整式的加减知识点总结与题型汇总
整式的加减
整式知识点
1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一
类代数式叫单项式.
2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数
不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
3．多项式：几个单项式的和叫多项式.
4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多
项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；
注意：（若a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和x2+px+q 是常见的两个二次三项式.
5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
整式分类为：
单项式
整式.
多项式
6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边
是“- ”号，括号里的各项都要变号.
9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.
10. 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.
11. 列代数式
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平
方、倒数以及几分之几、几成、倍等等. 抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太
难了.
12. 代数式的值
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数
式的值.
13. 列代数式要注意
①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；
②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；
③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。
1
知识点1 代数式
用基本的运算符号( 运算包括加、减、乘、除、乘方与开方) 把数和表示数. 的字母连接起来的式子叫做代数式. 单独的一个数或一个字母也是代数式.
例如：5，a，2(a+b) ，ab，a
2-2ab+b
3
2 等等.
请你再举 3 个代数式的例子：___________________________________________
知识点2 列代数式时应该注意的问题
(1) 数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
如：-2 ×a=-2a，3×a×b=________，-2 ×x
2=________.
(2) 数字通常写在字母前面.
如：mn×(-5)=________ ，(a+b) ×3=_______.
(3) 带分数与字母相乘时要化成假分数.
如：2 1
2
×ab=________，切勿错误写成“ 2
1
2
ab”.
(4) 除法常写成分数的形式.
如：S÷x= S
x
，x ÷3=__________, x ÷
1
2 =__________
3
典型例题：1、列代数式：（1）a的3 倍与b 的差的平方：___________________
（2）2a与3 的和：____________ （3）x 的4
5
与
2
3
的和：______________
知识点3 代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
例如：求当x=-1 时，代数式x
2-x+1 的值.
解：当x=1 时，x
2-x+1=12-1+1=1.
∴当x=1 时，代数式x
2-x+1 的值是1.
对于一个代数式来说，当其中的字母取不同的值时，代数式的值一般也不相同。
2-x+1 的值。请你求出：当x=2 时，代数式
x
______________________________________________________________________________________ 知识点4 单项式及相关概念
由_____和_____的乘积组成的_____叫做单项式.单项式中的______叫做这个单项式的系数. 例
如，1
3
r 2 h
的系数是___，
2 r 的系数是___，abc的系数是____，－m 的系数是_____．
5
4
2
x yz
一个单项式中，所有字母的______的和叫做这个单项式的次数。例如，abc的次数是____，
的次数是____．
2
注意
（1）圆周率是常数；
（2）当一个单项式的系数是 1 或－1 时，“1”通常省略不写，如 2
ab ，－abc；
1 1
4
2
x y
写成
5
4
2
x y
（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如
．典型例题：1、下列代数式属于单项式的有：_________________（填序号）
(1) 3; (2)
x 5
2 x x
2
a ; (3) ; (4) ; (5) 3
3 m
5;
2、写出下列单项式的系数和次数.
(1)-18a 2b；(2)xy ；(3)
2 2
2x yz
3
3x4 (6)
；(4)-x ；(5) 2
2abc
答：(1)_________(2) __________(3) _________
(4) _________ (5) _________ (6) _________
3、若单项式x 2 是一个五次单项式，则x =______。
5a b
4、请你写出一个系数是-6，次数是 3 并且包含字母x 的单项式：__________。
知识点5 多项式及相关概念
(1) 几个单项式的和叫做__________. 例如：a
2-ab+b2，mn-3等.
(2) 在多项式中，每个_______叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做______。
2-3x+2，有____项，它们是__________，其中____是常数项．
如：多项式x
(3)一般地，一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里次数_____的项的____，就是这个多项
2y-3x2y2+4x3y2+y4 是_____次______项式，最高次项是4x3y2.
式的次数. 如：x
(4)_____________与__________________统称整式
典型例题：
1、下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？
(1)3x2y2—5xy2+x5-6；(2)-s2—
2s2t2+6t2；(3)
2y2—5xy2+x5-6；(2)-s2—2s2t2+6t2；
(3) 2
3
3
x—by （4）
a2 ab b
2
2
3
2y2-5xy2+x5-6 是_____，_____，_____，_____这四项的和. 是___次____项式.
解：(1 )3x
(2)_________________________________________________ 项的和. 是___次____项式.
(3)_________________________________________________ 项的和. 是___次____项式.
(4)_________________________________________________ 项的和. 是___次____项式.
2、多项式 2 3 2
- 2+4x y 6x x y 是____次____项式，其中最高次项的系数是_____，三次项的系数是_____常数项是_____
3
2+3x-1=6，则 x 2+3x+8=
；(2) 若 x 2+3x-1=6，则 **3 、(1) 若 x 1 3 2+x- x 1 3
-=
；
(3)若代数式 2a 2-3a+4 的值为 6，则代数式
2-3a+4 的值为 6，则代数式 2 3 a 2-a-1 的值
为 2-a-1 的值为
2 2 4、当 k= 时，代数式 x —(3kxy+3y )+ 1 3
xy —8 中不含 xy 项
知识点 6 同类项
所含______相同，并且相同字母的 ______也相同的项叫做同类项。所有的常数项都是 ________
典型例题： 1、下列各组中的两项属于同类项的是 ( )
A.
5 2 2y 与- x 3 2 3B.- 8a 2b 与 5a 2c ; C. x y
1 4
pq 与- 5 2
qp D.19abc 与-28ab
2、若
3 与 是同类项，则
m n
m 2 y 5x y
x
m 2 y
5x y
3
2
2 n
3、若
x
b 4
a b y
2
5 6 9
3a
与
可以合并成一个单项式，则 2x y ______
14. 考题类型一 ：合并同类项确定字母系数的值
例
如果代数式 x4+ax3+3x2+5x3-7x2-bx2+6x-2合并后不含 x2 和 x3项，求 a ，b 的值
15.考题类型二 ：由同类项定义求代数式的值
知识点 7 合并同类项及法则
Ⅰ. 把多项式中的同类项合并成一项，叫做 __________.
Ⅱ. 合并同类项法则：把同类项的 _____相加减，所得的结果作为系数， ___________保持不变 .
步骤：①找 ②移 ③合
2
a 2
a 2
典型例题： 1、填空：（1）3a
5 (__ __) ___ （2） ab 3ab (__ __) ab ____ 2、计算
2 3 2 a a 的结果是（
）
A ． 2
3a
B ． 2
4a
C ． 4
3a
D ．
4
4a 3、下列式子中，正确的是 ( ) A.3x+5y=8xy
B.3y
2-y 2=3
C.15ab-15ab=0
D.29x 3-28x 3=x
4、化简： (1)11x 2+4x-1-x 2-4x-5； (2)- 2+4x-1-x 2-4x-5； (2)-
2 3 a b 3+2a 2b- 3+2a 2b - 1 2 a 3b-2ab 2- 3b-2ab 2-
1 2 a 2b-a 3b
2b-a 3b
2
x 2
5、已知3x 2 29,求6 4的值。
知识点8 整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、
4
有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用。
【例17】把 a b 当作一个整体，合并 2
2(a b) 5
2
(b a)
2
(a b) 的结果是( )
A． 2
(a b) B．
2
(a b) C．
2
2(a b) D．
2
2(a b)
【例18】计算5(a b) 2(a b) 3(a b) 。
【例19】化简： 2 ( 1)3 ( 2)2 ( 2)2 ( 1)3
x x x x x 。
c
【例20】已知 3
a 2
b ，求代数式2
c a 2b 5
a 2
b
c 3
的值。
【例21】己知：a b 2 ，b c 3 ，c d 5 ；求 a c b d c b 的值。
【例23】当x 2 时，代数式
3
12 a x 3bx 5 的值。
3 1
ax bx 的值等于17 ，那么当x 1时，求代数式
【例24】若代数式 2
2x 3y 7的值为8，求代数式
2
6x 9 y 8 的值。
xy
【例25】已知 3
x y
，求代数式3x 5xy 3y
x 3xy y
的值。
知识点9 去括号法则
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“- ”号，把括号和它前面的“- ”号去掉，原括号里各项的符号都要改变.
5
注意：1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或
前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.
5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
对应练习：1、（1）2(a 3b) 2(b 5a) (2a __) (__ __) ___________ _____
（2）2(a 3b) 2(b 5a) (2a __) (__ __) ___________ _____
（3）2(a 3b) 2(b 5a) (__ __) (__ __) ___________ _____
2、化简m n (m n) 的结果为（）
A．2m B．2m C．2n D．2n
2 ab ab a2
3、先化简，再求值：3a 7 5 4 7 ，其中
1 a 2,b ．
3
知识点10 整式加减法法则
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
注意: 多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
典型例题：1、若 2 3 2, 5 7
A x x
B x ，请你求：（1）2A+B (2) A—3B
2、试说明：无论x,y 取何值时，代数式
3+3x2y-5xy +6y3)+(y3+2xy2+x2y-2 x3)-(4 x2y-x 3-3x y2+7y3)的值是常数.
( x
二、典型例题：
题型一利用同类项，项的系数等重点定义解决问题
例１已知关于x、y 的多项式ax
2+2bxy+x2-x-2xy+y 不含二次项，求5a-8b 的值。
例2 已知2 x y 与－x y 是同类项，则4m －6mn+7 的值等于（）
A. 6
B.7
C. 8
D. 5
m+2b3n+1 与例3. 若3a
1
10
b3a5是同类项，求m、n 的
值.
3a5是同类项，求m、n 的值.
题型二化简求值题
例1 先化简，再求值：
5x 2- （3y2+5x 2+7xy），其中x=-1 ，y=2。
2
）+（4y2- （3y2+5x
2+7xy），其中x=-1 ，y=2。
6
点评：整式化间的过程实际上就是去括号、含并同类项的过程，去括号注意符号问题。 题型三 计算型
例. 合并同类项。
2+6； （1）3x －2xy －8－2x+6xy －
x
2+2xy －y 2－3x 2－2xy+2y 2；
（2）－x
2b －7ab 2－8a 2b － ab 2。
（3）5a
【解析】 ：合并同类项的关键是找准同类项，（ 1）中 3x 与－2x ，－2xy 与 6xy ，－8 与 6 都是 同类项，可以直接进行合并；（ 2）中有三对同类项，可以合并，（ 3）中有两对同类项。 反思：同类项合并的过程可以看作是分配律的一个逆过程，合并同类项时应注意最后结果不再含有 同类项；系数相加时，不能丢掉符号，特别不要漏掉 “－ ”号；系数不能写成带分数；系数互为相反
数时，两项的和为 0。 题型四 无关型
3y 3－ 例. 试说明代数式 x
1 2 x 2y+y 2－2x 3y 3+0.5x 2y+y 2+x 3y 3－2y 2－3 的值与字母 x 的取值无
关 .
2y+y 2－2x 3y 3+0.5x 2y+y 2+x 3y 3－2y 2－3 的值与字母 x 的取值无关 .
三、针对性训练： （一）概念类 1、在
1
1
2 3
2
2
2
xy, 3,
x 1,x y, m n, ,4 x , ab , 4 x x 3
,
2
b 中，单项式有：
多项式有：
。
2、 a 2
的系数是 ______．
3、单项式
3 5ab 8
的系数是
, 次数是 ；当 a 5,b 2 时，这个代数式的值是
________.
4、已知-7x
5、填一填
2y m 是 7 次单项式则 m= 。
整式-ab πr 2
2
3
ab -a+b
2
3x 5y
2
4 a3b2-
2a
3b2-
2a
2b2+b3-7ab+5
系数
次数
项
7
6、单项式 2
5x y 、
2 2
3x y 、
2
4xy 的和为．
7、写出一个关于x 的二次三项式，使得它的二次项系数为-5 ，则这个二次三项式
为。
8、多项式 2
2a a 3的项
是。
9、一个关于 b 的二次三项式的二次项系数是-2，一次项系数是-0.5 ，常数项是3，则这个多项式
是_____________。
10、7-2xy-3x 2y3+5x3y2z-9x 4y3z2 是次项式，其中最高次项是，最高次项的系数是，
常数项是，是按字母作幂排列。
11、多项式 2 2 3
7xy 5y 8x y 3x 按x的降幂排列是__ ．
12、如果多项式3x ＋y
2＋2xy n
2 是个三次多项式，那么n= ．
13、代数式 2 2
a a 的第二项的系数是________，当a 1时，这个代数式的值是________．
14、已知-5x
m y3与4x3y n 能合并，则m n = 。1
1
n 2 n 1 3 m 3
a b 的和仍是单项式，则m _____，n _____．
15、若 a b 与
2 2
16、两个四次多项式的和的次数是（）
Ａ．八次Ｂ．四次Ｃ．不低于四次Ｄ．不高于四次
2 kxy y xy
2
17、多项式x 3 3 8化简后不含xy项，则k 为。
2 2
18、一个多项式加上－x ＋x－2 得x －1，则此多项式应为________.
（二）化简类
1、（a3-2a2+1）-2( 3a2-2a+
3-2a2+1）-2( 3a2-
2a+ 1 ) 2、x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2) 2
a 1
3、5 6( 2a )
4、2a (5b a) b
3
1
5、－3(2x y) 2(4x y) 2009
6、－2m 3(m n 1) 2 1
2
2 y2 y2 z2 z2 y2 2 x2 x2 x2
7、3(x ) ( ) 4( ) 8、x { [ ( 1) 1] 1} 1
2 b2 ab a2 ab 9、2( a b
3a ) [2 (5 ) 2 ]
10、3（－2ab＋3a ）－（2a－b ）＋6ab ；
11、1 2
a －[
2
1
2
( ab－ 2
a )＋4ab]－
1
2
ab.
12、2x 3(x 2y 3z) 2(3 x3y 2z) ；
13、 2 2 2
8m [4m 2m (2m 5 m)]
8
（三）求值类
1、已知：a 3,| b | 2 ，求代数式 3 3
2a b 的值．
2、先化简，再求值：
（1） 2 2 2
5xyz 2x y 3 x yz (4 xy x y) ，其中x 2 ，y 1，z 3 ；
2 a b ab a2b ab2 a2b
2 2
（2）2(ab 2 ) 3( ) (2 2 ) 其中：a 2,b 1.
1
2 b 2 的值。
3、已知(a 2) (3 1)0，求： a b ab ab a b) 4ab] 2ab
3 [26(
2 2 2
2
4、已知：
2
2
m, x, y满足: (1) ( x 5) 5 m
0;
3
2 1 7
3 2
y
(2) 2a b 与b a 是同类项.
2 y m xy y x xy y
2 2 2 2
求代数式: 2x 6 ( 9 ) (3 3 7 ) 的值。
5、已知m n 2 ，mn 1，求多项式
( 2mn 2m 3n) ( 3mn 2n 2m) (m 4n mn) 的值．
6、已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a - (2ab-2b)+3] 的值。
7、已知 2 2 2, 2 3 2
A a ab b
B a ab b ，求：（1）A B ；（2）2A 3B ．
8、一位同学做一道题：已知两个多项式A、B，计算2A+B，他误将“A+B?”看成“A+2B”求得的结
果为9x
2－2x+7，已知B=x2+3x－2，求正确答案．
1
3 x y xy2 x xy2 y3 x3 x2 y y3
2 3
9、有这样一道题: “计算(2x 3 2 ) ( 2 ) ( 3 )的值，其中x , y 1”。
2
甲同学把“
1
x ”错抄成“
2
1
x ”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个
2
结果？
10、试说明：不论x取何值代数式
3 x x x x x x x x
2 2
3 2 3
(x 5 4 3)( 2 3 1)(4 7 6 )的值是不会改变的。
11、若(x 2＋ax－2y＋7)―(bx 2―2x＋9 y －1)的值与字母x 的取值
无关，求a、b 的值。
12、已知 2
1 0
2 x
x x ，求 4 4 9
x 的值.
四、巩固练习
A组
一、选择题:
16.下列说法错误的是（）
n xy 的系数是3n , 次数是2; A.0 和x 都是单项式; B.
3
9
x y 1 2 1 x y
C. －都不是单项式;
D. x
和和都是多项式 3
x x 8
17.小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n 节车厢（n>m），他数过的车厢节数是（）
A.m+n
B.n-m
C.n-m-1
D.n-m+1
18.下列运算中正确的是（）
A. － 3 =3
B. 5 2 7
(a ) a ; C.
2 2
0.2 a b 0.2a b 0 D.
2
( 4) =-4
19.x- （2x-y ）的运算结果是（）
A.-x+y
B.-x-y
C.x-y
D.3x-y 5.
下列各式正确的是（）
A. 2 2
( a) a ; B.
3 3
( a) a ; C.
2 2
a a D.
3 3
a a
6. 下列算式是一次式的是（）
A.8
B.4s+3t
C. 1
2
ah D.
5
x
二、填空题:
1. 多项式x 2
y -9xy+5
2
x y-25 的二次项系数是__________。
2. 若a=- 2
( 2) ，b=-
3
( 3) ，c=-
2
( 4 ) ，则- 〔a- （b-c ）〕的值是__________。
3. 计算-5a+2a=_____。
4. 计算：（a+b）- （a-b）＝_______。
5. 若2x 与2-x 互为相反数，则x 等于___________。
6. 把多项式3x 3
y +
3
x y+6-4
2 2
x y 按x 的升幂排列是____________。
三、解答题
1. 化简：5 2 a - 〔 2
a +（5
2
a -2a）-2（
2
a -3a ）〕。
2. 已知a、b 是互为相反数，c、d 是互为倒数，e 是非零实数，
求
1
2( a b) cd 2e 的值。
2
3. 某轮船顺流航行3h，逆流航行 1.5h ，已知轮船静水航速为每小时akm，水流速度为每小时bkm，轮船共航行了多少千米？
B组
1. 化简m（m-1）- 2
m 的结果是（）
A.m
B.-m
C.-2m
D.2m
2. x是两位数，y是三位数，y放在x左边组成的五位数是______________.
3. 有一棵树苗，刚栽下去时，树高2. 1米，以后每年长0. 3米，则n年后的树高为_____________.
4. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5
元，那么一张光盘在出租后第n天（n＞2的自然数）应收租金_________________________元.
10
5. 某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价为__________元.
6．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加了25 00 ，因库存积压，所以就按销售价的70 00 出售，那么每台实际售价为____________________元.
7．如果某商品连续两次涨价10％后的价格是ａ元，那么原价是_______________.
20.观察下列单项式：x,-3 x
2,5 x3,-7 x4,9 x5, , 按此规律，可以得到第2010 个单项式是_________.
第n 个单项式怎样表示____________.
9. 电影院第一排有 a 个座位，后面每排比前一排多 2 个座位，则第x 排的座位有____________个.
10. 你一定知道小高斯快速求出：1+2+3+4+, +100=5050 的方法,现在让我们比小高斯走得更远，求
1+2+3+4+, +n=_______________.
3=12，请你继续观察：
1
1
3+23=32，
1
3+23+33=62，
1
3+23+33+43=102，
3+23+33+, +n3 =_______________________.
,, 求出：1
11. 观察下列各式： 1
2+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4 ,,
请你将猜想到的规律用自然
数n(n≥1)表示出来______________________.
12．如图，为做一个试管架，在 a cm 长的木条上钻了4 个圆孔，每个孔直径2cm，则x 等于
_________.
x x x x x
13. 用棋子摆出下列一组三角形,三角形每边有n 枚棋子,每个三角形的棋子总数是S.按此规律推断,当
,该三角形的棋子总数S 等于______________.
三角形边上有n 枚棋子时
n 2,S 3 n 3, S 6 n 4, S 9 n 5,S 12
0.3观察下列数表：
第一列第二列第三列第四列
第一行 1 2 3 4 ,
第二行 2 3 4 5 ,
第三行 3 4 5 6 ,
第四行 4 5 6 7 ,
, , , , ,
根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数是什么数，第n 行与n 列交叉点上的
数是_________________（用含有正整数n的式子表示）．
11
21.将自然数按以下规律排列，则98 所在的位置是第行第列．
第一列第二列第三列第四列
第一行
1 2 9 10 ,
第二行
4 3 8 11 ,
第三行 5 6 7 12 ,
第四行
16 15 14 13 ,
第五行17 ,
3 2
16. 请写出－2ab c 的两个同类项_________、________；你还能写多少个？________；它本身是自
m 2 是它的同类项？
m
己的同类项吗？___________；当m=________, 3. 8a b c
1
4 x b x2 是关于x 的三次多项式，那么a=________, b=__________. 17. 如果多项式
5
(a2) x
2
0.4如果关于x 的二次多项式－3x
2＋mx＋nx2－x＋3 的值与x 无关，那么m=______, n=________.
3b－0.75ab k＋3×105 是五次多项式，则k=__________.
0.5若2a
0.6如果一个多项式的次数是4，那么这个多项式任何一项的次数是（）
A. 都小于 4
B. 都不大于 4
C. 都大于4
D. 无法确定
0.7如果多项式x
4－(a－1)x3＋5x2＋(b＋3)x－1 不含x3 和x 项，则a=________, b=_________.
0.8将多项式 2 2
2 2 2
4a b ab ab ab 写成和的形式为_______________________________._
2 C. 2x2+2 x2=4x4 D. 23. 下列计算正确的是（）A. 3a-2a=1 B. –m–m=m 7x
2y3-7y3x2=0
3 3
Axy By x
7. 如果0，则A+B=( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. –1
2xy
8.把多项式2a－b＋3 写成以2a 为被减数的两个式子的差的形式是___________________.
9.把(x－3)
2－2(x－3)－5(x－3)2+(x－3)中的(x－3)看成一个因式合并同类项，结果应（）
A. －4(x－3)
2+(x－3) B. 4(x－3)2－x (x－3)
整式的加减知识点总结以及题型归纳
整式的加减 【本将教学内容】 整式的基本概念、加减运算、代数式求值等 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：???多项式单项式 整式 . 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所
数列知识点总结及题型归纳
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
整式的加减知识点总结以与题型归纳
整式的加减 【本将教学容】 整式的基本概念、加减运算、代数式求值等 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2 +bx+c 和x 2 +px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：?? ?多项式 单项式整式 . 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所
《整式的加减》知识点
第二章《整式的加减》知识点填空 一、整式 1. 代数式：用基本的运算符号把 和表示 连接起来的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的值：一般地，用 代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 注意：（1）当数与字母相乘时，乘号通常简写为“ ”或 ，并且数在 ，字 母在 ，若数字是带分数， 要化为 。 （2）字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或者写为“· ”。 （3）除法写成 的形式。 3. 单项式：如100t 、6a 2b 、2.5x 、vt 、-n ，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做 ，单独的一个数或一个字母也是 。 4. 单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数。例如：单项式100t 、6a 2b 、 2.5x 、vt 、-n 的系数分别 是 、 、 、 、 。 5. 单项式的次数：一个单项式中， 叫做这个单项式的次数。例如：单项式100t 、6a 2b 、2.5x 、vt 、 -n 的次数分别是 、 、 、 、 。 6. 多项式：如2x-3，3x+5y+2z ，2 1ab-πr 2，它们都可以看作几个单项式的和，像这样 叫做多项式。其中 叫做多项式的项，不含字母的项叫做 项。例如： 在多项式2x-3中，2x 和-3是它的项，其中-3是常数项。 7. 多项式的次数：多项式里 次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x ，这个多项式的次数是1；在多项式x 2 +2x+18中， 次数最高的项是二次项x 2，这个多项式的次数是2。 注意：（1）多项式的次数取决于多项式中次数最高项的次数。（2）多项式的每一项都包括
1.高考数学考点与题型全归纳——集合
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
(完整版)初一整式的加减所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初一整式的加减所有知识点总结和常考题 知识点： 1．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。 2．单项式系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式数字系数，简称单项式的系数； 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和，叫单项式的次数. 4．多项式：几个单项式的和叫做多项式。 5．多项式的项与项数：多项式中每个单项式叫多项式的项;不含字母的项叫做常数项。 多项式里所含单项式的个数就是多项式的项数； 6．多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；常数项的次数为0（若a、b、c、p、q是常数）ax+bx+c和x+px+q是常见的两个二次三项式. 22注意： 7.多项式的升幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按这个字母的升幂排列。 多项式的降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从大到小排列起来，叫做按这个字母的降幂排列。 （注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. ８．整式：单项式和多项式统称为整式，即凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 单项式? . （注意：分母上含有字母的不是整式。：９．整式分类）整式?多项式?１０．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. １１.合并同类项法：各同类项系数相加，所得结果作为系数，字母和字母指数不变。 １２．去括号的法则：(原理：乘法分配侓) （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。１３.添括号的法则：（１）若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （２）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. １４. 整式的加减：进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项；整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 整式加减的步骤：（1）列出代数式；（2）去括号；（3）添括号（4）合并同类项。 整式的加减：一找：（划线）；二“+”（务必用+号开始合并）三合：（合并） 常考题： 一．选择题（共14小题）
高中数学集合基础知识及题型归纳复习
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
整式的加减知识点总结以及题型归纳
整式的加减知识点归纳 一 用字母表示数 1.字母和数一样可以参与运算 2.在含有字母相乘的代数式子中，乘号可以写作“·”或不写，并且数字写在字母前面。 3.数与字母或字母与字母相除时，应写为分数的形式。 4.如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。 5.实际问题中的和差形式且带单位时，应将和，差加括号。 二 单项式 1．单项式定义：数字和字母的积的式子叫做单项式。（单独的数字或字母也是单项式，π是数而不是字母） 注：分子中含有字母，分母是数字的代数式也是单项式。 分母中含有字母的代数式叫分式，不是单项式。 2．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 三 多项式和整式 1．多项式：几个单项式的和叫多项式. 2．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：多项式的每一项包含它前面的符号。 3：常数项：多项式中不含字母的项 3．整式：???多项式单项式 整式 . 四 合并同类项与去括号 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 注：若合并同类项后的系数和为1或-1，可以省略“1”，若合并同类项后的系数和为0，则同类项九尾0. 3．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是正因数，括号里的各项都不变号；若括号前边是负因数，括号里的各项都要变号。（注：注意运用乘法分配律，不要漏乘项）
9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.整式的加减的步骤：（1）去括号 （2）合并同类项 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语进行列式。 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值. 整式的加减题型 一：用字母表示数 题型1： 题型2：某商店经销一批衬衣，每件进价为a 元，零售价比进价高m %，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n %出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（ ） A. a （1＋m %）（1－n %）元 B. am %（1－n %）元 C. a （1＋m %）n %元 D. a （1＋m %·n ％）元 二：单项式 题型1. 找出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数. x －7，13x ，23a ，8a 3x ，－1，x ＋13 . 题型2下列代数式中：)(61b a +-，,21+m x ，2332c ab -，5，xy x 232-，12+a b ，y 1， 单项式有，多项式有， 整式有 题型3： 题型4： 三：多项式 题型1： 题型2：若多项式5)4(3-+--x x x a b 是关于x 、y 的二次三项式，则a=，b=； .
(完整版)一元一次不等式组知识点及题型总结(可编辑修改word版)
x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理
由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1
整式的加减知识点总结与典型例题(人教版初中数学)
整式的加减知识点总结与典型例题 一、整式——单项式 1、单项式的定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：⑴单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如2 3x 的系数是3；3 2 ab 的 系数是 3 1 ；a 8.4的系数是4.8； ⑵单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号， 如24xy -的系数是4-；() y x 22-的系数是2-； ⑶对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如2 ab -的 系数是-1；2 ab 的系数是1； ⑷表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将 其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy 的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明：⑴计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1 的情况。如单项式z y x 2 4 2的次数是字母z ，y ，x 的指数和，即4＋3＋1=8， 而不是7次，应注意字母z 的指数是1而不是0； ⑵单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式 43242z y x -的次数是2＋3＋4=9而不是13次； ⑶单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式 是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“? ”或者省略不写。 例如：t ?100可以写成t ?100或t 100 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. ※典型例题 考向1：单项式 1、代数式 中，单项式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、下列式子： 中，单项式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
集合知识点总结
集合知识点总结 Prepared on 22 November 2020
辅导讲义：集合与常用逻辑用语 1、集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法：列举法、描述法。 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为 A ? B ，或B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作 U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作 B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作 B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有属于和不属于两种，集合与集合间的关系，用包含、真包含
整式的加减知识点总结与题型汇总
整式的加减 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一 类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数 不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多 项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和x2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为： 单项式 整式. 多项式 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边 是“- ”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10. 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平 方、倒数以及几分之几、几成、倍等等. 抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太 难了. 12. 代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数 式的值. 13. 列代数式要注意 ①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略； ②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。 1
整式的加减全章知识点总结
第二章 整式的加减 知识点1、单项式的概念 式子x 3,m t xy a ---,6.2,,32它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。 一种运算是指数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，如ab 2;二是字母与字母组成的式子，如3xy ;三是单独的一个数或字母，如m a ,2-，。 知识点2、单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如42x 的系数是2；3ab 的系数是3 1，的系数是。 （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－()xy 2的系数是－2 （3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－2 xy 的系数是－1；2xy 的系数是1。 （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy 的系数就是2π 知识点3、单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式z y x 342的次数是字母z y x ,,的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z 的指数是1而不是0. （2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。 （3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式－43242z y x 的次数是2＋3＋4=9而不是13次。 （4）单项式通常根据实验室的次数进行命名。如x 6是一次单项式，xyz 2是三次单项式。 知识点4、多项式的有关概念 （1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
高考集合知识点总结与典型例题
集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：
七年级数学_整式的加减__培优题型总结(最全)
第三讲 整式的加减 （一） 一、常考题型题型总结 【题型1】抄错题问题 【例1】小郑在一次测验中计算一个多项式A 减去xz yz xy 235+-时，不小心看成加上 xz yz xy 235+-，计算出错误结果为xz yz xy 462-+，试求出正确答案。 【例2】数学课上七年级一班的张老师给同学们写了这样一道题“当2,2-==b a 时,求多项式 ??? ??---+- 2233233414213b b a b a b b a b a ??? ? ? ++b a b a 23341 322+-b 的 值”,马小虎做题时把2=a 错抄成2-=a ,王小真没抄错题,但他们做出的结果却都一样,你知道这是怎么回事吗?说明理由. 【培优练习】 1、李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案。
2、某同学做一道数学题,误将求“A-B ”看成求“A+B ”, 结果求出的答案是 3x 2-2x+5.已知A=4x 2-3x-6,请正确求出A-B. 3、一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A+B ”。他误将“2A+B ”看成“A+2B ”，求得的结果为。已知B=，求原题的正确答案。 4、计算下式的值： 甲同学把 错抄成 ，但他计算的结果也是正确的，你能说明其中的原因 7292 +-x x 232 -+x x
吗？ 【题型2】分类讨论型问题 【例1】如果关于x 的多项式2 1 424- +x ax 与x x b 53+是次数相同的多项式,求4322 123 -+-b b b 的值 【培优练习】 1、多项式12423232+++-+x x x ax x a 是关于x 的二次多项式，求a a a ++221 【题型3】绝对值双值性 【例1】已知3x 2y |m|-（m-1）y+5是关于x ，y 的三次三项式，求2m 2-3m+1的
高中数学集合与函数的概念知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
高中数学集合与函数的概念 知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B A B B A 且 ??? 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 1.1.3 集合的基本运算
集合知识点及题型
集合 本章框架 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 集合间的基本关系
整式的加减知识点总结及题型汇总
整式的加减知识点总结及题型汇总
整式的加减知识点总结及题型汇总 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：???多项式单项式整式 . 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，
括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值. 13. 列代数式要注意 ①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略； ②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。 知识点1 代数式
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