2021届新高考版高考数学专项突破训练：专项4 新高考·新题型专练
2021届新高考版高考数学专项突破训练
专项4 新高考·新题型专练
一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则()
A.M=N
B.N?M
C.M∩N=M
D.(?R M)∪N=R
2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是()
A.复数z=的虚部为
B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i
C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限
D.若复数z满足∈R,则z∈R
3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是()
图1 - 1
A.大部分月份制造业总体衰退
B.2019年3月制造业总体扩张最大
C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长
D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点
4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是()
A.f ( - 2)=4
B.若f (m)=9,则m=±3
C.f (x)是偶函数
D.f (x)在R上单调递减
5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和
为1 024,则下列说法正确的是()
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则()
A.|b|=
B.(2a+b)∥(a+2b)
C.向量2a- b与a- 2b的夹角为
D.向量a在b方向上的投影为
7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是()
A.f (x)的最小正周期是π
B.f (x)=是x=的充分不必要条件
C.函数f (x)在区间(,)上单调递增
D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z)
8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是()
A.P(A)=P(B)=P(C)
B.P(AB)=P(AC)=P(BC)
C.P(ABC)=
D.P(A)P(B)P(C)=
9.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f (x)=(x - 2)e x,则下列结论正确的是()
A.f (x)>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞)
B.当x<0时,f (x)=(x+2)e - x
C.f (x)有且只有两个零点
D.?x1,x2∈[1,2],|f (x1) - f (x2)|≤e
10.设圆A:x2+y2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是()
A.圆A的半径为2
B.圆A截y轴所得的弦长为2
C.圆A上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为1
D.圆A与圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0相离
11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c - b=2b cos A,则下列结论中正确的是()
A.a2=b(b+c)
B.A=2B
C.0 D.0 12.设f ' (x)是函数f (x)的导函数,若f ' (x)>0,且?x1,x2∈R(x1≠x2),f (x1)+f (x2)<2f (),则下列 各项中正确的是() A.f (2) B.f ' (π) C.f ' (2) D.f ' (3) 13.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是公差不为0的等差数列,且a2=b2,a8=b8,则() A.a5=b5 B.a5 C.a4 D.a6>b6 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为1,E,F ,G分别为BC,CC1,BB1 的中点,则() 图1 - 2 A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 15.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ADC沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥D - ABC,则在翻折 的过程中,下列结论正确的是() A.三棱锥D - ABC的体积的最大值为 B.三棱锥D - ABC的外接球的体积不变 C.三棱锥D - ABC的体积最大时,二面角D - AC - B的大小是60° D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90° 16.已知椭圆=1上有A,B,C三点,其中B(1,2),C( - 1, - 2),tan∠BAC=,则下列说法正确的是() A.直线BC的方程为2x - y=0 B.k AC=或4 C.点A的坐标为( - ,) D.点A到直线BC的距离为 17.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,a3=3,a n+3+( - 1)n a n+1=1(n∈N*),数列{a n}的前n项和为S n,则下列结论 正确的是() A.数列{a n}为等差数列 B.a18=10 C.a17=3 D.S31=146 18.过抛物线y2=3x的焦点f 的直线与抛物线交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线 准线上的射影分别为A1,B1,直线AO交准线于点M(O为坐标原点),则下列说法正确的是() A.·=0 B.∠A1F B1=90° C.直线MB∥x轴 D.|AF|·|BF |的最小值是 二、双空题. 19.已知函数g(x)=2sin[ω(x+)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移个单位长度,再 将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x)的最小正周期为π, 则f (x)=;若函数f (x)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则实数ω的 值为. 20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD中,E,F分别为边CD,AD上的点,△DEf 为等边三角形,CE=Ef , 且∠ABC=,AE=,AF=3,则AC=,△ABC面积的最大值为. 图1 - 3 21.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a1= - ,且 a n+a n+1=(n∈N*),则S2n=, a n=. 22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点和双曲线x2 - =1的右焦 点F2重合,则抛物线的方程为;P为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P与双曲线左焦点F 1之间的距离为. 23.设函数f (x)(x∈R)的导函数为f ' (x),f (0)=2 020,且f ' (x)=f (x) - 2,则f (x)=,f (x)+4 034>2f ' (x)的解集是. 24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD中,E,F ,G,H分别是PA,PB,PC,PD上异于端点的点,且平面EF GH与平面ABCD平行,S为AC和BD的交点,当四棱锥S- EFGH的体积最大时,=,此时四棱锥S - EFGH外接球的表面积为. 图1 - 4 答案解析 1.CD由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M?N,(?R M)∪N=R,故选CD. 2.ABD对于A,z== - i,其虚部为,故A正确; 对于B,z==(2+5i)i= - 5+2i,故= - 5 - 2i,故B正确; 对于C,z=i在复平面内对应的点的坐标为(,-),位于第四象限,故C不正确; 对于D,设z=a+b i(a,b∈R),则,又∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确. 故选ABD. 3.ABD根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD. 4.AD由于- 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD. 5.BCD因为(ax 2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B正确.展开式的通项公式为T k+1=(x2)10 - k·()k=x20 - (k=0,1,2,…,10),令20 - =0,解得k=8,即常数项为第9项,故C正确.令20 - =15,得k=2,故展开式中含x15项的系数为=45,故 D正确.故选BCD. 6.AC将a=(1,2),b=(m,1)代入b·(a+b)=3,得(m,1)·(1+m,3)=3,即m2+m=0,解得m= - 1或m=0(舍去),所以b=( - 1,1),所以|b|=,故A正确;因为2a+b=(1,5),a+2b=( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a+b与a+2b不平行,故B错误;设向量2a - b与a - 2b的夹角为θ,易知2a - b=(3,3),a - 2b=(3,0),所以cos θ=,所以θ=,故C正确;向量a在b方向上的投影为,故D错误.故选AC. 7.AD对于A,由最小正周期T==π知A正确; 对于B,由f (x)=得2x - =2kπ+(k∈Z)或2x - =2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),可知f (x)=是x=的必要不充分条件,B不正确; 对于C,由 对于D,y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度得y=|sin[2(x+) - ]|=|sin 2x|的图象,由y=|sin x|的图象的对称轴为直线x=(k∈Z)得y=|sin 2x|的图象的对称轴为直线x=(k∈Z),D正确.故选AD. 8.ABD由古典概型的概率计算公式,得P(A)=P(B)=,P(C)=,所以P(A)=P(B)=P(C)=,A 正确;P(A)P(B)P(C)=,D正确; 而事件A,B,C不可能同时发生,故P(ABC)=0,所以C不正确;又P(AB)=,P(AC)=,P(BC)=,所以P(AB)=P(AC)=P(BC),B正确.故选ABD. 9.ABD当x>0时,f (x)<0的解集为(0,2),f (x)>0的解集为(2,+∞),由f (x)为奇函数可知选项A正确;当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - ( - x - 2)e - x=(x+2)e - x,选项B正确;当x>0时,x=2为f (x)的零点,又f (x)是定义在R上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x)有且只有三个零点,选项C错误;当x>0时,f ' (x)=(x- 1)e x,故f (x)在[1,2]上单调递增,所以f (x)min=f (1)= - e,f (x)max=f (2)=0,所以|f (x1)- f (x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD. 【易错警示】求解本题时,一定要注意奇函数在x=0处有定义时f (0)=0. 10.ABC把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2=2,B正确;圆心(1,0)到直线3x- 4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x- 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC. 11.ABD因为c - b=2b cos A,所以由余弦定理得c - b=2b·,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c- b=2b cos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin B cos A,即sin(A+B) - sin B=2sin B cos A,所以sin A cos B - sin B cos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,所以A- B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0° 12.ABD由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2) f (x1)+f (x2)<2f (),即 图D 1 - 1 由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以f ' (π) f (2),所以由图易知f ' (3) 13.BC解法一设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a5=,b5=,由基本不等式得≤,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{b n}不是常数列,故B正确,A错误.因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - )=(3q2 - q6 - 2)=(q2 - q6+2q2 - 2)=(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - (1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=(3q4 - 1 - 2q6)= - (1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4 解法二设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a n=a1q n - 1=·q n,b n=b1+(n- 1)d=b1- d+nd,将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,a n 14.BC假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1,EF=,AD1=,梯形的高为,所以其面积为,故选项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC. 15.BD对于A,三棱锥D- ABC的体积V D- ABC=S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=1,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥ 平面ABC时,h最大,为,此时V D- ABC=,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为AC=1,所以外接球的体积为π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为,即BD=时,在△BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD. 16.AD设A(x A,y A),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=>0,知∠BAC<,则数形结合易知当θ1- θ2=∠BAC时,才能满足题意,故tan(θ1- θ2)=,即,又k AB·k AC=·= - 2,所以k AB- k AC= - ,结合k AB·k AC= - 2,解得或而当时,数形结合易知∠BAC≠θ1- θ2,且∠BAC>,故舍去.当时,直线AC、直线AB的方程分别为y+2=4(x+1),y - 2= - (x - 1),可得A(,).由椭圆的对称性可知:当θ1<θ2时,同理可得A( - , - ),故B,C错误.易得直线BC的方程为2x - y=0,故当点A 为(,)时,点A到直线BC的距离为,当点A为(- ,- )时,点A到直线BC的距离也为.故A,D正确,选AD. 17.BD依题意得,当n是奇数时,a n+3 - a n+1=1,即数列{a n}中的偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a18=2+(9 - 1)×1=10.当n是偶数时,a n+3+a n+1=1,所以a n+5+a n+3=1,两式相减, 得a n+5=a n+1,即数列{a n}中的奇数项从a3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{a n}的奇数项呈周期变化,所以a17=a4×3+5=a5.在a n+3+a n+1=1中,令n=2,得a5+a3=1,因为a3=3,所以a5= - 2,所以a17= - 2.在数列{a n}中,a3+a5=1,a7+a9=1,…, a27+a29=1,a31=a4×7+3=a3=3,偶数项构成以a2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S31=1+7+3+15×2+=146.故选BD. 18.BCD由题意可知,抛物线y2=3x的焦点F的坐标为(,0),准线方程为x= - .易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+,代入y2=3x,得y2- 3my- =0,易知Δ>0,所以y1+y2=3m,y1y2= - ,则x1x2=(my1+)(my2+)=,所以·=(x1,y1)·(x2,y2)= x1x2+ y1y2== - ≠0,所以A不正确;因为A(,y 1),O(0,0),M( - ,y M)三点共线,所以,所以= - ,又y1y2= - ,所以y M=y2,所以直线MB∥x轴,所以C正确;易知A1,B1的坐标分别为(- ,y1),(- ,y2),所以·=( - ,y1)·( - ,y2)=+ y1y2==0,所以∠A1FB1=90°,所以B正确;设直线AB的倾斜角为θ(θ≠0),则|AF|=,|BF|=,所以|AF|·|BF|=·≥,当且仅当AB⊥x 轴时取等号,所以D正确.故选BCD. 19. sin(2x - )6因为函数g(x)=2sin[ω(x+)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以 f (x)=sin[ω(x - )].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - ).②若函数f (x)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则有f ()=sin=1,且≥,结合ω>0,得ω=6. 【易错警示】在进行三角函数图象变换时,一般“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意左、右平移时把x前面的系数提取出来. 20.23在△AEF中,易知∠AFE=,又AF=3,AE=,由余弦定理得()2=32+EF2- 2×3×EF×cos ,可得EF=1.所以CE=DE=DF= EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22- 2×4×2×cos =12,得AC=2. 解法一设∠ACB=θ,则∠BAC=π - - θ=- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得 =4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(- θ),于是△ABC的面积S△ABC=AB·BC sin =4sin θsin(- θ)=4sin θ(cos θ+sin θ)=2(sin 2θ - cos 2θ+)=2sin(2θ - )+,则当2θ - ,即θ=时,S△ABC取得最大值,为3. 解法二在△ABC中,cos∠ABC=,结合基本不等式,得≥,化简得BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=BC·AB·sin∠ABC≤12=3,即△ABC面积的最大值为3. 21.(- 1)n+因为a n+a n+1=,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n- 1+a2n=1 - +…+=1 - . 因为a n+a n+1=,所以a n+1=- a n.又a1= - - 1,所以a2=+1,a3== - - 1,a4=+1,…,归纳可得,a n=( - 1)n+. 22.y2=8x7易知双曲线x2 - =1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x. 设点P的坐标为(x0,y0),易知x0>0,由得3x2- 8x- 3=0,解得x0=3,则P(3,2)或P(3,- 2),则点P与双曲线左焦点F1( - 2,0)之间的距离为=7. 23.2+2 018e x(- ∞,ln 2)令h(x)=,则h' (x)==,又f ' (x)=f (x)- 2,∴h' (x)=0,故h(x)为常数函数.设h(x)=c,则=c,∴f (x)=2+c e x.∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c=2 020,∴c=2 018,故f (x)=2+2 018e x,f ' (x)=2 018e x.由f (x)+4 034>2f ' (x),得4 036+ 2 018e x>2×2 018e x,故e x<2,故x 【解题关键】求解本题的关键是根据题意巧妙构造函数h(x)=. 24.因为平面EFGH与平面ABCD平行,易知四边形EFGH与四边形ABCD相似,所以四边形EFGH是正方形.设=x(0 此时,连接PS,FH,EG,设FH与EG交于点M,易知点M在PS上,且EF=2,SM=,HM=.设四棱锥 S - EFGH的外接球的球心为O,半径为R,易知点O在直线PS上,连接OH,易知点O在四棱锥S - EFGH的外部,则(R- )2+()2=R2,解得R=,所以四棱锥S- EFGH的外接球的表面积为4πR2=. 【解后反思】求解几何体外接球的半径一般是根据球的截面的性质,即利用球的半径R,截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系求解,其中确定球心的位置是解题的关键. 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 高考数学解答题常考公式及答题模板 题型一：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === （R 是AB C ?外接圆的半径） 变式①：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③： C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理：???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式：???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理：?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^） 5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 利用以上关系和诱导公式可得公式：??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇： 2 π 的奇数倍 偶： 2 π 的偶数倍 2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5- 1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题） （一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜 甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙； 第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； （二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证：EF ∥平面SAD ； （三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角 的大小； （III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 （四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E 综合仿真练(三) 1．命题p ：?x ∈R ，x 2 ＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 解析：由x 2 ＋2x ＋1＝(x ＋1)2 ≥0，得?x ∈R ，x 2 ＋2x ＋1≤0是真命题． 答案：真 2．(2019·徐州中学模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 2 ＋y 2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则 A ∩ B 的子集个数是________． 解析：作出单位圆和函数y ＝3x 的图象(图略)，可知他们有两个公共点，所以A ∩B 中有两个元素，则A ∩B 有4个子集． 答案：4 3．已知复数z ＝3－i 1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________． 解析：法一：因为z ＝3－i 1＋i ，所以|z |＝??????3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5. 法二：因为z ＝3－i 1＋i ＝3－i 1－i 2＝1－2i ，所以|z |＝12＋－2 2 ＝ 5. 答案： 5 4．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝160 3 200 ，所以 n ＝200. 答案：200 5．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________． t ←1i ←2 While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1End While Print t 解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3； 当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4； 当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5； 当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：24 6．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球 高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高考数学复习小题训练15 高考数学复习小题训练（15） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。 1．设集合{}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则 A ．0≤x ≤ B ．4π≤x ≤45π C ．4π≤x ≤47π D ．2 π≤x ≤23π 4．函数)11 2lg(-+=x y 的图象关于（ ）对称； ....A y x B x C y D =直线轴轴原点 5．在正方体ABCD －A 1BC 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动， 则异面直线CP 与BA 1所成的角的取值范围是 A.02πθ<< B.02πθ<≤ C. 30πθ≤≤ D.03πθ<≤ 6．已知数列{}n a 的通项公式)(,2 1 log 2 *∈++=N n n n a n ，设{}n a 的前n 项 的和为n S ，则使5 - 赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行 淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次 A.53 B.52 C.51 D.50 8．若将))((b x a x --逐项展开得ab bx ax x +--2 ，则2 x 出现的频率 为14，x 出现的频率为1 2 ，如此将))()()()((e x d x c x b x a x -----逐项展开后，3 x 出现的频率是（ ） 32 5 .51.61.165.D C B A 9．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所 得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作[mod()]a b m ≡，例如：513[mod(4)]≡.若:2008 2[mod(7)]r ≡,则r 可以为（ ） .1.2.3.4A B C D 10．如图，过抛物线)(022 >=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若 BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 ( ) A ．x y 232= B ．x y 92= C ．x y 2 9 2 = D ．x y 32 = 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷相应位置。 11、设函数 2 (1)(1)()41 (1) x x f x x x ?+ 江苏省高考数学填空题训练100题 1．设集合}4|||}{<=x x A ，}034|{2 >+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且=?}B A x I __________； 2．设12)(2 ++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________； 3．已知m b a ==32，且21 1=+b a ，则实数m 的值为______________； 4．若0>a ，94 32= a ，则=a 3 2log ____________； 5．已知二次函数3)(2 -+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________； 6．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，22)(-=x x f ， 则方程0)(=x f 的解集是____________________； 7．已知)78lg()(2 -+-=x x x f 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是________________； 8．已知函数x x x f 5sin )(+=，)1,1(-∈x ，如果0)1()1(2 <-+-a f a f ，则a 的取值范围是____________； 9．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负数解，则实数a 的取值范围是______________； 10．已知函数)(x f 满足：对任意实数1x ，2x ，当2`1x x <时，有)()(21x f x f <，且)()()(2121x f x f x x f ?=+． 写出满足上述条件的一个函数：=)(x f _____________； 11．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f ______________； 12．函数1 22)(2+++=x x x x f （1->x ）的图像的最低点的坐标是______________； 13．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ab ab 2 + 的最小值是___________； 14．设实数a ，b ，x ，y 满足12 2=+b a ，32 2 =+y x ，则by ax +的取值范围为______________； 15．不等式032)2(2≥---x x x 的解集是_________________； 16．不等式06||2 <--x x （R x ∈）的解集是___________________； 17．已知???<-≥=0 ,10 ,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是_________________； 18．若不等式 2 22 9x x a x x +≤≤+在]2,0(∈x 上恒成立，则a 的取值范围是___________； 19．若1>a ，10<-x b a ，则实数x 的取值范围是______________；高考数学数列大题训练答案版
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