x |x ＞a ，或x ＜a 2 }． 层级一 学业水平达标 1．不等式6x 2 ＋x －2≤0的解集为( ) A.????????? ?x ??? －23≤x ≤ 12 B.?????? ??? ?x ??? x ≤－23或x ≥ 1 2 C.? ????? ??? ?x ??? x ≥ 1 2 D.? ????? ??? ?x ??? x ≤－23 解析：选 A 因为6x 2 ＋x －2≤0?(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为 ? ????? ??? ?x ??? －23≤x ≤ 1 2. 2．函数y ＝17－6x －x 2 的定义域为( ) A ．[－7,1] B ．(－7,1) C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞) 解析：选B 由7－6x －x 2 >0，得x 2 ＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2 ＋x －2<0， 所以－2 4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )? ?? ??x －1a <0的解集为( ) A.????????? 1 a B ．{x |x >a } C.?????? ????x ? ?? x >a 或x < 1 a D.?????? ??? ?x ??? x <1 a 解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·? ????x －1a <0?(x －a )·? ?? ??x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴ x >1 a 或x 5．不等式mx 2 －ax －1>0(m >0)的解集可能是( ) A.?????? ??? ?x ??? x <－1或x > 14 B ．R C.? ????? ????x ??? －13 3 2 D ．? 解析：选A 因为Δ＝a 2 ＋4m >0，所以函数y ＝mx 2 －ax －1的图象与x 轴有两个交点，又 m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A. 6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2 －1≥0}，则?U A ＝________. 解析：?U A ＝{x |x 2 －1<0}＝{x |－1 7．若二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2 ＋bx ＋c <0的解集是________． 解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 8．已知函数f (x )＝? ???? x 2 ＋2x ，x ≥0， －x 2 ＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________． 解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2 ＋2a ≤3，∴a <0.综上所述， a 的取值范围是(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 9．解关于x 的不等式x 2 －3ax －18a 2 >0. 解：将x 2 －3ax －18a 2 >0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a . 所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }； 当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10．若函数f (x )＝ 2 016 ax 2＋2ax ＋2 的定义域是R ，求实数a 的取值范围． 解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2 ＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立； (2)当a ≠0时，有? ???? a >0， Δ＝4a 2 －8a <0，即? ?? ?? a >0， 0 综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)． 层级二 应试能力达标 1．不等式x 2 ＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－4,4) C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D ．[－4,4] 解析：选A 不等式x 2 ＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2 ＋ax ＋4<0有解，所以Δ＝a 2 －4×1×4>0，解得a >4或a <－4. 2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－1,3) C ．(1,3) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：选A 由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a β，a ，b 的大小关系是( ) A ．a <α<β B ．a <α C ．α D ．α 解析：选A ∵α，β为f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A. 4．若0 －3(a ＋a 2 )x ＋9a 3 ≤0的解集为( ) A ．{x |3a 2 ≤x ≤3a } B ．{x |3a ≤x ≤3a 2 } C ．{x |x ≤3a 2或x ≥3a } D ．{x |x ≤3a 或x ≥3a 2 } 解析：选A 因为0 <3a ，而方程x 2 －3(a ＋a 2 )x ＋9a 3＝0的两个根分别为3a 和3a 2 ，所以不等式的解集为{x |3a 2 ≤x ≤3a }． 5．已知f (x )＝???? ? x 2 －4x ，x >0，0，x ＝0， －x 2－4x ，x <0， 则不等式f (x )>x 的解集为________． 解析：由f (x )>x ，得? ?? ?? x 2 －4x >x ， x >0或? ?? ?? －x 2 －4x >x ， x <0，解得x >5或－5 等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 6．对于实数x ，当且仅当n ≤x －36[x ]＋45<0的解集为________． 解析：由4[x ]2 －36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x 所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)． 答案：[2,8) 7．设f (x )＝(m ＋1)x 2 －mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集； (2)若不等式f (x )＋1>0的解集为? ?? ?? 32，3，求m 的值． 解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2 －x >0， 因此所求解集为(－∞，0)∪? ?? ??12，＋∞. (2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2 －mx ＋m >0， 由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2 －mx ＋m ＝0的两根， 因此????? 32＋3＝m m ＋1， 32×3＝m m ＋1 ?m ＝－9 7 . 8．已知M 是关于x 的不等式2x 2 ＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2 <0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集． 解：原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >3 2. 若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12 ＝5 2 (－a ＋1)>5， 所以3－2a > a ＋1 2 ， 此时不等式的解集是? ????? ??? ?x ?? ? a ＋1 2 4， 所以3－2a < a ＋1 2 ， 此时不等式的解集是? ????? ??? ?x ??? 3－2a a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为? ?? ??a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为 ? ????3－2a ，a ＋12. 第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课) 解简单的分式不等式 [典例] 解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －1 3－4x >1. [解] (1)原不等式等价于????? x ＋2 3－x ≥0， 3－x ≠0， 即??? ? ? x ＋2x －3≤0， x ≠3 ?－2≤x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}． (2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －2 4x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0. ∴23 4 . ∴原不等式的解集为?????? ??? ?x ??? 23 3 4. (1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零． (2)分式不等式的4种形式及解题思路 ①f x g x >0?f (x )g (x )>0； ②f x g x <0?f (x )g (x )<0； ③f x g x ≥0?f (x )g (x )≥0且g (x )≠0?f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④ f x g x ≤0?f (x )g (x )≤0且g (x )≠0?f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系 ①f (x )g (x )≥0???? ?? f x ≥0，g x ≥0 或????? f x ≤0， g x ≤0， ②f (x )g (x )≤0???? ?? f x ≥0，g x ≤0 或? ???? f x ≤0， g x ≥0， ③f (x )g (x )>0???? ?? f x >0，g x >0 或????? f x <0， g x <0， ④f (x )g (x )<0?? ?? ?? f x >0，g x <0 或? ???? f x <0， g x >0. [活学活用] 1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝? ????? ??? ?x ?? ? x －2 x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}． 2．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －b x －2 >0的解集是( ) A.{}x |x ＜－1或x ＞2 B.{}x |－1＜x ＜2 C.{}x |1＜x ＜2 D.{}x |x ＞2 解析：选A 依题意，a >0且－b a ＝1. ax －b x －2>0?(ax －b )(x －2)>0?? ?? ??x －b a (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0?x >2或x <－1. 不等式中的恒成立问题 的取值范围． [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2 ＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程x 2 ＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2 －16＜0，解得0＜ a ＜4. 故a 的取值范围是(0,4)． 对于x ∈[a ，b ]，f (x )＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象． 1．已知f (x )＝x 2 ＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由． 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数 f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示． 由图象可知，此时a 应该满足? ?? ?? f －3＜0，f 1＜0， 即错误! 解得????? a ＞256，a ＜－1 2. 这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立． 对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量． 2．已知函数y ＝x 2 ＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围． 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2 －4x ＋4，是关于a 的一元一次函数． 要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立， 只需满足??? ?? g 1＜0， g －3＜0， 即????? x 2 －2x ＋4＜0， x 2 －10x ＋4＜0. 因为x 2 －2x ＋4＜0的解集是空集， 所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2 ＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立． (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法． a ≥f (x )恒成立?a ≥f (x )max (f (x )存在最大值)； a ≤f (x )恒成立?a ≤f (x )min (f (x )存在最小值)． (2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x 轴下方． 层级一 学业水平达标 1．不等式4x ＋2 3x －1 ＞0的解集是( ) A.????????? ?x ??? x ＞13或x ＜－ 12 B.?????? ??? ?x ??? －12＜x ＜ 1 3 C.?????? ??? ?x ? ?? x ＞ 1 3 D.?????? ??? ?x ? ?? x ＜－ 1 2 解析：选 A 4x ＋23x －1＞0?(4x ＋2)(3x －1)＞0?x ＞13或x ＜－1 2 ，此不等式的解集为? ????? ????x ??? x ＞13或x ＜－ 1 2. 2．不等式 x －1 x ≥2的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 解析：选B 不等式 x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1 x ≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0. 3．若不等式x 2 ＋mx ＋m 2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．(0,2) 解析：选D ∵不等式x 2 ＋mx ＋m 2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2 －2m <0，∴0 4．不等式 x ＋5x －1 2 ≥2的解集是( ) A.??????－3，12 B.??????－12，3 C.???? ??12，1∪(1,3] D.???? ??－12，1∪(1,3] 解析：选D 由 x ＋5 x －1 2≥2，得 x ＋5－2x －1 2 x －12 ≥0， 即－2x 2 ＋5x ＋3x －12 ≥0. 所以原不等式等价于? ?? ?? －2x 2 ＋5x ＋3≥0， x －1≠0， 即? ?? ?? 2x 2 －5x －3≤0，x ≠1.所以????? －12 ≤x ≤3， x ≠1. 所以原不等式的解集是???? ??－12，1∪(1,3]． 5．若关于x 的不等式x 2 －4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 解析：选C 由已知可得m ≤x 2 －4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2 －4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 6．不等式5－x x ＋4 ≥1的解集为________． 解析：因为5－x x ＋4≥1等价于1－2x x ＋4≥0，所以2x －1 x ＋4≤0，等价于??? ?? 2x －1x ＋4≤0，x ＋4≠0， 解得－4 2 . 答案：? ????－4，12 7．若不等式x 2 －4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，知x 2 －4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2 －4×3m ≤0，解得m ≥4 3 . 答案：???? ??43，＋∞ 8．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是________． 解析：根据定义得(x －a )?(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2 ＋x ＋a 2 －a ，又(x －a )?(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2 －x ＋a ＋1－a 2 >0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2 )<0，解得－12 . 答案：? ?? ??－12，32 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3 ＞1. 解：(1)∵2x －1 3x ＋1≥0???? ?? 2x －13x ＋1≥0， 3x ＋1≠0 ?????? x ≤－13或x ≥1 2，x ≠－1 3 ?x ＜－ 1 3 或x ≥12 . ∴原不等式的解集为?????? ??? ?x ? ?? x ＜－13或x ≥ 1 2. (2)原不等式可化为2－x －x ＋3 x ＋3 ＞0? －2x －1x ＋3＞0?2x ＋1 x ＋3 ＜0?(2x ＋1)(x ＋3)＜0?－3＜x ＜－1 2 . ∴原不等式的解集为? ????? ??? ?x ??? －3＜x ＜－ 1 2. 10．已知f (x )＝－3x 2 ＋a (5－a )x ＋b . (1)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值； (2)若对任意实数a ，f (2)<0恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)由f (x )>0，得－3x 2 ＋a (5－a )x ＋b >0， ∴3x 2 －a (5－a )x －b <0. 又f (x )>0的解集为(－1,3)， ∴????? 3＋a 5－a －b ＝0， 27－3a 5－a －b ＝0， ∴??? ?? a ＝2， b ＝9 或??? ?? a ＝3， b ＝9. (2)由f (2)<0，得－12＋2a (5－a )＋b <0， 即2a 2 －10a ＋(12－b )>0. 又对任意实数a ，f (2)<0恒成立， ∴Δ＝(－10)2 －4×2(12－b )<0， ∴b <－12，∴实数b 的取值范围为? ????－∞，－12. 层级二 应试能力达标 1．不等式组??? ?? x x ＋2＞0， |x |＜1 的解集为( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜0} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |x ＞1} 解析：选C 由??? ?? x x ＋2＞0， |x |＜1， 得????? x ＞0或x ＜－2， －1＜x ＜1， 所以0＜x ＜1，所以原不等式组的解集为{x |0＜x ＜1}，故选C. 2．已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 解析：选D x ＋3 x －1 <0?(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3 3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2 ＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪(3，＋∞) C ．(1,2) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析：选 B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]? ????? g 1＝x 2 －3x ＋2>0， g －1＝x 2 －5x ＋6>0 ???? ? ? x <1或x >2，x <2或x >3 ?x <1或x >3. 4．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2 －2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2] 解析：选D 当a －2≠0时， ? ???? a －2<0， 4a －22 －4a －2·－4<0 ?? ???? a <2， a 2 <4?－2 当a －2＝0时，－4<0恒成立． 综上所述，－2 5．若函数f (x )＝log 2(x 2 －2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：已知函数定义域为R ，即x 2 －2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(－2a )2 ＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0) 6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪? ?? ??－12，＋∞，则a ＝________. 解析： ax －1x ＋1＜0?(ax －1)(x ＋1)＜0，根据解集的结构可知，a ＜0且1a ＝－1 2 ，∴a ＝－2. 答案：－2 7．已知不等式mx 2 －2x ＋m －2<0. (1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围； (2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2 －2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2 －2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立； 当m ≠0时，由二次函数的图象可知有 ? ?? ?? m <0，Δ＝4－4m m －2<0， 解得m <1－2， 综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)． (2)设g (m )＝(x 2 ＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2 ＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可， 即2x 2 ＋2－2x －2<0，解得0 8．已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )≥a 恒成立，即x 2 ＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2 －4(3－a )≤0，即a 2 ＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.∴a 的取值范围为[－6,2]． (2)f (x )＝x 2 ＋ax ＋3＝? ?? ??x ＋a 22 ＋3－a 2 4. ①当－a 2 <－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7， 由－2a ＋7≥a ，得a ≤7 3 ，∴a ∈?. ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2 4， 由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2.∴－4≤a ≤2. ③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7， 由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，可得a 的取值范围为[－7,2]． 二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得 第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式？ 【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？ 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的 横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表： 【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x) 一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤. 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ① 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ① 教学任务 教学过程设计 课后作业 一、选择： 1不等式038>-x 的解集是（ ） A ? B C 8{|}3x x ≠ D }3 8 { 2不等式04 1 2>+-x x 的解集是（ ） A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1 {|}2 x x ≠ 3设等于则B A x x B x x A I },11{},32{>-=<-= （ ） A }5201{<<<<-x x x 或 B }51{<<-x x C }01{<<-x x D }20{> 14设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2） （1）求b 的值； （2）解不等式 40() x m f x +>． 答： 15、解关于x 的不等式 )0( 12 ) 1(>>--a x x a 答： 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为．二元二次方程组-解法-例题
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