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人教版八年级上册数学全等三角形单元复习练习(Word版含答案)

人教版八年级上册数学全等三角形单元复习练习(Word 版含答案)

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．

【详解】

解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，

∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，

∴∠A=∠DFB ，

∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，

∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC ，

∴BD=DC ，

在△BDF 和△CDA 中，

∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，

∴△BDF ≌△CDA （AAS ），

∴BF=AC ，故①正确．

∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，

∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，

∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，

∴∠ABE=∠CBE=22.5°，

∵∠BDF=∠BHG=90°，

∴∠BGH=∠BFD=67.5°，

∴∠DGF=∠DFG=67.5°，

∴DG=DF ，故③正确．

作GM ⊥AB 于M ．如图所示：

∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，

∴GH=GM ＜DG ，

∴S △DGB ＞S △GHB ，

∵S △ABE =S △BCE ，

∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，

故答案为：①②③．

【点睛】

此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．

2．如图，在ABC ?中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=?，50DAC ∠=? 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10?

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ?，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =，等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ?

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ?∠=， 50CAD ?∠=

∴BE BF =， 70DBF ?∠=

∴50BEF F ?∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--= ∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-=

故答案为：10?

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

3．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．

【答案】112.5?或67.5?

【解析】

【分析】

当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．

【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D

BC '时，45A DB B '∠=∠=?， 45180ADC A DC '∴∠+∠-=??

，解得112.5A DC ADC '∠=∠=?.

图1

如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=?，

45180ADC A DC '∴∠+∠+=??

，解得67.5A DC ADC '∠=∠=?.

图2

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．

4．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ?是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．

【答案】2秒或6秒或14秒

【解析】

【分析】

分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．

【详解】

解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G

∵点B （-8，8），点C （-2，0），

∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm

∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，

∴OP=OG= 2210246(cm)-=，

当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，

∴EF=EH=6cm

∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），

故答案为：2秒，46秒或14秒．

【点睛】

本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．

5．如图，在第一个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一D ，延长CA 2到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2B 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第三个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，第n 个等腰三角形的底角的度数是_____度．

【答案】

1752n - 【解析】

【分析】

先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求

出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝

754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝

1752n ．【详解】

∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，

∴∠BA 1C ＝1802

B ?-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1

C 是△A 1A 2

D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝

12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°；同理可得，

∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758

, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝

1752n ．故答案为

752n -．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.

6．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，

123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三

角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1

,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________

【答案】()8,0-

【解析】

【分析】

根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出

A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.

【详解】

解：设到第n 个三角形顶点的个数为y

则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,

∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,

∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....

∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,

由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,

∴OA 19=9-1=8,

∴19A 的坐标为()8,0-

故答案是()8,0-

【点睛】

本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键

7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．

【答案】10

【解析】

【分析】

由DF=DE ，CG=CD 可得∠E=∠DFE ，∠CDG=∠CGD ，再由三角形的外角的意义可得

∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E ，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G ，进而可得∠ACB=4∠E ，最后代入数据即可解答.

【详解】

解：∵DF ＝DE ，CG ＝CD ，

∴∠E ＝∠DFE ，∠CDG ＝∠CGD ，

∵GDC ＝∠E +∠DFE ，∠ACB ＝∠CDG +∠CGD ，

∴GDC ＝2∠E ，∠ACB ＝2∠CDG ，

∴∠ACB ＝4∠E ，

∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，

∴∠ACB ＝40°，

∴∠E ＝40°÷4＝10°．

故答案为10．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.

8．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分

线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30?，CF=4

，则DH=______．

【答案】2 3

【解析】

连接AF.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，

∴∠DEC=∠DCE=75°，

∴∠ACF=75°-60°=15°.

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF.

在△ABF和△CBF中，

AB BC

ABF CBF BF BF

∠∠

＝

，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF，

∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，

∴AH=1

AF=

CF=

∵∠DEC=∠ABC+∠BDE ，

∴∠BDE=75°-60°=15°，

∴∠ADH=15°+30°=45°，

∴∠DAH=∠ADH=45°，

∴DH=AH=

23. 故答案为23

. 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.

9．如图，30AOB ∠=?，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ?周长的最小值为_______.

【答案】10

【解析】

【分析】

作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR 周长的最小值

【详解】

解：

作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，

则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，

∴△PQR 周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，

∴此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，

∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB ，PP″⊥OA ，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，

∴△P′OP″为等边三角形，

∴P′P″=OP′=OP=10，

故答案是：10.

【点睛】

本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．

10．如图，D 为ABC ?内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.

【答案】1.5

【解析】

【分析】

延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.

【详解】

延长BD 交AC 于点E ，

∵BD⊥CD，

∴∠BDC=∠EDC=900

，

∵CD 平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD

又∵CD=CD

∴△BCD≌△ECD

∴BD=ED,CE=BC=5，

∴AE=AC -CE=8-5=3，

∵A ABD ∠=∠,

∴BE=AE=3，

∴BD=1.5

【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD 构建全等三角形是证明此题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．已知点M(2,2)，且OM=22，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（）

A ．(22,0)

B ．(0,4)

C ．(4,0)

D ．(0,82) 【答案】D

【解析】

【分析】

分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．

【详解】

∵M(2,2),且OM=22,且点P 在坐标轴上

当22OM OP == 时

P 点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；

当22MO MP ==时：

P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；

当PM PO =时：

P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足

故答案选：D

【点睛】

本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．

12．已知40MON ∠=?，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ?的周长取最小值时，APB ∠的度数是( )

A ．40?

B ．50?

C ．100?

D ．140?

【答案】C

【解析】

【分析】

设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ?周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．

【详解】

分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ?周长的最小值等于P P '''．

由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，

224080P OP MON ∴∠'''=∠=??=?，

(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=?-?÷=?，

又50BPO OP B ∠=∠''=?，50APO AP O ∠=∠'=?，

100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=?．

故选：C ．

【点睛】

此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.

13．如图,ABC ?中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )

A ．1.5

B ．3

C ．4.5

D ．9

【答案】C

【解析】

【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即

可．

【详解】

延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．

∵AD⊥BH，∴BD=DH．

∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．

∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．

∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=1

S△ADH

=S△ABH．

∵AE=EC，∴S△ABE

=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．

∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．

∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为1

?3×3

=．

故选C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

14．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定

【答案】C

【解析】

【分析】

将△ABM 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBH ．连接HN ．想办法证明

∠HCN =120°HN =MN =x 即可解决问题．

【详解】

将△ABM 绕点B 顺时针旋转60°得到△CBH ．连接HN ．

∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°．

∵∠MON =30°，∴∠CBH +∠CBN =∠ABM +∠CBN =30°，∴∠NBM =∠NBH ．

∵BM =BH ，BN =BN ，∴△NBM ≌△NBH ，∴MN =NH =x ．

∵∠BCH =∠A =60°，CH =AM =n ，∴∠NCH =120°，∴x ，m ，n 为边长的三角形△NCH 是钝角三角形．

故选C ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

15．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=?，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（）

A ．()20182(3)

,0-? B ．()20180,2(3)-? C ．()20192(3),0? D ．()

20190,2(3)-? 【答案】D

【解析】

【分析】计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求

得点B 2018的坐标．【详解】解：由题意可得，

OB = 2242-= 23，

OB 1= 3 OB= 233? = 22(3)?，

OB 2= 3 OB 1= 32(3)?，

…

∵2018÷4=504…2，

∴点B 2018在y 轴的负半轴上，

∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)

-?．

故答案为：D ．

【点睛】

本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．

16．如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，a ），等腰直角三角形ODC 的斜边经过点B ，OE ⊥AC ，交AC 于E ，若OE ＝2，则△BOD 与△AOE 的面积之差为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】A

【解析】

【分析】首先证明△DOB ≌△COA （SAS ），推出S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC ，再证明△OEC 是等腰直角三角形即可解决问题．

【详解】

∵A （a ，0），B （0，a ），∴OA =OB ．

∵△ODC 是等腰直角三角形，∴OD =OC ，∠D =∠DCO =45°．

∵∠DOC =∠BOA =90°，∴∠DOB =∠COA ．

在△DOB 和△COA 中，∵OD =OC ，∠DOB =∠COA ，OB =OA ，∴△DOB ≌△COA （SAS ），∴∠D =∠OCA =45°，S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC ．

∵OE ⊥AC ，∴∠OEC =90°，∴△CEO 是等腰直角三角形，∴OE =EC =2，∴S △DOB ﹣

S△AOE=S△EOC

=?2×2=2．

故选A．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC是等腰直角三角形．

17．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）

A．12 B．16 C．24 D．32

【答案】A

【解析】

【分析】

连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．

【详解】

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∵△CDM周长的最小值为8，

∴AD=8-1

BC=8-2=6

∴S△ABC=1

BC?AD=

×4×6=12，

故选A．【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

18．如图，已知等边△ABC 的面积为43， P 、Q 、R 分别为边AB 、BC 、AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是（）

A ．3

B ．23

C ．15

D ．4

【答案】B

【解析】如图，作△ABC 关于AC 对称的△ACD ，点E 与点Q 关于AC 对称，连接ER ，则QR=ER ，

当点E ，R ，P 在同一直线上，且PE ⊥AB 时，PE 的长就是PR +QR 的最小值，设等边△ABC 的边长为x 3， ∵等边△ABC 的面积为3，

∴12x 33 解得x=4， ∴等边△ABC 的高为

323 即3PR +QR 的最小值是3，

故选B.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.

19．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：

①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（）．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】D

【解析】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出

∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．

详解：∵60BAC ∠=?，

∴18060120ABC ACB ∠+∠=?-?=?，

∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，

∴12EBC ABC ∠=∠，12

ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022

EBC ECB ABC ACB ∠+∠=

∠+∠=??=?， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=?-∠+∠=?-?=?，故①正确．

如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，

∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，

∴AD 为BAC ∠的平分线，

∴DF DG =，

∴36090260120FDG ∠=?-??-?=?，

又∵120BDC ∠=?，

∴120BDF CDF ∠+∠=?，120CDG CDF ∠+∠=?．

∴BDF CDG ∠=∠，

∵在BDF 和CDG △中，

90BFD CGD DF DG

BDF CDG ∠=∠=???=??∠=∠?

， ∴BDF ≌()CDG ASA ，

∴DB CD =， ∴1(180120)302

DBC ∠=?-?=?， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=?+∠，

∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，

∴ABE CBE ∠=∠，1302

BAE BAC ∠=

∠=?，根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+?，

∴DEB DBE ∠=∠，

∴DB DE =，故②正确．

∵DB DE DC ==，

∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，

∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，

综上所述，正确结论有①②③，

故选：D ．

点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．

20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为

( )

A ．(1，0)，224+

B ．(3，0)，224+

C ．(2,0), 25

D ．(2,0),252+

【答案】D

【解析】作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.

设直线BN 的解析式为y kx b =+，

∵N (1，-2)，B (3，2)，

∴232k b k b +=-??+=?

，解得24k b =??=-?

， ∴24y x =-，

当0y =时，240x -=，

解得，2x =，

∴点P 的坐标为（2，0）；

∵A (1，2)，B (3，2)，

∴AB //x 轴，

∵AN ⊥x 轴，

∴AB ⊥x 轴，

在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，

由勾股定理得，

BN 22222425AB AN +=+=

∵AP =NP ,

人教版八年级上册数学知识点汇总

人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定

八年级上册数学教案人教版(全册)

八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形教学容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标 1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备四大小一样的纸片、直尺、剪刀．教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、动手操作，导入课题

1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心．【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1

人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结

第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)

线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）