高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

1．定义运算??

????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如???

???=?????????????1514543021.已知πβα=+，

2

π

βα=-，则=?

?

?

????????

??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00??

????

B. 01??????

C. 10??????

D. 11??????

2．定义运算

a b

ad bc

c d =-,则符合条件

120

121z

i i i

+=--的复数z 对应的点在

( )

A.第四象限

B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限

3．矩阵E =???

?

??1001的特征值为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 任意实数

4． 若行列式21

24

1

013

9x

x =-，则=x ．

5．若2021310x y -??????= ??? ?-??????

，则x y += ．

6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-??

???

，则

x y -=_______．

7．矩阵1141??

????

的特征值为 ． 8．已知变换100M b ??

=?

???

，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618

法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知

，

，则y= ．

11．若2211

x x

x y y y =--，则______x y +=

12．计算矩阵的乘积=???

?

??-????

??0110n m y x ______________ 13．已知矩阵A －1

=???

?

??1201，B －1 =???? ??1011，则 (AB)－1

= ； 评卷人 得分

七、解答题

14．已知矩阵1252M x -??

??=????

的一个特征值为2-，求2M . 15．已知直线1=+y x l ：在矩阵?

?

?

?

??=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .

16．[选修4—2：矩阵与变换]

已知矩阵1214A ??

=??

-??

，求矩阵A 的特征值和特征向量． 17．已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111??

=????

e ，并且矩阵M 对应的

变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵M ． 18．（选修4—2：矩阵与变换）

设矩阵

02 1a ??=????M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程．

19．已知矩阵A ＝?????? 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝????

??

11，属于

特征值1的一个特征向 量为α2＝??

??

??

3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 20．选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵M ＝12b c ??????有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝23??

????

．

（1）求矩阵M ；

（2）求曲线5x 2＋8xy ＋4y 2

＝1在M 的作用下的新曲线的方程． 21．求直线x ＋y ＝5在矩阵0011??

?

???

对应的变换作用下得到的图形． 22．已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵． 23．求点A(2，0)在矩阵1002??

?

?

-??

对应的变换作用下得到的点的坐标． 24．已知N=0110-??

???

,计算N 2

.

25．已知矩阵M ＝1234???

???，N ＝0113-??

????

． （1）求矩阵MN ；

（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P 的坐标．

26．已知矩阵20 01??=????A ，11 25-??=????

B ，求矩阵1

-A B

27．已知矩阵A =10-??

? 02?

??

，B =01??? 26???，求矩阵1A B -.

28．求使等式 2 4 2 03 50 1M ????

=?

???????

成立的矩阵M ． 29．已知矩阵A =??? ??b a 12有一个属于特征值1的特征向量

???

? ??-=12α. (Ⅰ) 求矩阵A ； (Ⅱ) 若矩阵B =?

?

?

??-1011，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作

用下的像的方程.

30．已知矩阵A 的逆矩阵1

13441122-??-??=????-????

A ,求矩阵A 的特征值.

参考答案

1．A

【来源】2012-2013学年湖南省浏阳一中高一6月阶段性考试理科数学试题（带解析） 【解析】

试题分析：根据题意，由于根据新定义可知??

?

???++=???????????

??df ce bf ae f e d c b a ，那么由2

π

βα=

-,

π

βα=+sin cos cos sin cos cos sin s ()cos sin sin cos cos sin sin cos()in ααβαβαβαβααβαβαβαβ++?????????==????????+-????????=00??

????

，故选A. 考点：矩阵的乘法

点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查知识点比较多有一定的计算量 2．D

【来源】2012-2013学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：

按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由

于120

121z

i i

i

+=--，即可知z （1-i ）-（1-2i ）（1+2i ）=0，∴z （1-i ）=5

设z=x+yi ，∴z （1-i ）=（x+yi ）（1-i ）=5，（x+y ）+（y-x ）i=5，x+y=5，y-x=0,那么可知即x=y=

5

2

＞0复数对应点在第一象限，故选D. 考点：复数

点评：主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算，是高考常考点，也是创新题，属于基础题。 3．A

【来源】2012-2013学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】

试题分析：解：矩阵M 的特征多项式f （λ）=00-1-1λλ??

? ???

=（λ-1）（λ-1）0所以（λ-1）（λ-1）=0,可知λ-=1，故即为所求的特征值，因此选A. 考点：矩阵的特征值

点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．

4．2或3-

【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：由题意得0|311|4|9

11|2|93|2

2=-?+?+-x x x x ，所以062=+-x x ，解得

=x 2或3-．

考点：三阶行列式的应用． 5．2

【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：因为2021310x y -??????

= ??? ?-??????

，所以???=+--=10322y x x 解得???=-=31y x ，所以x y +=2

考点：矩阵的含义．

6．2

【来源】【百强校】2015-2016学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式 ??

?=+=-2

02

y y x 解得 x=4，y=2，故答案为：2．

考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义． 7．3或－1.

【来源】2013-2014学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷（选修物理）（带解析） 【解析】

试题分析：矩阵1141??????

的特征多项式为41--λ4)1(112

--=--λλ.令04)1(2=--λ，可得3=λ或1-=λ.故应填3或－1.

考点：矩阵特征值的定义. 8．1

【来源】2013-2014学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：由102011a b ??????=??????

-?

?????得2,1, 1.a b a b =-=+= 考点：矩阵运算

9．33.6ml

【来源】2013届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题（带解析） 【解析】

试题分析：根据公式x 1=小+0.618（大-小）=10+0.618（110-10）=71.8， x 2=小+大-x 1=10+110-71.8=48.2，

此时差点将区间分成两部分，一部分是[10，71.8]，另一部分是[71.8，110]将不包含好点的那部分去掉得存优部分为[10，71.8]， 根据公式x 3=小+大-x 2=10+71.8-48.2=33.6， 所以第三次实验时葡萄糖的加入量为33.6mL ，

故答案为33.6ml 。

考点：黄金分割法--0.618法

点评：简单题，熟练掌握黄金分割法的基本概念及步骤是解答的关键。

10．1

【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷带解析） 【解析】 试题分析：由已知

，

，

所以x ﹣2=0，x ﹣y=1 所以x=2，y=1．

考点：二阶行列式的定义

点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题 【答案】0

【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析） 【解析】2

2

20x y xy x y +=-?+=． 【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题。 12．y x n m -??

?-??

【来源】2012-2013学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题（带解析） 【解析】

试题分析：根据矩阵乘法法则得，0110x y y x m n n m --??????

=

??? ?-??????。

考点：矩阵乘法法则。

点评：简单题，应用矩阵乘法法则直接计算，属于基础题。

13．???

? ??3211

【来源】2012-2013学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】

试题分析：设A=a b c d ???????? ，则可知a b c d ???????????? ??1201=1001????????，可知得到A=1201??

-??????

，同理可知B=1110??-??????

，则可知(AB)－1 =???? ??3211 考点：矩阵的乘法，逆矩阵

点评：利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解，即可得到答案．属于基础题。

14．

264514M ??=???? 【来源】2016届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析）

【解析】

试题分析：由矩阵特征多项式得

2(1)(5)0x x λλ---+=一个解为2-，因此3x =，再根据矩阵运算得

2

64514M ??

=???? 试题解析：解：2λ=-代入21

2

(1)(5)0

5

2x x x

λλλλ+-=---+=--，得3x =

矩阵

12532M -??

??=???? ∴

264514M ??=???? 考点：特征多项式 15．

1201A ??=?

??? 【来源】2016届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷（带解析）

【解析】

试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线:1l x y +=上任意一

点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，则有x mx ny y y '=+??

'=? ，因为1x y ''-=所以()1mx ny y +-=与1=+y x l ：重合，因此1

11m n =??

-=?．

试题解析：解：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点

(,)M x y ''' ．

由''01x m n x mx ny y y y +????????==????????

???

?????,得x mx ny

y y '=+??'=? 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=

依题意111m n =??-=?,解得12m n =??=?，

1201A ??

∴=??

?? 考点：矩阵变换

16．属于特征值12λ=的一个特征向量

121

α??

=??

??属于特征值23λ=的一个特征向量

211

α??=??

??

【来源】2016届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：由特征多项式为

()21

2

5614

f λλλλλ--=

=--+=0解得两个特征值12λ=，

23λ=．再代入得对应特征方程组，因此属于特征值12λ=的一个特征向量

121

α??=??

??，属于

特征值23λ=的一个特征向量

211

α??=??

??． 试题解析：矩阵A 的特征多项式为()21

2

561

4

f λλλλλ--=

=--+，

由

()0

f λ=，解得12λ=，23λ=．

当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=??

-=?

故属于特征值12λ=的一个特征向量

121

α??=??

??；

当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=??

-=?

故属于特征值23λ=的一个特征向量211

α??=??

??．

考点：特征值及特征向量

17．1436-????

-?

? 【来源】2016届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析）

【解析】

试题分析：列方程组1133113a b c d ????????

==?????????

???????，19215a b c d -??????

=??????

?

?????解得1,4,3,6a b c d =-==-=

试题解析：解：设a b c d ??=????M ,则1133113a b c d ????????

==????????????????,故3,3a b c d =??=?++．

19215a b c d -??????

=??????

??????,故29,215a b c d -=??-=?++．

联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=,故M =1436-??

??

-?

?． 考点：矩阵特征值及特征向量

18．

22

841x xy y ++= 【来源】2016届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：实质利用转移法求轨迹方程：先确定矩阵M ，由矩阵M 有一个特征值为2，得矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--有一个解2，所以2a =．再设曲线C 在矩

阵M 变换下点(,)x y 变换为点(,)x y ''，由 2 0M 2 1x x x y y y '????????==????????'????????得22x x y x y '=??'=+?，

代入221x y ''+=得

22

841x xy y ++= 试题解析：由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--， 因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =．

所以 2 0M 2 1x x x y y y '????????==????????'???

?????，即22x x y x y '=??'=+?， 代入方程221x y +=，得

22

(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=．…10分

考点：矩阵特征值

19．A ＝?????? 3 3 2 4， A 的逆矩阵是

?????

??? 23 －1

2 －1

3 12 ． 【来源】【百强校】2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知??

???? 3 3 c d ??????11＝6??????11，?????? 3 3 c d ????

??

3－2＝

????

??

3－2，解得关于,c d 方程组，联立即可．

试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝??????11可得，?????? 3 3 c d ??????11＝6????

??

11，

即c ＋d ＝6；

由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝?????? 3－2，可得?????? 3 3 c d ?????? 3－2＝????

??

3－2， 即3c －2d ＝－2．

解得???c ＝2，d ＝4．即A ＝?????? 3 3 2 4， A 的逆矩阵是

??????

?? 23 －1

2 －1

3 12 ． 考点：矩阵的运算．

20．（1）1232????

??

（2）x 2＋y 2

＝2． 【来源】【百强校】2016届江苏省苏州中学高三上学期初考试数学试卷（带解析）

【解析】

试题分析：（1）由特征值与对应特征向量关系得：12b c ??????23??????＝812??

????，即2＋3b ＝8,2c ＋

6＝12，b ＝2，c ＝3，所以M ＝1232??

????

．（2）由转移法求轨迹得，先设曲线上任一点P （x ，y ）在M 作用下对应点P′（x′，y′），则 x y '????'??＝1232??????

x y ??????，解之得2

34

y x x x y y ''-?

=???''-?=

??代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x′2＋y′2＝2，即曲线5x 2

＋8xy ＋4y 2

＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2

＋y 2

＝2．

试题解析：解：（1）由已知12b c ??????23??????＝812??

????，即2＋3b ＝8,2c ＋6＝12，b ＝2，c ＝3， 所以M ＝1232??????

．（4分） （2）设曲线上任一点P （x ，y ），P 在M 作用下对应点P′（x′，y′），则x y '????'??＝

1232??????x y ??????

，

解之得2

34

y x x x y y ''-?=???''-?=??代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1得x′2＋y′2＝2，

即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2

＝2．（10分）

考点：特征值，特征向量，矩阵变换 21．点(0，5)

【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析） 【解析】设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵0011??

?

???

的作用下点变换成(x ′，y ′)，则0011???

???x y ??????＝''x y ??????，所以'0

'x y x y =??=+?

.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y ′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)． 22．1020??

?

???

【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析） 【解析】将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x ，2x)，则有00a b ???

???x y ??????＝2x x ????

??，解得12.a b ???＝，＝∴T ＝1020??

????

. 23．A ′(2，0)

【来源】2014届高考数学总复习考点引领 技巧点拨选修4－2第1课时练习卷（带解析）

【解析】矩阵1002??

??-??

表示横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴负方向拉伸为原来的2倍的伸

压变换，故点A(2，0)变为点A ′(2，0) 24．1001-??

?-??

【来源】2014年高考数学全程总复习课时提升作业七十五选修4-2第二节练习卷（带解析） 【解析】N 2

=0110-??

???0110-?? ???=1001-??

?-??

25．（1）MN ＝1234???

???0113-??????＝2549?????

?；（2）P(5

2， 1). 【来源】2014届江苏南京金陵中学高三第一学期期中考试理科数学试卷（带解析）

【解析】

试题分析：（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用2549???

???x y ??

??

??

＝

01??

????

，转化为关于,x y 的二元一次方程，解出,x y ，即点P 的坐标；法二，求出MN 的逆矩阵，直接计算,x y . 试题解析：（1）MN ＝1234??????0113-??????＝2549??

???

?； 5分

（2）设P(x ，y)，则 解法一：

2549??????x y ??????＝01??????，即250

491x y x y +=??+=?

解得521

x y ?=???=-?即P(52， 1)． 10分

解法二：

因为12549-??????

＝95222

1??-????-??．所以x y ??????＝9

52

221??

-????-??01??????

＝521??????-??

． 即P(

5

2

， 1)． 10分 考点：矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.

26．11 2225??-

??????

【来源】2014届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：先用待定系数法求出1

A

-，再求出1

-A B .

试题解析：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ??????，则2010 0101a b c d ??????=????????????

， 1分 即2210 01a b c d ????

=?

????

???， 4分 故1,0,0,12

a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1

1

0 210

A -???=????． 7分

所以1

11

1011 222125025A B -???--??????==????????????

． 10分

考点：矩阵的乘法、逆矩阵.

27． 10-??? 23-?

??

【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷带解析） 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a c ??? b d ?

??，则10-??

? 02?

??a c ??? b d ?=??10??? 01???，即2a c -??? 1

20b d -??=????

01?

??

， ∴1a =，0b =，0c =，12

d =，从而，A 的逆矩阵为1

10A --??=??? 012?

???， ∴1

10A B --??=?

?? 012?

???

1

0???26?=??10-???

23-?

??.

【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力. 28．1235M ??

=?

???

【来源】2012届江苏省涟水中学高三上学期期中考试数学试题（带解析）

【解析】

试题分析：解：设m n M p q ??=?

???，则由 2 4 2 03 50 1M ????

=????

????

22m n p q ??

=????

（5分）

则2224

3

5

m n p q =??=?

?=??=?1

235m n p q =??=???=??=?，即1235M ??=??

??. （10分） 考点：矩阵

点评：主要是考查了矩阵的求解的运用，属于基础题。 29．（1）A =??

?

??3122.（2）20x y ++=

【来源】2013届福建省福建师大附中高三5月高考三轮模拟理科数学试卷（带解析） 【解析】

试题分析：(Ⅰ)由已知得???

?

??-?=???? ??-????

??1211212b a ，所以???-=-=-，，12222b a 2分 解得??

?==，

，32b a 故A =???

??3122. ……………………………………………………3分

(Ⅱ) BA =???

??-1011??? ??3122=1113-?? ???

，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线10x y ++=上的两点（0，1），（-1，2）， 4分

11011313-??????= ??? ?-??????，11011311--??????

= ??? ?-??????

，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A 所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） 6分

从而直线10x y ++=在矩阵BA 所对应的线性变换下的像的方程为20x y ++=. 7分 考点：矩阵的概念和变换

点评：主要是考查了矩阵的计算以及变换的运用，属于基础题。

30．（1）()2

2 3==342 1 f λλλλλ--??--??--??

. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.

【来源】2013届福建省高三高考压轴理科数学试题（带解析） 【解析】 试

题

分

析

：

（

1

）

解

:∵

1

-A A =E

,∴

()

1

1--A =A

.

∵1

13441122-??-??=????

-????

A ,∴()11 2 32 1--??=????A =A . ∴矩阵A 的特征多项式为()2

2 3==342 1 f λλλλλ--??--??--??

. 令()=0f λ,解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，.

考点：本题主要考查矩阵、逆矩阵、矩阵特征值的概念。

点评：简单题，作为选考内容，难度不大，关键是掌握基本的概念及计算方法。