高二数学讲义四点共圆
高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第五讲 四点共圆（一）
班级 姓名
一、知识要点：
1. 判定“四点共圆”的方法:
（1)若对角互补，则四点共圆；
（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.
二、例题精析：
例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM
＝∠CBK.
求证：∠DMA ＝∠CKB.
（第二届袓冲之杯初中竞赛）
A B C D
K M ··
例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆.
(第19届美国数学奥林匹克)
例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，
△OCA的外心.求证：O，O1，O2，
O3四点共圆.
(第27届莫斯科数学奥林匹克)
A
B C
K
M
N
P
Q
B′
C′
A B C
O
O
O
O
1
2
3
？
？
三、精选习题：
1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A
交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.
2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.
3．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).
求证：△M1M2M3也是正三角形.
四、拓展提高：
4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC
外接圆和△BKN外接圆相交于B和
M.求证：∠BMO=90°.
(第26届IMO第五题)
A B
O
K
N C
M
G
高二数学竞赛班二试平面几何讲义
第五讲 四点共圆（一）
例1. 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，
有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°，
∴∠CMK +∠KDC ＝180°.
故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB. 例2. 法1：,,,P Q C C '四点共圆，
PK KQ C K KC '?=?， ,,,M N B B '四点共圆，
MK KN BK KB '?=?， 因为90BC C BB C ''∠=∠=o ， 所以,,,B B C C ''四点共圆，
C K KC BK KB ''?=? 所以MK KN PK KQ ?=?，
所以M ，N ，P ，Q 四点共圆.
法2：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM.
欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，
即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)
或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①
不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2
=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)
=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.
例3．分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观
察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2
1
∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及
其外接圆，立得∠OO 3O 1=2
1
∠OO 3A =∠OCA.
由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆.
利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.
1．提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2
四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.
2．提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°. 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.
连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=
∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+
∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四点共圆.
在这个圆中，由
OC=OK?OC=OK?∠OMC=∠OMK.
但∠GMC=∠BMK，
故∠BMO=90°.
法2 蒙日定理