江苏省南通中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021年江苏省南通中学高二年级期末考试
数学
注意事项：
1. 本试卷分选择题与非选择题两部分。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列{a n}是等比数列，公比为q，且a1>0.则“q
a2n+1”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2.定义数列{b m}如下：m+1
m
b m(m∈N?)是使
不等式a n≥m(m∈N?)成立的所有n中的最小值，则b1+b3+b5+?+b19=()
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
3.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中
国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映．在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是()
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
4.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款
后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还()万元．()
A. M
10B. MP(1+P)10
(1+P)10?1
C. M(1+P)10
10
D. MP(1+P)9
(1+P)9?1
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过焦点F的直线交抛
物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示，
则：
①以线段AB为直径的圆与准线l相切；
②以A1B1为直径的圆经过焦点F；
③A，O，B1(其中点O为坐标原点)三点共线；
★绝密启用前
④若已知点A 的横坐标为x 0，且已知点T(?x 0,0)，则直线TA 与该抛物线相切． 则以上说法中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》卷五商功篇中
介绍了羡除(此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体)体积的求法．在如图所示的羡除中，平面ABDA′是铅垂面，下宽AA′=3m ，上宽BD =4m ，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽CE =5m ，无深，长6m(直线CE 到BD 的距离)，则该羡除的体积为( )
A. 24m 3
B. 30m 3
C. 36m 3
D. 42m 3
7. 如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由太阳光的七种颜色组
成，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有( ) A. 40320种 B. 5040种
C. 20160种
D. 2520种
8. 已知点P 是椭圆
x 2
16
+y 2
12=1(xy ≠0)上的动点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且F 1M ???????? ?MP ?????? =0，则|OM ??????? |的取值范围是( ) A. (0,2)
B. (0,√3)
C. (0,4)
D. (2,2√3)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n .且满足
a n +a n+1=2n ，
b n ?b n+1=2n (n ∈N ?)，则下列说法正确的有( ) A. 0 B. 1 C. S 2n D. S 2n ≥T 2n 10. 已知等差数列{a n }，其前n 项的和为S n ，则下列结论正确的是( ) }为等差数列 A. 数列{S n n B. 数列{2a n}为等比数列 C. 若a m=n，a n=m(m≠n)，则a m+n=0 D. 若S m=n，S n=m(m≠n)，则S m+n=0 11.已知F1、F2是双曲线C：y2 ?x2=1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的 2 一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有() A. 双曲线C的渐近线方程为y=±√2x B. 以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=2 C. 点M的横坐标为±√2 D. △MF1F2的面积为√3 12.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D，E，F分别 为AC，AA1，AB的中点．则下列结论正确的是() A. AC1与EF相交 B. B1C1//平面DEF C. EF与AC1所成的角为90° D. 点B1到平面DEF的距离为3√2 2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒 C类药，若每天只能检测1盒药品，且C类药不在第1天或第6天检测，3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是______． 14.在三棱锥D?ABC中，AD⊥平面ABC，AC=3，BC=√17，cos∠BAC=1 ，若三棱锥 3 D?ABC的体积为2√7 ，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 3 15.无穷数列{a n}满足：只要a p=a q(p,q∈N?)，必有a p+1=a q+1，则称{a n}为“和谐递进 数列”.若{a n}为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，a1=a5=1，a2=2，则S2021=______． 16.已知曲线C：x4+y4+mx2y2=1(m为常数)． (i)给出下列结论： ①曲线C为中心对称图形； ②曲线C为轴对称图形； ③当m =?1时，若点P(x,y)在曲线C 上，则|x|≥1或|y|≥1． 其中，所有正确结论的序号是______． (ii)当m >?2时，若曲线C 所围成的区域的面积小于π，则m 的值可以是______.(写出一个即可) 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答题应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． (Ⅰ)在组成的三位数中，求所有偶数的个数； (Ⅱ)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； (Ⅲ)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 18. 已知直线l 1的方程为x +2y ?4=0，若l 2在x 轴上的截距为3 2，且l 1⊥l 2． (1)求直线l 1和l 2的交点坐标； (2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 19. 已知数列{a n }前n 项和S n 满足S n ={3,n =1 a 1+4a n?1+4,n ≥2 ． (1)设b n =a n+1?2a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若C n =log 2n 5√2，数列{1 C n ?C n+1 }的前n 项和为T n ，求证：4 3 ≤T n <2． 20. 如图，三棱锥S ?ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面 ABC ． (Ⅰ)若P 点是线段SA 的中点，求证：SA ⊥平面PBC ； (Ⅱ)点Q 在线段出上且满足AQ =1 3AS ，求BQ 与平面SAC 所成角的正弦值． 21.已知数列{a n}中，a1=1，(n+1)a n+1?(n+2)a n=1(n∈N?)，S n为数列{a n}的前n 项和．数列{b n}满足b n=1S n (n∈N?)． (1)证明：数列{a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式； (2)设数列{b n}的前n项和为T n.问是否存在正整数p，q(3 等差数列？若存在，求出p，q的值；若不存在，请说明理由． 22.设椭圆C：x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(?c,0)，F2(c,0)，离心率为1 2 ， 短轴长为2√3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设左、右顶点分别为A、B，点M在椭圆上(异于点A、B)，求k MA k MB的值； (3)过点F2作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，过P，Q作直线x=a2 c 的垂线，垂足为S，T.试问：直线PT与QS是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由． 2021年江苏省南通中学高二年级期末考试参考答案与评分标准 数学 1.【答案】A 【解析】解：若数列{a n }是等比数列，公比为q ，且a 1>0， 则a 2n?1=a 1q 2n?2，a 2n =a 1q 2n?1，a 2n+1=a 1q 2n ， 故2a 2n?1+a 2n ?a 2n?1 =2a 1q 2n?2+a 1q 2n?1?a 1q 2n =a 1q 2n?2(2+q ?q 2) =?a 1q 2n?2(q ?2)(q +1)， 若q 0，解得：q >2或q 故q 根据充分必要条件导数定义以及等比数列的性质判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查等比数列的性质以及转化思想，是一道基础题． 2.【答案】B 【解析】解：因为S n =n 2，可得a n =2n ?1， 由a n ≥m ，可得2n ?1≥m ，解得n ≥m+12 ，当m =2k ?1，k ∈N ?时， m+1m b m =k ，即 b m =mk m+1= m(m+1)2(m+1) =m 2，即b 2k?1= 2k?12 ， 从而b 1+b 3+b 5+?+b 19=1 2(1+3+5+?+19)=50． 故选：B ． 由题意可得a n =2n ?1，由a n ≥m ，解得n ≥ m+12 ，当m =2k ?1，k ∈N ?时，b 2k?1= 2k?12 ，利用等差数列的求和公式即可计算得解． 本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和，属于基础题． 3.【答案】C ★绝密启用前 【解析】解：根据题意，将两名家长、孩子全排列，有A44=24种排法， 其中两个孩子相邻且在两端的情况有A22A22A22=8种， 则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24?8=16种， 故选：C． 根据题意，用间接法分析：先计算两名家长、孩子全部的排法数目，再排除其中两个孩子相邻且在两端的情况，即可得答案． 本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 4.【答案】B 【解析】解：∵小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次， ∴到第10年连本带利应还M(1+P)10元，而第k年还款x元，也还掉了这x元的(n?k)的利息，故有数列模型：(1+P)10M=x[(1+P)9+(1+P)8+?+(1+P)+1]， 即(1+P)10M=x?(1+P)10?1 P ， ∴每年应还x=MP(1+P)10 (1+P)10?1 ． 故选：B． 此类题一般有两种思考方法：一是按将来值计算，即按10年后的价值计算；二是计算每年贷款余额． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 5.【答案】D 【解析】解：对于①，设|AF|=a，|BF|=b，则|AA1|=a，|BB1|=b，∴线段AB的中点 到准线的距离为a+b 2=|AB| 2 ，∴以线段AB为直径的圆与准线l相切，故①正确； 对于②，连接A1F，B1F，如右图所示， ∵|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，∠BAA1+ ∠ABB1=180°， ∴180°?2∠AFA1+180°?2∠BFB1=180°，∴∠AFA1+∠BFB1=90°， 即∠A1FB1=90°，∴以A1B1为直径的圆经过焦点F，故②正确； 对于③，设直线AB：x=my+p 2 ，A(x1,y1)， B(x 2,y 2)， 由{x =my +p 2y 2=2px 联立得：y 2?2pmy ?p 2=0，△>0，y 1y 2=?p 2， 又OA ????? =(x 1,y 1)=(y 1 2 2p ,y 1)，OB 1???????? =(?p 2,y 2)， ∵ y 1 22p ?y 2= y 1y 22p ?y 1=?p 2 y 1，∴OA ????? //OB 1???????? ，∴A ，O ，B 1三点共线，故③正确； 对于④，不妨设A(x 0,√2px 0)，则k AT =√2px 02x 0 ， 则直线AT ：x =√2x 0p y ?x 0，代入抛物线方程化简得：y 2?2p √2x 0p y +2px 0=0， ∵△=4p 2× 2x 0p ?8px 0=0，∴直线TA 与该抛物线相切，故④正确， 故选：D ． 由抛物线的性质可判断①的正误；连接A 1F ，B 1F ，结合抛物线的性质可得∠A 1FB 1=90°，即可判断②的正误；设直线AB ：x =my +p 2，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③的正误；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④的正误． 本题主要考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系、点共线，属于中档题． 6.【答案】C 【解析】解：如图，在BD ，CE 上分别取B′，C′，使得BB′=CC′=3m ，连接A′B′，A′C′，B′C′， 则多面体ABC ?A′B′C′是斜三棱柱， 该羡除的体积V =V 三棱柱ABC?A′B′C′+V 四棱锥A′?B′DEC′， 而V 三棱柱ABC?A′B′C′=1 2×3×6×3=27，V 四棱锥A′?B′DEC′=13 ×( 1+22 ×6)×3=9， ∴该羡除的体积为27+9=36m 3． 故选：C ． 在BD ，CE 上分别取B′，C′，使得BB′=CC′=3m ，连接A′B′，A′C′，B′C′，把多面体分割为斜三棱柱ABC ?A′B′C′与四棱锥A′?DB′C′E ，再由棱柱与棱锥体积公式求解． 本题考查求空间几何体的体积，训练了分割补形法的应用，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】D 【解析】解：从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有7种方法， 剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，有6！种方法． 由于图象是轴对称图形，故上述方法正好重复了一次，故不同的涂法有7×6！2 =2520种， 故选：D ． 从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有7种方法，剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，有6！种方法．故共有7×6！种方法，由于图象是轴对称图形，故最后把结果除以2，即得所求． 本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，注意图形的对称性，属于中档题． 8.【答案】A 【解析】解：如图：， 当点P 在椭圆的上下顶点时，点M 与原点O 重合，此时|OM ??????? |取最小值0； 当点P 在椭圆的左右顶点时，点M 与椭圆焦点F 1重合，即F 1M ???????? =0? ，此时|OM ??????? |取最大值，最大值|OM ??????? |=√16?12=2， ∵xy ≠0， ∴点P 不过椭圆的顶点，∴|OM ??????? |∈(0,2)， 故选：A ． 先分别分析点P 为上下顶点和左右顶点时的|OM ??????? |的值，又因为xy ≠0，所以点P 不过椭圆的顶点，从而求出|OM ??????? |的取值范围． 本题主要考查了圆锥曲线以及平面向量的应用，是中档题． 9.【答案】ABC 【解析】解：∵数列{a n }为递增数列； ∴a 1 a 2+a 3=4 ； ∴{a 1+a 2>2a 1a 2+a 3>2a 2=4?4a 1