九年级数学一元二次方程中考真题汇编[解析版]

九年级数学一元二次方程中考真题汇编[解析版]

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．阅读与应用：

阅读1：

a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而

a+b≥2(当a＝b时取等号)．

阅读2：

若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝

，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：

已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝

时，周长的最小值为；

问题2：

汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，

1h的耗油量为yL．

(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；

(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．

【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.

【解析】

【分析】

（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；

（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．

【详解】

(1)∵x+≥2＝4，

∴当x＝时，2(x+)有最小值8．

即x＝2时，周长的最小值为8；

故答案是：2；8；

问题2：，

当且仅当，

即x ＝90时，“＝”成立，

所以，当x ＝90时，函数取得最小值9， 此时，百公里耗油量为

，

所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ． 【点睛】

本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．

2．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数1

2

y x =

的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．

（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式； （2）当03PQ <时，求n 的取值范围； （3）求出当n 为何值时，PQC ?面积为12？

【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10． 【解析】 【分析】

（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；

（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；

（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】

（1）将点C(m ，3)代入正比例函数1

2

y x =得： 3=

1

m 2

，解得：m=6

则点C(6，3) ∵A(9，0)

将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：

0936k b

k b =+??

=+?

解得：k=－1，b=9

∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n ，0) ∴P(n ，9－n)，Q(n ，1

2

n ) ∴PQ=192n n --

∵要使03PQ < ∴0＜1

932

n n --

≤ 解得：46n <或68n <

（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h

第（2）已知：PQ=

139922

n n n --=- 由图形可知，h=6n - ∵△PQC 的面积为12

∴12=

1

3692

2

n

n -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()

13692

2n n ??--

??

? 解得：n=2或n=10(舍)

情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=

()1

3

692

2n n ??-- ???

解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10． 【点睛】

本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．

3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ， （1）点C 的坐标为 ；

（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；

②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.

【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.

【解析】

【分析】

（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；

（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB?OE＝m?8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m2?4m（m＞8）即可；

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE?OB＝8?m，由三角形的面积公式得出S＝?0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；

c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；

②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2?4m＝6，解方程求出m即可；

当S＝6，0＜m＜8时，得出?0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．

【详解】

（1）∵点A（0，8），∴AO=8，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），

故答案为（8，8）；

（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，

∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，

分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：

则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC?BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：

则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC?BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；

综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；

②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：7（负值舍去），∴7

当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，

∴点B的坐标为（70）或（2，0）或（6，0）.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．

4．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；

②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值； 【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】 【分析】

①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；

②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当

x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】

解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3， 解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4， ∴a 的值是﹣2或﹣4； ②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3 ∴a ＝﹣2舍去， ∴a ＝﹣4， ∴﹣4≤x ≤﹣3， ∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，

∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，

∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9. 【点睛】

此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.

5．问题提出：

（1）如图1，在四边形ABCD 中，已知：AD BC ∥，90D ∠=?，4BC =，ABC 的

面积为8，求BC 边上的高． 问题探究

（2）如图2在（1）的条件下，点E 是CD 边上一点，且2CE =，EAB CBA =∠∠，连接BE ，求ABE △的面积 问题解决

（3）如图3，在（1）的条件下，点E 是CD 边上任意一点，连接AE 、BE ，若

EAB CBA =∠∠，ABE △的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请

说明理由．

【答案】（1）4；（2）20

3

；（3）存在，最小值为16216- 【解析】 【分析】

（1）作BC 边上的高AM ，利用三角形面积公式即可求解；

（2）延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，易得四边形BCDF 为矩形，在（1）的条件下BC=CD=4，则BCDF 为正方形，由EAB CBA =∠∠，结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ，从而推出BF=BH=4，易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ，所以EH=CE=2，设AD ＝a ，则AF=AH=4-a ，在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ，最后根据S △ABE =

1

AE BH 2

即可求解； （3）辅助线同（2），设AD=a ，CE=m ，则DE=4-m ，同（2）可得出m 与a 的关系式，设△ABE 的面积为y ，由y=1

AE BH 2

得到m 与y 的关系式，再求y 的最小值即可． 【详解】

（1）如图所示，作BC 边上的高AM ，

∵S △ABC =

1

BC AM=82 ∴82

AM==44

?

即BC 边上的高为4；

（2）如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，

∵AD BC ∥，90D ∠=? ∴∠BCD=∠D=90°=∠F ∴四边形BCDF 为矩形， 又∵BC=CD=4

∴四边形BCDF 为正方形， ∴DF=BF=BC=4， 又∵AD ∥BC ∴∠FAB=∠CBA 又∵∠EAB=∠CBA ∴∠FAB=∠EAB ∵BF ⊥AF ，BH ⊥AE ∴BH=BF=4，

在Rt △BCE 和Rt △BHE 中， ∵BE=BE ，BH=BC=4 ∴Rt △BCE ≌Rt △BHE （HL ） ∴EH=CE=2

同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH （HL ） ∴AF=AH

设AD=a ，则AF=AH=4-a

在Rt △ADE 中，AD=a ，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a 由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2，即()2

2226+=-a a

解得8

=3

a

∴AE=6-a=103

S △ABE =

111020AE BH=4=2233?? （3）存在，

如图所示，延长DA ，过B 点作BF ⊥DA 于点F ，作BH ⊥AE 于点H ，

同（2）可得CE=EH ，AF=AH ，

设AD=a ，CE=EH=m ，则DE=4-m ，AF=AH=4-a

在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即()()2

2

244+-=-+a m a m 整理得8=

4

+m

a m ∴AE=AH+HE=2816

444

+-+=++m m m m m

设△ABE 的面积为y ，

则y=()222161116AE BH=42244

++=

++m m m m ∴()()

2

4216+=+y m m

整理得：2

23240++-=m ym y ∵方程必有实数根

∴()2

=423240?-??-≥y y

整理得2

322560+-≥y y

∴(

)()16216162160????---≥?

???

y y （注：利用求根公式进行因式分解）

又∵面积y ≥0 ∴216≥y

即△ABE 的面积最小值为16216． 【点睛】

本题考查四边形综合问题，正确作出辅助线，得出AB 平分∠FAC ，利用角平分线的性质定理得到BF=BH ，结合勾股定理求出AE 是解决（2）题的关键，（3）题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键．

6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；

（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．

【答案】（1）123,4x x =-=（2）5

4

a ≤（3）-4 【解析】 【分析】

（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】

（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0， （x +3）（x ﹣4）=0， x +3=0或x ﹣4=0， ∴x 1=﹣3，x 2=4；

（2）∵方程有两个实数根12x x ，， ∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0， 解得54

a ≤

：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数

根，2222

11221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，

，． ∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，

∴22

1122229x x x x ????+-+-=????， 把22

112211x x a x x a -=--=-，代入，

得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9， 解得：a =﹣4，a =2（舍去）， 所以a 的值为﹣4．

点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．

7．如图，平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（OA ＜OB ）且OA 、OB 的长分别是一元二次方程(

)

2x 31x 30-++=的两个根，点C 在x 轴负半轴上，

且AB ：AC=1：2

（1）求A 、C 两点的坐标；

（2）若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM ，设△ABM 的面

积为S ，点M 的运动时间为t ，写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以 A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）解(

)

2x 31x 30-++=得（x ﹣3）（x ﹣1）=0，

解得x 1=3，x 2=1。

∵OA ＜OB ，∴OA=1，OB=3。∴A （1，0），B （0，3）。∴AB=2。 又∵AB ：AC=1：2，∴AC=4。∴C （﹣3，0）。； （2）由题意得：CM=t ，CB=23．

①当点M 在CB 边上时，S=23﹣t （0≤t＜3）； ②当点M 在CB 边的延长线上时，S=t ﹣3（t ＞3）。 （3）存在，Q 1（﹣1，0），Q 2（1，﹣2），Q 3（1，2），Q 1（1，23

）。 【解析】

试题分析：（1）通过解一元二次方程(

)

2x 31x 30-

++=，求得方程的两个根，从而

得到A 、B 两点的坐标，再根据勾股定理可求AB 的长，根据AB ：AC=1：2，可求AC 的长，从而得到C 点的坐标。

（2）分①当点M 在CB 边上时；②当点M 在CB 边的延长线上时；两种情况讨论可求S 关于t 的函数关系式。

（3）分AB 是边和对角线两种情况讨论可求Q 点的坐标：

8．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.

（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？

（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了

1

%2

a ，B 种品牌的建材的销售量

减少了2

%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23

a ，求a 的值.

【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】

（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；

（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】

（1）设销售A 品牌的建材x 件.

根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.

（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得

()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ??????-?+++?-=?+?+ ? ? ?

??????

，

令%a y =，整理这个方程，得2

1030y y -=，

解这个方程，得1230,10

y y ==

， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】

本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

9．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段

AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .

（1）若28A ∠=?，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；

①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由.

②若线段AD EC =，求

a

b

的值. 【答案】（1）ACD ∠＝31?；（2）①是；②34

a b =. 【解析】 【分析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】

（1）在ABC ?中，90ACB ∠=?. ∴90B A ∠=?-∠

9028=?-?

62=?，

∵BC BD =，

∴1802

B

BCD BDC ?-∠∠=∠=

180622

?-?

=

59=?.

∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠ 9059=?-?

31=?.

（2）①BD BC a ==， ∴AD AB BD =-

AB a =-.

在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，

AB =

=

∵2220x ax b +-=，

∴22

a x -±=

a =-

a AB =-±.

∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =， 又∵AD EC =，

∴2

b AE EC ==， ∴2

b AD =

. 在Rt ABC ?中，

222AB AC BC =+，

∴2

222b a b a ??+=+ ???， 2

2

224

b a ab b a ++=+，

∴

2

34b ab =. ∵0b >， ∴3

4

b a =， ∴

34a b =. 【点睛】

本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．

10．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．

（1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且

12111

4

x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．

【答案】（1）当m =0

和 （2）见解析,

（3）AM 的解析式为1

12

y x =--． 【解析】 【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根．

即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，

由

解得

．

∴函数的解析式为．

令y=0，解得

∴A(

)，B(4,0)

作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112

k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1

12

y x =--， 即AM 的解析式为1

12

y x =-

-．