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2019届山东省枣庄市高三模拟考试(二调)理科数学试题(解析版)

2019届山东省枣庄市高三模拟考试（二调）理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={，，1，2，3}，B={x|lgx＞0}，则A∩B=（）

A. B. C. D. 2，

【答案】C

【解析】

【分析】

可解出集合B，然后进行交集的运算即可．

【详解】B={x|x＞1}；∴A∩B={2，3}．

故选：C．

【点睛】该题考查的是有关集合的运算，涉及到的知识点有根据对数函数的单调性解对数不等式，集合的交集，属于简单题目．

2.若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【详解】z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），

∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则=1+i．

故选：A．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

3.如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（）

A. 病人在3月15日12时的体温是

B. 从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转

C. 病人体温3月16日0时到6时下降最快

D. 病人体温在3月16日18时开始逐渐稳定

【答案】C

【解析】

【分析】

利用拆线图的性质直接求解．

【详解】由一位发烧病人的体温记录折线图，得：

在A中，病人在3月15日12时的体温是38℃，故A正确；

在B中，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故B正确；

在C中，病人体温在3月15日6时到12时下降最快，故C错误；

在D中，病人体温在3月16日18时开始逐渐稳定，故D正确．

故选：C．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查拆线图的性质等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．

4.函数f（x）=sin（2x+）是（）

A. 最小正周期为的奇函数

B. 最小正周期为的偶函数

C. 最小正周期为的奇函数

D. 最小正周期为的偶函数

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角函数的诱导公式先进行化简，然后结合函数的奇偶性和周期性进行判断即可．

【详解】f（x）=sin（2x+）=-sin（2x+）=-cos2x，则函数f（x）是偶函数，

函数的最小正周期T==π，即f（x）是最小正周期为π的偶函数，

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．5.已知命题p：N?Q：命题q：?x＞0，e lnx=x，则下列命题中的真命题为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意知p真，q真，根据复合命题真值表可知A正确，

【详解】由题意知p真，q真，所以p∧q为真．

故选：A．

【点睛】本题考查命题真假判断，属于简单题．

6.空间直角坐标系O-xyz中，某四面体的顶点坐标分别为（0，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），画该四面体三视图时，以yOz平面为投影面所得到的视图为正视图，则该四面体的侧视图是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

画出空间直角坐标系，在坐标系中画出该4点表示的图形，为正四面体．根据图形分析即可【详解】根据题意，这四点构成正四面体如图：

侧视图轮廓为正方形，

有一条左下到右上的实线和左上到右下的虚线．

故选：B．

【点睛】本题考查了正四面体的三视图，主要考查空间想象能力．属于基础题．

7.（2-x）（2x+1）6的展开式中x4的系数为（）

A. B. 320 C. 480 D. 640 【答案】B

【解析】

，展开通项，

所以时，；时，，

所以的系数为，故选B。

点睛：本题考查二项式定理。本题中，首先将式子展开得，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的的系数。

8.函数f（x）=ln（x+1）-x2的图象大致是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先对函数求导，之后解不等式，，确定函数的单调区间，再观察图象，选出正确结果.

【详解】，

令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

观察图象，可知B满足条件，

故选：B．

【点睛】本题考查函数图象的识别问题，通常从定义域，单调性，函数值的符号，图象所过的特殊点以及对称性选出正确的结果，属于简单题目．

9.已知0＜a＜1，0＜c＜b＜1，下列不等式成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质进行判断．

【详解】∵0＜a＜1．∴y=a x是递减函数，又c＜b，所以a c＞a b，故A不正确；

∵?a（c-b）＞0，故B不正确；

当，且时，有，故C不正确；

?a（b-c）＞0，故D正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了不等关系与不等式，涉及到的知识点有不等式的性质，属基础题．

10.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

分析】

求得定点M轨迹方程可得，解得a，b即可.

【详解】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，

则=2，化简得.

∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，

∴，解得，

∴椭圆的离心率为．

故选：D．

【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．

11.有如下命题：①函数y=sinx与y=x的图象恰有三个交点；②函数y=sinx与y=的图象恰有一个交点；

③函数y=sinx与y=x2的图象恰有两个交点；④函数y=sinx与y=x3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

①构造函数f（x）=sinx-x，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；

②利用与x的关系进行转化判断；

③和④直接作出两个函数的图象即可进行判断.

【详解】①设f（x）=sinx-x，则f′（x）=cosx-1≤0，即函数f（x）为减函数，

∵f（0）=0，

∴函数f（x）只有一个零点，即函数y=sinx与y=x的图象恰有一个交点，故①错误，

②由①知当x＞0时，sinx＜x，

当0＜x≤1时，＞x＞sinx，

当x＞1时，＞sinx，

当x=0时，sinx=，综上当x＞0时，＞sinx恒成立，

函数y=sinx与y=的图象恰有一个交点，故②正确，

③作出函数y=sinx与y=x2，的图象，由图象知两个函数有2个交点，即函数y=sinx与y=x2的图象恰有

两个交点，故③正确，

④作出函数y=sinx与y=x3，的图象，由图象知两个函数有3个交点，即函数y=sinx与y=x3的图象恰有三个交点，故④正确，

故正确的是②③④，

故选：C．

【点睛】本题主要考查考查命题的真假判断，涉及函数零点个数，利用数形结合或构造函数，利用导数是解决本题的关键．

12.已知三棱柱ABC-A1B1C1侧面积为6+4，AA1⊥平面ABC，BC=，∠BAC=120°，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意画出图形，设AC=b，AB=c，AA1=h，则，由正弦定理求得底面外接圆的半径，再由余弦定理求得b+c的最大值，可得h最小值，求得外接球半径的最小值，则答案可求．

【详解】如图，

设AC=b，AB=c，AA1=h，则，

三棱柱底面外接圆半径为r，则2r=，即r=1．

由，

得3=b2+c2+bc=（b+c）2-bc，∴b+c≤2．

∴h的最小值为．

则该三棱柱外接球半径的最小值为R=．

∴该三棱柱外接球表面积的最小值为4π×22=16π．

故选：A．

【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查正弦定理及余弦定理的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .

【答案】2

【解析】

试题分析：由双曲线方程可知渐近线方程为，所以.

考点：本题考查双曲线的渐近线.

【此处有视频，请去附件查看】

14.如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则=______．

【答案】2

【解析】

【分析】

过点C作CD⊥AB于D，可得，Rt△ACD中利用三角函数的定义算出，再由向量数量积的公式加以计算，可得的值．

【详解】过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点．

Rt△ACD中，，

可得cosA==2．

故答案为：2

【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．

15.设当x=θ时，函数f（x）=2sinx+cosx取得最小值，则cos（）=______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的余弦公式求出

的值．

【详解】对于函数f（x）=2sinx+cosx=sin（x+α），

其中，cosα=，sinα=，α为锐角．

当x=θ时，函数取得最小值，

∴sin（θ+α）=-，即sin（θ+α）=-1，∴cos（θ+α）=0．

故可令θ+α=-，即θ=--α，

故

故答案为：．

【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，两角和的余弦公式，属于中档题．

16.已知函数f（x）=（x+a）2+（e x+）2，若存在x0，使得f（x0），则实数a的值为______．【答案】

【解析】

【分析】

函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=e x得，y′=e x=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可．

【详解】函数f（x）=（x+a）2+（e x+）2，

函数f（x）可以看作是动点M（x，e x）与动点N（-a，-）之间距离的平方，

动点M在函数y=e x的图象上，N在直线y=x的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由y=e x得，y′=e x=，解得x=-1，

所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=，

则f（x）≥，

根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=，

此时N恰好为垂足，由K MN=-e，解得a=．

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.数列{a n}中，a1=2，（p为常数）．

（Ⅰ）若，，a4成等差数列，求p的值；

（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？并说明理由．

【答案】（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数，使得{a n}为等比数列

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由已知求得a2，a4，再由-a1，，a4成等差数列列式求p的值；

（Ⅱ）假设存在p，使得{a n}为等比数列，可得，求解p值，验证得答案．

【详解】（Ⅰ）由a1=2，，得，，

则，，

，．

由，，a4成等差数列，得a2=a4-a1，

即，解得：p=1；

（Ⅱ）假设存在p，使得{a n}为等比数列，

则，即，则2p=p+2，即p=2．

此时，

，∴，

而，又，所以，

而，且，

∴存在实数，使得{a n}为以2为首项，以2为公比的等比数列．

【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．

18.设D是直角△ABC斜边AC的中点，AB=2，BC=2．将△CBD沿着BD翻折，使得点C到达P点位置，且PA=．

（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面ABD；

（Ⅱ）求二面角A-PB-D的余弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由已知求解三角形证明PO⊥BD，PO⊥AO，再由线面垂直的判定证得PO⊥平面ABD，从而得到平面PBD⊥平面ABD；

（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OD，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD 与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-D的余弦值．

【详解】（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，由AB=2，BC=2，得AC=4，

∵D为AC的中点，∴DC=2，

取BD中点O，连接CO，则CO⊥BD，即PO⊥BD，

在等边三角形BCD中，求得CO=，则PO=，

在△ADO中，由AD=2，OD=1，∠ADO=120°，

得AO2=22+12-2×2×1×cos120°=．

又PA=，∴AO2+PO2=PA2，即PO⊥AO，

∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABD，

而PO?平面PBD，则平面PBD⊥平面ABD；

（Ⅱ）解：以O为坐标原点，分别以OD，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则为平面PBD的一个法向量．

A（2，-，0），B（-1，0，0），P（0，0，），

，，

设平面PAB的一个法向量为，

由，取z=1，得．

∴cos＜＞==．

由图可知，二面角A-PB-D为锐二面角，

∴二面角A-PB-D的余弦值为．

【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．

19.某项研究性课题由一个团队完成，团队由一个主持人和若干个助手组成，助手分固定和临时两种，每个固定助手的工资为3000元/月，当固定助手人手不够时，需要招聘临时助手，每个临时助手的工资为4000元/月，现在搜集并整理了以往的20个团队需要的助手数；得到如图柱状图．

记n为提供给一个团队的固定助手数（提供的每个固定助手均按3000元/月的标准支付工资）．x为一个团队需要的助手数，y为支付给一个团队的助手的月工资总额（单位：元）

（Ⅰ）当n=4时，求y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）假设这20个团队中的每一个团队都提供4个固定助手或都提供5个固定助手，分别计算这20个团队每月支付给助手的工资总额，以此作为决策依据，判断每一个团队提供4个固定助手划算还是提供5个固定助手划算；

（Ⅲ）以这20个团队需要助手数频率代替一个团队需要助手数的概率，若40个团队中需要5个以下（不包括5个）助手数的团队个数记为X，求E（X）．

【答案】（Ⅰ）y=；（Ⅱ）提供4个；（Ⅲ）12

【解析】

【分析】

（Ⅰ）当n=4时，x≤4时，y=4×3000=12000，4＜x≤6时，y=12000+4000（x-4）=4000x-4000，由此能求出当n=4时，y关于x的函数关系式．

（Ⅱ）由题意得每个团队需要的助手个数X分别为3，4，5，6，分别计算概率。并计算工资总额进行比较即可．

（Ⅲ）40个团队中需要5个以下（不包括5个）助手数的团队个数记为X，E（X）=40[（P（X=3）+P（X=4）]，由此能求出结果．

【详解】（Ⅰ）当n=4时，x≤4时，y=4×3000=12000，

4＜x≤6时，y=12000+4000（x-4）=4000x-4000，

∴当n=4时，y关于x的函数关系式为：

y=．（单位：元）

（Ⅱ）由题意得每个团队需要的助手个数X 分别为3，4，5，6，

P（X=3）=，

P（X=4）==0.2，

P（X=5）=，

P（X=6）==0.4，

当每一个团队提供4个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额：

Y1=20[（0.1+0.2）×12000+0.3×（4000×5-4000）+0.4×（4000×6-4000）]=328000（元），

当每一个团队提供5个固定助手时，这20个团队每月支付给助手的工资总额：

Y2=20[（0.1+0.2+0.3）×15000+0.4×（15000+4000）]=332000（元），

∵Y1＜Y2，∴每一个团队提供5个固定助手划算．

（Ⅲ）40个团队中需要5个以下（不包括5个）助手数的团队个数记为X，

E（X）=40[（P（X=3）+P（X=4）]=40（0.1+0.2）=12．

【点睛】本题考查函数关系式、决策分析、数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），G为圆H：（x+2）2+y2=1上一动点，由G向C引切线，切点分别为E，F，当G点坐标为（-1，0）时，△GEF的面积为4．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）当点G在圆H：（x+2）2+y2=1上运动时，记k1，k2分别为切线GE，GF的斜率，求||的取值

范围．

【答案】（Ⅰ）y2=4x；（Ⅱ）[2，2]

【解析】

【分析】

（I）设切线方程为：y=k（x+1），不妨设k＞0．与抛物线方程联立化为：k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=0，化为：p=2k2．方程k2x2+（2k2-2p）x+k2=0化为：（x-1）2=0，解得x．可得E坐标，根据△GEF的面积为4，解得k，p．

（Ⅱ）设G（x0，y0），（-3≤x0≤-1），可得=1-．设切线方程为：y-y0=k（x-x0），与抛物线方程联立化为：ky2-4y+4（y0-kx0）=0，△1=0．可得x0k2-ky0+1=0，利用根与系数的关系可得|k1-k2|=，进而得出结论．

【详解】（I）设切线方程为：y=k（x+1），不妨设k＞0．

联立，化为：k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，

则△=（2k2-2p）2-4k4=0，化为：p=2k2．

方程k2x2+（2k2-2p）x+k2=0化为：（x-1）2=0，解得x=1．∴E（1，2k），

∵△GEF的面积为4，∴=4，解得k=1．

∴p=2．∴C的方程为：y2=4x．

（Ⅱ）设G（x0，y0），（-3≤x0≤-1），则=1-．

设切线方程为：y-y0=k（x-x0），

联立，化为：ky2-4y+4（y0-kx0）=0，

△1=16-16k（y0-kx0）=0．

∴x0k2-ky0+1=0，∴k1+k2=，k1k2=．

∴|k1-k2|===．

∴||====∈[2，2]．

∴||的取值范围是[2，2]．

【点睛】本题考查了直线与抛物线相切问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

21.已知函数f（x）=-x2+e?f′（）x．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若存在x1，x2（x1＜x2），使得f（x1）+f（x2）=1，求证：x1+x2＜2．

【答案】（Ⅰ）在R上单调递增；（Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（I）f′（x）=e2（x-1）-2x+e?f′（）．令x=，则f′（）=-1+e?f′（），解得f′（），进而得出函数f（x）的单调性．

（II）由（I）可得：函数f（x））=-x2+x在R上单调递增．要证明：x1+x2＜2?x1＜2-x2?f（x1）＜f（2-x2），又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）＜f（2-x2）?1-f（x2）＜f（2-x2），即f（x2）+f（2-x2）-1＞0，f（1）=-1+1=，则x1＜1＜x2．令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=+-2x2+4x-2，x＞1，g（1）=0．利用导数研究其单调性即可证明结论．

【详解】（I）f′（x）=e2（x-1）-2x+e?f′（）．

令x=，则f′（）=-1+e?f′（），解得f′（）=．

∴f′（x）=e2（x-1）-2x+1．f″（x）=2e2（x-1）-2=2（e x-1+1）（e x-1-1），

时单调递增；时单调递减，

∴x=1时，函数f′（x）取得极小值即最小值，∴f′（x）≥f′（1）=0，

∴函数f（x）在R上单调递增．

（II）由（I）可得：函数f（x）=-x2+x在R上单调递增．

要证明：x1+x2＜2?x1＜2-x2?f（x1）＜f（2-x2），

又f（x1）+f（x2）=1，因此f（x1）＜f（2-x2）?1-f（x2）＜f（2-x2），

即f（x2）+f（2-x2）-1＞0，f（1）==，则x1＜1＜x2．

令g（x）=f（2-x）+f（x）-1=-（2-x）2+2-x+-x2+x=+-2x2+4x-2，x＞1，g （1）=0．g′（x）=-e2（1-x）+e2（x-1）-4x+4，

g″（x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-4≥0，∴g′（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴g′（x）＞g′（1）=0，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴g（x）＞g（1）=0，因此结论x1+x2＜2成立．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的方程为ρ2=．

（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；

（Ⅱ）设C1与C2的交点为M，N，求∠MON．

【答案】（Ⅰ）ρ=（0≤θ≤π）；（Ⅱ）∠MON=π

【解析】

【分析】

（Ⅰ）先化成普通方程，再化成极坐标方程；

（Ⅱ）联立C1，C2的极坐标方程，消去ρ可得θ=，θ=，故∠MON=π．

【详解】（Ⅰ）由得x2+y2=3（y≥0），得曲线C1的极坐标方程为ρ=（0≤θ≤π）；

（Ⅱ）联立消去ρ并化简得sin（2θ-）=-，

∵θ∈[0，π]，∴θ=，θ=，故∠MON=π．

【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

23.已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．

（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若?x∈R，?t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．

【答案】（Ⅰ）[-2，-]；（Ⅱ）0＜m＜1

【解析】

【分析】

（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组后在相并可得；

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|?f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．

再利用分段函数的单调性求得f（x）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后将问题转化为f（x）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．

【详解】（Ⅰ）当m=1时，|x-1|-|2x+2|≥1?或或，

解得-2≤x≤-，所以原不等式的解集为[-2，-]．

（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|?f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．

∵f（x）=，

根据分段函数的单调性可知：x=-m时，f（x）取得最大值f（-m）=2m，

∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，

∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2．

所以问题转化为2m＜2，解得0＜m＜1．

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