期望 方差公式的证明全集
期望与方差的相关公式的证明
-、数学期望的来由
早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i
p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑
∞
=1
<∞时，
则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞
=1
i i i p a ，
如果i i i p a ∑
∞
=1
=∞，则数学期望不存在。
[]
1
定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.
二、数学期望的性质
（1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义
前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的
平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2
p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.
ξ
D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.
定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2
X E X
E -存在，则称
]))([(2
X E X E -
为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2
X E X E X D -=
。
方差的算术平方根
)
(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即
)
()(X D X =
σ
由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。 D ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。
由定义4知，方差是随机变量X 的函数2
)]
([)(X E X
X g -=的数学期望，故
?????--=?∑∞
∞
-∞
=连续时当离散时
当X dx x f X E x p X E x X D k
k k k ,)()]([X ,)]([)(21
2
当X 离散时, X 的概率函数为
,2 ,1 ,)()(====
k P x X P x P K K k ；
当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。 求证方差的一个简单公式：
公式1：2
2)]
([)()(X E X E X D -=
证明一：
2
2
2
22
)]
([)(])]([)(2[]
))([()(X E X E x E X XE X
E X E X E X D -=+-=-=
证明二：2
1
()n
i
i
i D x
E p ξ
ξ==
-?∑
22
122
1
11
22
2
2
2
[2()]2()2()()()
n
i
i i
i n
n
n i
i i i i
i i i x
x E E p x
p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+?=
-?+?=-+=-∑∑∑∑
2
2
()
D E E ξξξ∴=-
可以用此公式计算常见分布的方差
四、方差的性质
（1）设C 是常数,则D (C )=0。 （2）若C 是常数,则)()(2
X D C CX
D =。
（3）若X 与Y 独立，则
公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。
证 由数学期望的性质及求方差的公式得
{
}{}
)
()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]
()([]2[)]
([])[()(222
22
2
2
2
2
2
22
2
Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y
X
E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+
可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则
∑∑===
n
i i
n
i i X D X D 11
)(][
∑∑===
n
i i i
n
i i i X D C
X C D 1
21
)(][
（4） D (X )=0 ?P (X = C )=1， 这里C =E (X )。
五、常见的期望和方差公式的推导过程
（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明
1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）p i ≥0，i ＝1，2，...； （2）p 1＋p 2＋ (1)
2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。
（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，
证明：令a b ηξ=+
,a b 为常数 η也为随机变量
()()
i i P ax b P x ξ+== 1,2,3...i =
所以 η的分布列为
1122()()...()n n
E ax b p ax b p ax b p η=++++++
=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p +++++
+++
E η
=aE b ξ+
()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b
η
ξ=+的期望等于随机变量ξ
期望的线性函数
（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.
证法一： 因为
2
1
()n
i
i
i D x
E p ξξ==
-?∑
22
122
1
11
22
2
2
2
[2()]2()2()()()
n
i
i i
i n
n
n i
i i i i
i i i x
x E E p x
p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+?=
-?+?=-+=-∑∑∑∑
22
()
D E E ξξξ∴=-
所以有：2
2
22
1
1
()[()]()n
n i
i i
i i i D a b ax
b aE b p a
x
E p a D ξ
ξξξ
==+=
+-+?=-?=∑∑ 证毕
证法二：D ξ=2
22
2
2
1
1
1
1
()
2()
()
n n
n
n i i i
i i i i i i i i x E p x
p E x p E p E E ξξξξξ====-?=
-+=-∑∑∑∑
.
E(a ξ＋b)＝aE ξ＋b ， D(a ξ+b)=a 2D ξ．
22
22
1
1
()[()]()n
n
i
i i
i i i D a b ax
b aE b p a
x
E p a D ξξξξ
==+=
+-+?=-?=∑∑
（二）二项分布公式列举及证明
1．二项分布定义：若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k 。（k ＝0，1，2，…，n ，0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称ξ服从二项分布，记作ξ~B (n ，p )，其中n 、 p 为参数，并记C n k p k q n-k =b(k ；n ，p )。
2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：
（1）P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k ＞0，k ＝0，1，2，…，n ； （2）∑=n
k 0
P (ξ＝k )＝∑=n
k 0
C n k p k q n-k ＝(p ＋q) n ＝1。
二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。 3．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差公式： 若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）.
（3） 公式5：求证：E ξ=np
方法一：
在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p （不发生的概率为q ，有1p q +=），那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为
服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：
预备公式
1
1k
k n n kc nc --=
1
1
102
202
11
(1)()
11
11111()
(......)
n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q
c p q
c p q
c p
q
c p
q ----------------+=++++++
因为()(1)
,k
k
n k
k
k
n k
n n p k c p p c p q
ξ--==-=
所以
1
1
1
2
2
2
0012......n
n n k k n k
n n
n n n n n E c p q c p q
c p q
k c p q
nc p q
ξ---=?+?++?++?++
=001
10
2
202
1
1
(1)()
1
1
1
1111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c
p q
c p q
c p q
c p
q
c p
q ---------------++++++
=1()n np p q np -+= 所以
E ξ
=
n p
得证
方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则
X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，
现在我们来求X 的数学期望。
若设???=次试验失败
如第次试验成功如第i i X i
1 i =1,2，…，n
则12...n X
X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X
P i
=-==1)0(
所以p p q X E i =*+*=10)(，则
=)(X E np
X
E X E n
i i
n
i i ==
∑∑==1
1
)(][
可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
公式6
2
1
2
12
(1)k
k k n n n k C nC n n C ----=+-
21
1
k k n n k C knC --=
1
1
11
11
1
2
12
[(1)1](1)(1)k n k k n n k k n n n k C nC n k C nC n n C ----------=-+=+-=+- 2
1
2
12
(1)k
k k n n n k C nC n n C ----∴=+-
求证：服从二项分布的随机变量ξ的方差公式7：D ξ=npq （q =1－p ）. 方法一：
证明： 2
2
n
i i n i
n i E i
C p q
ξ-==
∑
11
121
222
1
11
01
2
22
1
1
2
1
2
11
1
2
2
1
1
2
2
(1)(1)()(1)()
(1)n
n
n i i n i
i i n i
n
n n i i n
n
n i i n i
n i i n i
n n n i i n n n n n n C pq nC p q n n C p q
npq np C
p
q
npC
q
n n p
C
p
q
npq np p q npq n n p p q npq
np npq
n n p
np n p -------==-----------==------=+
+
-=+-+-=++-+-+=+-+-=+∑
∑
∑∑2
22
2
2
2
(1)np
np p n p npq n p
-=-+=+
由公式1知22
()D E E ξξξ=-
222
()npq n p np npq
=+-=
方法二： 设~(,)B n p ξ
, 则X
表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数。 若设??
?=次试验失败
如第次试验成功如第i i X i 0
1
i =1,2，…，n
则1
n
i
i ξ
ξ==
∑是n 次试验中“成功”的次数，()01i
E q p p
ξ
=*+*=，故
2
2
2
()()[()](1)i
i i D E E p p p p ξ
ξξ=-=-=-， 1,2,,i n =
由于12,,...,n ξξξ相互独立，于是1
()()n
i i D D ξξ==∑= np (1- p )。
（三） 几何分布的期望与方差的公式列举及证明
1． 定义5：几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。
定义6：在第n 次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。
n 次伯努利试验，前n -1次皆失败，第n 次才成功的概率。
1
()(1)
k P X k p p -==-
若P k q
p k ()ξ
==-1
，则（1）E p
ξ=
1，（2）D p p
ξ
=
-12
。
求证：（1）几何分布的期望 公式8：E p
ξ
=
1，
若某射击手击中目标的概率为P ，求证：从射击开始到击中目标所需次数ξ的期望
E p
ξ=
1
证明：依题意分布列为
由P k q
p k ()ξ
==-1
，知
2
1
12(1)3(1) (1)
...K E P P P P P K P P ξ-=?+-+-++-+
2
1
2
1
23......(123......)k k E p pq q p kq
p q q kq
p ξ--=+++++=+++++
下面用错位相减法求上式括号内的值。 记21
123...k k
S
q q kq
-=++++
21
2...(1)k k
k qS q q k q
kq
-=+++-+
两式相减，得2
1
(1)1...k k
k
q S
q q q kq
--=++++-
S q
q kq
q
k k k
=
---
-1112
()
由01<
→k
k q 及0lim =∞
→k
k kq
（可用L'Hospital 法则证明）
故212
2
11123......lim (1)
k k
k p q kq S q p
-→∞+++++==
=
-，
所以E p
ξ
=
1
求证：（2）()(,)p k g k p ξ== 几何分布的方差 公式9：D p p
ξ
=
-12
2
q p
=
证明：利用导数公式()'x nx
n
n =-1
，推导如下：
21
123......k x x kx
-+++++
'
2
'
3
'
'
23'
()()...()...(......)
k
k x x x x x x x x =+++++=+++++
=-=
----=
-()'()()()
()
x x x x x x 111112
2
上式中令x
q
=，则得 21
2
2
11123 (1)
k q q kq
q p
-+++++=
=
-
（2）为简化运算，利用性质D E E ξ
ξ
ξ=-2
2
()
来推导。
2
2
2
2
2
1
23......k E p qp q p k q
p ξ
-=+++++
2
2
2
2
1
(123......)k p q q k q
-=+++++
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k
21
-=()'，并用倍差法
求和，有22221
123......k q q k q -+++++
23'
(23......)k q q q kq =+++++
=-=
-+--=
--=
+-=
-[
()]'()()()()
()
q q q q q
q q
q q
q p p
11211111122
2
4
243
3
则E p p p
p p
ξ2
3
2
22=-=
-(
)，
因此D E E p p
p
p p
ξ
ξ
ξ=-=
--=
-2
2
2
2
2
211()
(
)
证明二:
2
2
1
1
1
1
1
1
()[(1)]k k k K k k E k
pq
p k k q
kq
ξ∞
∞
∞
---====
=-+
∑∑∑
=1
()k n k qp q E ξ∞
=+∑
=3
2
2121(1)
p qp
p p
p
p
+
=
+
-
D E E p p
p
p p
ξξ
ξ=-=--=
-2
2
2
2
2
211()
(
)