2010年高考真题分类汇编(新课标)考点10 解三角形应用举例
2010年高考真题分类汇编（新课标）
考点10 解三角形应用举例
1.（2010·陕西高考理科·Ｔ１7）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距
(533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°
的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距3
海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援
船到达D 点需要多长时间？
【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题
的能力，属于中档题。
【思路点拨】解三角形22202cos60ABD BD DC BD BC BD BC DC t ???=+-???? 【规范解答】000003)906030,45,105.DBA DAB ADB ∠=-=∠=∴∠=由题意知AB=5(3+， 00000
sin105sin 45cos 60sin 60cos 45213226222∴=?+?+=+=
sin sin sin 5(33)sin 45sin 25(33)103(13)2 3.2613
BD AB ABD DAB ADB
AB DAB BD ADB ?=∠∠?∠+?∴==∠+===++在中，由正弦定理得: 00002220
180606060,3,
2cos 6013001200233900.2
30301().30
D DBC CD DBC BC DBC CD BD BC BD BC CD t ∠=--==?=+-???=+-?=∴===?又在中，由余弦定理得
（海里），则需要的时间小时答;救援船到达点需要1小时.注：如果证出为直角三角形，根据勾股定理求出，同样给分.
2.（2010·陕西高考文科·Ｔ１7）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
【命题立意】本题考查了已知三角函数值求角、正弦定理、余弦定理，考查了解三角形问题的能力，
属于中档题。
【思路点拨】解三角形△ADC ? cos ADC ∠?∠ADC ?∠ADB ?解三角形△ABD ? AB
【规范解答】在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得cos ADC ∠=2222AD DC AC AD DC +-=10036196121062+-=-??,
∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°
在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B
=∠, ∴AB =310sin 10sin 60256sin sin 452
2AD ADB B ?
∠?===?
. 3.（2010·江苏高考·Ｔ１7）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实
际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及
不等式的应用。
【思路点拨】（1）分别利用,,H αβ表示AB 、AD 、BD ，然后利用AD —AB=DB 求解；
（2）利用基本不等式求解.
【规范解答】（1）tan tan H H AD AD ββ
=?=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。 AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20
h H αβα?===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h d AD DB d
αβ-====，
2tan tan tan()()
1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d
αβαβαβ----====--+?+-+?+
()H H h d d -+≥
（当且仅当d
故当d =tan()αβ-最大。 因为02π
βα<<<，则02π
αβ<-<，由tan y x =
的单调性可知：当d =α-β最大。
故所求的d
是。
4.（2010·安徽高考理科·Ｔ16）设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33
A B B B ππ=+-+。 (1)求角A 的值；
(2)
若12,AB AC a ?==,b c （其中b c <）。
【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、
求解能力。
【思路点拨】先对22sin sin()sin()sin 33A B B B ππ
=+-+化简，求出角A ；再根据(2)的条件和余弦定理，构造方程组求解,b c 。
【规范解答】（1）22sin sin()sin()sin 33A B B B ππ
=+-+
211sin sin )sin 22B B B B B =+-+22231cos sin sin 44
B B B =-+34=
sin 2A ∴=±
， 由题意02A π<<
，所以sin 2A ∴=，3A π= （2）cos cos 123AB AC AB AC A bc π
?=??=?=，24bc ∴=①，
222222cos 2cos
283a b c bc A b c bc π=+-=+-=，2228b c bc ∴+-=②， 又b c <，由①、②解得4,6b c ==。
5.（2010·福建高考文科·Ｔ21）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇
出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以υ海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在υ，使得小艇以υ海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定υ的取值范围；若不存在，请说明理由。
【命题立意】本题考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能
力、应用意识，考查函数方程思想、数形结合思想、
化归转化思想。
【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S ，利用余弦定理
把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数的方法求解
S 的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定
理解三角形表示出v ，t 的关系式，并利用函数知识
求解速度的范围；第三步把问题转化为二次函数根分布问题。
【规范解答】
(Ⅰ)设相遇时小艇航行距离为s 海里，则 ()20090040023020cos 9030s t t =+-???-2900600400t t =-+2
19003003t ??=-+ ???故当13t =时，min 103,303s v ==即小艇以每小时303海里的速度航行，相遇时距离最小。
(Ⅱ)若轮船与小艇在B 处相遇，由题意可得：()()()()2220
020*******cos 9030vt t t =+-???-化简得22400600900v t t =-+，2
134006754t ??=-+ ???
，由于102t <≤，即12t ≥，所以当12t =时，v 取得最小值1013，
即小艇航行速度的最小值为1013海里每小时。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知22400600900v t t =-+，()10u u t
=>，于是有224006009000u u v -+-=，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，()()222600160090009000v v ?-->?∴?->??
，解得：15330v <<，所以υ的取值范围为()
153,30。
【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了，可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的一般步骤是：
一．“建模”：
1．准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等；
2．根据题意画出图形；
3．把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型；
二．“解模”：正确求解。注意：算法要简练，运算要准确。
三．“还原说明”：作出应用题的答案。
6.（2010·天津高考文科·Ｔ１7）在?ABC 中，
cos cos AC B AB C =。 （Ⅰ）证明B=C ：
（Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π??+ ??
?的值。 【命题立意】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与
余弦等基础知识，考查基本运算能力。
【思路点拨】（1）只需证明sin （B-C ）=0即可；
（2）利用倍角公式及和角公式求解。
【规范解答】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C =cosB cosC
.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin （B-C ）=0.因为B C ππ-<-<，从而B-C=0. 所以B=C.
（Ⅱ）由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B,故cos2B=-cos （π-2B ）=-cosA=13
.
又0<2B<π,于是.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=9，cos4B=227cos 2sin 29
B B -=-.
所以sin(4)sin 4cos cos 4sin 33318
B B B π
π
π
+=+=
【方法技巧】解题的关键是合理利用三角函数公式对关系式进行恒等变形，要注意根据角的范围来确定三
角函数的符号的确定。
7.（2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以υ海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【命题立意】本小题主要考查解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算
求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整
合思想。
【思路点拨】第一步设相遇时小艇航行的距离为S ，把S 表示为关于t 的函数，利用二次函数的方法求解
S 的最小值，并求解此时的速度；第二步利用余弦定理解三角形表示出v ，t 的关系式，并
利用函数知识求解速度的范围。
【规范解答】 (Ⅰ)为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT ，小艇到达T 位置时轮船的航行位移
,0AT s =即3
1,1030==t t ，310=vt ，从而330310==t v （海里/时）； (Ⅱ)若轮船与小艇在H 处相遇时，在直角三角形OHT
中运用勾股定理有：0400600)900(2
2=+--t t v ，等价于9641060040090022+-=-+=
χχt
t v 从而
427)43(410949)16923(41022≤+-=+-+-=χχχv 所以当30=v 时，23=χ，3
2=t 也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东 30方向行走能以最短的时间遇到轮船。
【方法技巧】解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。近年的高考中(特别是新课程的高考)我们发现以解三角形为背景的应用题又开始成为命题的热点了，可以说这是还原三角学的本质了。解斜三角形应用题的
一般步骤是：
一．“建模”：
1．准确理解题意，分清已知和未知，准确理解应用题中的有关名称、术语，如视角、仰角、俯角、方位角、坡度、象限角、方向角等；
2．根据题意画出图形；
3．把要求解的问题归结到一个或几个三角形中，合理运用正弦定理和余弦定理等有关知识建立数学模型；
二．“解模”：正确求解。注意：算法要简练，运算要准确。
三．“还原说明”：作出应用题的答案。
8.（2010·安徽高考文科·Ｔ16）ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =
。 (1)求AB AC ?；
(2)若1c b -=，求a 的值。
【命题立意】本题主要考查三角函数，向量的数量积，余弦定理等知识的综合应用，考查考生化简、运算、
求解能力。 【思路点拨】由12cos 13
A =得sin A 的值，再根据ABC ?面积公式得bc 的值，从而求数量积A
B A
C ?的值；由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入已知条件1c b -=及bc 可求a 的值。
【规范解答】由12cos 13A =
且A 为三角形内角，得5sin 13A ==. 又ABC S ?=1sin 302
bc A =，∴156bc =， （1）12cos 15614413
AB AC bc A ?==?=； （2）2222cos a b c bc A =+-212()2(1cos )12156(1)2513c b bc A =-+-=+??-
=， ∴5a =。