概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件及其运算

1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象

2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω

表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表

示，Ω表示必然事件，

?表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。

5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示

6、事件的关系

（1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事

件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B;

（2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B=

?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容

7、事件运算

（1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。

（3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以

表示为B A B A =-。

（4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。

对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。

8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA

（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB

∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=?

9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ

称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足：

（1）Ω∈ξ;

(2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并

∞

=1

n n

A ∈ξ 。

10、两个常用的事件域：

（1）离散样本空间Ω（有限集或可列集）内的一切子集组成的事件域；

（2）连续样本空间Ω（如R 、R 2

等）内的一切博雷尔集（如区间或矩形）逐步

扩展而成的事件域。

第二节 概率的定义及其确定方法

1、概率的公理化定义：定义在事件域ξ上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：若A ∈ξ，则P(A)≥0； （2）正则性公理：P(Ω)＝1

（3）可列可加性公理：若A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有

∑∞

=∞==???? ??11)(i i i i A P A P ，

即 ++++=????)()()()(2121n n A P A P A P A A A P ，则称P （A ）

为时间A 的概率，称三元素（Ω，ξ，P ）为概率空间

2、确定概率的频率方法：（是在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得频率的一种方法）

它的基本思想是：

（1）与考察事件A 有关的随机现象可大量重复进行；

（2） 在n 次重复试验中，记n(A)为事件A 出现的次数，称 f n (A)=

n

n ）

（A ， 为事件A 出现的频率； （3） 频率的稳定值就是概率；

（4） 当重复次数n 较大时，可用频率作为概率的估计值。 3、确定概率的古典方法：

它的基本思想是：

（1） 所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n 个； （2） 每个样本点发生的可能性相等（等可能性）； （3） 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为

P （A ）基本事件总数

所包含的基本事件数A =

=n k

。 4、确定概率的几何方法：

它的基本思想是：

（1） 如果一个随机现象的样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积、体积等）

大小可用S n 表示；

（2） 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的；

（3） 若事件A 为Ω中某个子区域，且其度量为S A ,则事件A 的概率为

P （A ）=

Ω

S S A

. 5、确定概率的主观方法：一个事件A 的概率P （A ）使人们根据经验，对该事件发生的可能

性大小所做出的个人信念。

6、概率是定义在事件域ξ上的集合函数，且满足三条公理。前三种确定概率的方法自动满足三条公理，而主观方法确定概率要加验证，若不满足三条公理就不能称为概率。

第三节 概率的性质：

1、 P(Φ)＝0

2、 有限可加性：若有限个事件A ,，A 2，···，A 3互不相容，则有

∑∞

=∞==???? ??11)(i i i i A P A P ，

3、 对立事件的概率：对任一事件A ，有)(1)(A P A P -=

4、 减法公式（特定场合）：若A ?B,则P(A －B)＝P(A)－P(B)

5、 单调性：若A ?B ，则P （A ）≥ P （B ）

6、 减法公式（一般场合）：对任意两个事件A 、B ，有P(A －B)＝P(A)－P(AB)

7、 加法公式：对任意两个事件A 、B ，有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

对任意n 个事件A 1，A 2，···，A n ，有

∑∑

∑=≤<≤≤<<≤-=-+++

-

=n

i a

j i a

k j i n n k

j

i

j i i A A A P A A A P A A P A P A P 1

11211

n 1

i i )

()

1()()()()(

8、 半可加性：对任意两个事件A 、B ，有)()(B P A P B A P +≤?）（. 9、 事件序列的极限：

（1） 对ξ 中任一单调不减的事件序列 ????n 21F F F ，称为可列并

∞

=1

n n

F

为极限{F n }的极限事件，记为

∞

=∞

→=1

n n n n lim F F 。

（2） 对ξ 中任一单调不增的事件序列 ????n 21E E E ，称为可列交

∞

=1

n n

E

为极限{E n }的极限事件，记为=

∞

→n n lim E ∞

=1

n n

E

。

若)lim ()(lim n n n n E P E P ∞

→∞

→=,则称概率P 是上连续的

10、 概率的连续性：若P 为事件域ξ 上的概率，则P 既是上连续的，又是下连续的 11、 若P 是ξ上满足P （Ω）=1的非负集合函数，则P 是可列可加性的充要条件是P

具有有限可加性和下连续性。

第四节 条件概率

1、条件概率：设A 、B 是两个事件，若P(A)>0，则称P(A|B)=)

()

(B P AB P 为事件B 发生条件下，事件A 发生的条件概率。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 2、乘法公式：

（1）若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B) （2）若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

3、全概率公式：设事件n B B B ,,,21 互不相容，且

n

1i i

=Ω=B

，

如果),,2,1(0)(n i B P i =>，则对任一事件A 有)|()()(n

1

i j

i

B A P B P A P ∑==

，i=1,2,·

··，n 。 )|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

4、贝叶斯共公式：设事件1B ，2B ，…，n B 互不相容，且

n

1

i i

=Ω=B

，如果P （A ）>0，

),,2,1(0)(n i B P i =>,则

∑==

n

1

j j

j

i i i )

|()()

|()(|B A P B P B A P B P A B P ）（，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫B i 的先验概率。)/(A B P i ，

（1=i ，2，…，n ），通常称为B i 的后验概率。

第五节 独立性

1、两个事件的独立性：如果满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的，

简称A 与B 独立。否则称A 与B 不独立或相依。

若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有

)()()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

2、若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。

3、多个事件的独立性：设有n 个事件A 1，A 2，···，A n ，如果对任意的1≤

I

??

??

??

?===)

()()()()()()()()()()()(j i j i j i j i j i j i n k n k k k A P A P A P A P A A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件A 1，A 2，···，A n 相互独立。

4、若n 个事件相互独立，则其任一部分与另一部分也相互独立。特别把其中部分换为对立事件后，所得诸事件亦相互独立。

5、试验的独立性：假如实验E 1的任一结果（事件）与试验E 2的任一结果（事件）都是相互

独立的事件，则称这两个试验相互独立。

6、n 重独立重复试验：假如一个试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n

次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果：A 与A ，则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行n 次，并各次试验间相互独立，则称其为n 重伯努利试验。

第二章 随机变量及其分布

第一节 随机变量及其分布

1、 随机变量：定义在样本空间Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量。

（1） 离散随机变量：仅取有限个或可列个值的随机变量

（2） 连续随机变量:取值充满某个空间（a ，b ）的随机变量。这里a 可为-∞，b 可为

+∞。 2、分布函数：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数，记为X~F(x)。分布函数具有如下三条基本性质：

（1） 单调性：F （x ）是单调非减函数，即对任意的x 1

（2） 右连续性：F （x ）是x 的右连续函数，即对任意的x 0，有)x (x lim 0x x 0

F F =+→）

（，即F(x 0+0)=F(x 0)；

（3） 有界性:对任意的x ，有0≤F(x) ≤1，且F(-∞)=)(lim -x x F ∞

→=0，

F(+∞)=）（x lim x F +∞

→=1

可以证明：具有上述三条性质的函数F （x ）一定是某一个随机变量的分布函数。

如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X 落在区间

],(x -∞内的概率

3、离散型随机变量的概率分布列: 若离散型随机变量X 的可能取值为x n (n=1,2,…)则

称X 取x i 的概率为P i =P(x i=)P(X=x i )，i=1,2,…，则称上式为离散型随机变量X 的概率分布列，简称分布列。有时也用列表的形式给出：

,,,,,,,,|

)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

分布列具有两条基本性质：

（1） 非负性; ，，）（2,1i 0x p i =≥， （2）正则性:

∑+∞

==1

i i

1x p ）（。

离散随机变量X 的分布函数∑≤=

x

x i

i x p )x (）

（F ，它是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量X 取值于区间（a ，b ]上的概率为P(a

4、连续随机变量的概率密度函数: 记连续随机变量X 的分布函数是F(x)，若存在非负可积

函数p （x ），对任意实数x ，有?∞

=

x

-dt t p x ）（）（F ，则称X 为连续型随机变量。

p （x ）称为X 的概率密度函数，简称密度函数。

密度函数p （x ）具有下面2个基本性质： （1） 非负性:0x p ≥）（;

（2） 正则性：

?+∞

∞

=-1)(p dx x 。

5、离散分布：分布在离散场合可以是分布列或分布函数；连续分布：分布在连续场合可以

是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续的分布。 6、设随机变量X 的分布函数F(x)，则可用F(x)表示下列概率： （1）P(X ≤a)= F(a)； （2）P(X

（3）P(X>a)=1-P(X ≤a) =1-F(a)；

(4) P(X=a)= P(X ≤a)- P(X

(6) P(|X|

1、 数学期望：设随机变量X 的分布列p （x i ）或用密度函数p （x ）表示，若

?????+∞<+∞

+∞

-i

i i dx x xp x p |x |为连续随机变量，当）（为离散随机变量，当）（X X ， 则称E(X)=??????∑∞+∞

-i

i i dx x xp x p x 为连续随机变量，当）（为离散随机变量

，当）（X X 为X 的数学期望，简称期

望或均值，且称X 的数学期望存在。否则数学期望不存在。

数学期望是有分布决定的，它是分布的位置特征。如果两个随机变量同分布，则其数学期望（存在的话）是相等的。期望相当于重心。 2、 数学期望的性质：假设数学期望存在， （1） X

的

某

一

函

数

g

（

X

）

的

数

学

期

望

为

???

??=?∑∞

+∞

-i i i dx x p x g x p x g ]g [，在离散场合）（）（），在离散场合（）（）（X E （2） 若C 为常数，则E(C)=C

（3） 对任意常数C ，有E(CX)=CE(X) （4） 对任意的两个函数g 1（x ）和g 2（x ），E[g 1（x ）±g 2（x ）] = E[g 1（x ）]±E[g 2（x ）] （5） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n i n

i i

i

i

i

X E C X C E 1

1

)()(

（6） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 第三节 随机变量的方差与标准差

1、 方差：随机变量X 对其期望E （X ）的偏差平方的数学期望（设其存在）Var （X ）=E[X-E(X)]

2

称为X 的方差，方差的正平方根σ（X ）=σX =）X （Var 称为X 的标准差。 方差是由分布决定的，它是分布的散布象征，方差越大，分布就越散；方差越小，分布

就越集中。标准差与方差的功能相似，只是量纲不同。 2、 方差的性质：假设方差存在，

（1） Var （X ）=E(X 2)-[E(X)]2

（2） 若c 是常数，则Var （c ）=0

（3） Var （aX+b ）= a 2

Var （X ）

（4） 若随机变量X 的方差存在，则Var （X ）=0的充要条件是X 几乎处处为某个常数

a ，即P （X=a ）=1

（5） 若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )

3、 切比雪夫不等式:设X 的数学期望和方差都存在，则对任意常数ε>0,有

2

ar )|)((|εε）

（X V X E X P ≤

≥-,或2

)

(1)|)((|εεX Var X E X P -

≥<-。切比雪夫不等

式给出随机变量取值的大偏差（指事件{|X-E(X)| ≥ε}）发生的概率的上限，该上限于分布的方差成正比。

4、 随机变量的标准化：对任意随机变量X ，如果X 的数学期望和方差存在，则称

）

（X V X E X X ar )

(*-=

为X 的标准化随机变量，此时有E(X *)=0，Var （X *

）=1。

第四节 常用离散分布

1、 二项分布：

设随机变量X 的概率分布列为， k

n k k

n n q p C k P k X P -===)()(，其中

n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二

项分布。记为),(~p n B X 。

（1） 背景： n 重贝努里试验中成功的次数X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为

),(~p n B X ，其中p 为一次伯努利试验中成功发生的概率。

（2） n=1时的二项分布B （1，p ）称为二点分布，或0-1分布，（0-1）分布是二项分布的

特例。当X ～B （1，p ）时，X 可表示一次伯努利试验中成功的次数，它只能取0或1。

（3） 二项分布B （1，p ）的数学期望和方差分别是：E(X)=np ，Var （X ）=np （1-p ）。 （4） 若),(~p n B X ，则Y=n-X ～B （n ，1-p ），其中Y=n-X 是n 重伯努利试验中失败的

次数。

2、 泊松分布：

（1） 设随机变量X 的概率分布列为λλ-=

=e k k X P k

!

)(，k=0,1,2，

···，则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为X ～P(λ)，其中参数0>λ。

（2） 背景：单位时间（或单位面积、单位产品等）上某稀有事件（这里的稀有事件

是指不经常发生的事件）发生的次数服从泊松分布P(λ)，其中λ为该稀有事件发生的强度。

（3） 泊松分布P(λ)的数学期望和方差分别是：E(X)= λ,Var （X ）=λ。 （4） 二项分布的泊松近似（泊松定理）：在n 重伯努利试验中，记事件A 在一次试验

中发生的概率为p n （与试验次数n 有关），如果当n →+∞时，有np n →λ，则

λλ-k k -n n k n n e k!p 1p k n lim =???

? ??+∞→）—（。 3、 超几何分布

（1） 若X 的概率分布列为???

? ??????

??-???? ??==n k -n k )k (N M N M X P ，k=0,1，

···，r 。则称X 服从

超几何分布，记为X ～h （n ，N,M ）,其中r=min{M ，n}，且M ≤N ，n ≤N 。n ，N,M 均为正整数。

（2） 背景：设有N 个产品，其中有M 个不合格品。若从中不放回的随机抽取n 个，

则其中含有的不合格品的个数X 服从超几何分布h （n ，N,M ）。 （3） 超几何分布h （n ，N,M ）的数学期望和方差分别是:E （X ）=N

M

n

,Var （X ）=

)

1()

n )((n 2

---N N N M N M 。 （4） 超几何分布的二项近似：当n<

（n ，M/N ）近似，即k

-n k p -1p k n n k -n k ）（???? ??≈?

??

? ?????? ??-???? ??N M N M ，其中p=M/N 。 （5） 实际应用中，再不返回抽样时，常用超几何分布描述抽搐样哦泥中不合格品数

的分布；在返回抽样时，常用二项分布b （n ，p ）描述抽出样品中不合格聘书的分布；当批量N 较大，而抽出样品数n 较小时，不返回抽样可近似看成返回抽样。 4、 几何分布：

（1） 若X 的概率分布列为P （X=k ）=（1-p ）k-1

p ，k=1,2，···，则称为X 服从几何分

布，记为X ～Ge （p ），其中0

（2） 背景：在伯努利试验序列中，成功事件A 首次出现时的试验次数X 服从几何分

布Ge （p ），其中p 为每次试验中事件A 发生的概率。 （3） 几何分布Ge （p ）的数学期望和方差分别是;E(X)=

p 1,Var(X)=2p

p

1-。 （4） 几何分布的无记忆性：若X ～Ge （p ），则对任意正整数m 与n 有

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)。 5、 负二项分布：

（1） 若X 的概率分布列为r

-k r p -1p 1-r 1-k )k (）（???

?

??==X P ，k=r ，r+1，···。则称X 服从负二项分布或巴斯卡分布，记为X ～Nb （r ，p ），其中r 为正整数，0

（4） 负二项分布Nb （r ，p ）的数学期望和方差分别是:E(X)=r/p,Var(X)=r(1-p)/p 2

。 （5）

负二项分布的随机变量可以表示成r 个独立同分布的几何分布随机变量之和，即若X ～Nb （r ，p ），则X=X 1+X 2+···+X r ，其中X 1，X 2，···，X r 是相互独立、服从几何分布Ge （p ）的随机变量。

6、 常用离散分布表

分布列p k

期望 方差

0-1分布),1(p B

p k =p k

（1-p ）1-k

，k=0,1

p

)1(p p -

二项分布),(p n B

p k =

k n k k

n n q p C k P k X P -===)()(k

=0,1，···，n

np

)1(p np -

泊松分布)(λP

p k =

λλ-=

=e k k X P k

!

)(k =0,1，···

λ λ

几何分布)(p G

p k = P （X=k ）=（1-p ）k-1

p ，

k=1,2，···，

p 1

2

1p p

- 超几何分布

),,(N M n H

p k =

???

? ?????? ??-???? ??=

=n k -n k )k (N M N M X P

k=0,1，···，r 。r=min{M ，n}

N

nM

??

?

??--??? ??-11N n N N M N nM 负二项分布 Nb （r ，p ）

p k =

r

-k r p -1p 1-r 1-k )k (）（

???

? ??==X P k=r ，r+1，···。

r/p r(1-p)/p 2

第五节 常用连续分布

1、 正态分布

(1) 若X 的密度函数和分布函数分别为

2

2

2-x -e 21x p σμσ

）（π）（=

，-∞

x x

-2-t -2

2

?∞

=

σμσ

）（π）（F ,-∞

称X 服从正态分布，记作X ～N （μ，σ2

），其中参数-∞<μ<+∞，σ>0。

（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量（服从正态分布的变量）。测量误差就是量具偏差、测量环境的影响、测量技术的的影响等因素随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。 （3） 关于参数μ：

● μ是正态分布的数学期望，即E （X ）=μ，称μ为正态分布的位置参数。 ● μ是正态分布的对称中心，在μ的左侧和p （x ）下的面积为0.5；在μ的右

侧和p （x ）下的面积为0.5；所以μ也是正态分布的中位数

● 若X ～N （μ，σ2

），则X 在离μ越近取值的可能性越大，离μ越远取值的可

能性越小

关于参数σ：

● σ2

是正态分布的方差，即Var （X ）=σ2

；

● σ是正态分布的标准差，σ越小，正太分布越集中；σ越大，正态分布越分

散；σ又称为正态分布的尺度参数

● 若X ～N （μ，σ2

），则其密度函数p （x ）在μ±σ处有两个拐点

（4） 标准正态分布：称μ=0，σ=1时的正态分布N （0,1）；

记U 为标准正态变量，φ(u)和Φ(u)为标准正态分布的密度函数和分布函数。φ(u)和Φ(u)满足：

● φ(-u)= φ(u)

● Φ(-u)=1- Φ(u)。对u>0, Φ(u)的值有表可查

（5） 标准化变换：若X ～N （μ，σ2

），则U=（X-μ）/σ～N （0,1），其中U=（X-μ）/σ

称为X 的标准化变换 （6） 若X ～N （μ，σ2

），则对任意实数a 与b ，有P （X ≤b ）=???

??Φσμ-b ，P （a

?

??Φσμ-a ,

P （a

??Φσμ-b -??

?

??Φσμ-a 。 （7） 正态分布的3σ原则：设X ～N （μ，σ2

），则P （|X-μ|

Φ(-k)=??

?

??===3k 9973.02k 9545

.01k 6826

.0，，， 2、 均匀分布

（1） 若X 的密度函数和分布函数分别为??

???<<-=其他，，

,0,1

)(p b x a a b x

??

???

≥<≤--<,,1,,,,0)(b x b x a a

b a x a x x F 则称X 服从区间（a ，b ）上的均匀分布，记作X ～U

（a ，b ）。

（2） 背景：向区间（a ，b ）随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布U （a ，b ）。“随

即投点”指：点落在任意相等长度的小区间上的可能性是相等的。

（3） 均匀分布U （a ，b ）的数学期望和方差分别是E （X ）=2b a +，Var （X ）=12

)(2

a b -。

（4） 称区间（0,1）上的均匀分布U （0,1）为标准均匀分布，它是导出其他分布随

机数的桥梁 3、 指数分布

（1）

若X 的密度函数和分布函数分别为???<≥=-,0,0,

0,)(p x x e x x λλ

??

?<≥-=-,

0,0,

0,1)x (x x e F x λ则称为X 服从指数分布，记作X ～Exp （λ），其中参数λ>0。

（2）

背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间X （寿命）服从指数分布。 （3） 指数分布Exp （λ）的数学期望和方差分别是E(X)=

λ

1

,Var(X)=

21λ

。 （4）

指数分布的无记忆性：若X ～Exp （λ），则对任意s>0,t>0,有P （X>s+t|X>s ）=P(X>t)。

4、 伽玛分布

（1） 伽玛函数：称Γ（α）=

?

+∞

--0

1dx e x x α为伽玛函数，其中参数α>0。伽玛函数

具有如下性质：

① Γ（1）=1； ② Γ（1/2）=

π；

③ Γ（α+1）=αΓ（α）； ④ Γ（n+1）=n Γ（n ）=n ！（n 为自然数）。

（2） 伽玛分布：若X 的密度函数为??

???<≥Γ=--,0,0,

0,)()(p 1x x e x x x

λαααλ即称X 服从伽玛分

布，记作X ～Ga （α，λ），其中α>0为形状参数，λ>0为尺度参数。

（3） 背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇

到第k 次冲击时即告失效，则第k 次冲击来到的时间X （寿命）服从形状参数为k 的伽玛分布Ga （k ，λ）。 （4） 伽玛分布Ga （α，λ）的数学期望和方差分别为E （X ）=

λα，Var （X ）=2λ

α

。 （5） 伽玛分布的两个特例:

① α=1时的伽玛分布就是指数分布，即Ga （1，λ）= Exp （λ）。

② 称α=n/2，λ=1/2时的伽玛分布为自由度为n 的χ2（卡方）分布，记为χ

2

（n ），其密度函数为???

????≤>Γ=--,0,0,0,)2(21)(p 1222x x x e n x n x n ，χ2

（n ）分布的期

望和方差分别是E(X)=n ，Var （X ）=2n 。

（6） 若形状参数为整数k ，则伽玛变量可以表示成k 个独立同分布的指数变量之和，

即若X ～Ga （k ，λ），则X=X 1+X 2+···+X k 是相互独立且都服从指数分布Exp （λ），的随机变量。 5、 贝塔分布

(1) 贝塔函数:称B （a ，b ）=

?

---1

11)1(dx x x b a 为贝塔函数，其中参数a>0,b>0。贝塔

函数具有如下性质：①B （a ，b ）= B （b ，a ）；②B （a ，b ）=

)

()

()(b a b a +ΓΓΓ。

(2) 贝塔分布：若X 的密度函数为??

?

??<<-ΓΓ+Γ=--其他，,010,)1()()()()(11

x x x b a b a x p b a ， 则称X

服从贝塔分布，记作X ～Be （a ，b ），其中a>0,b>0都是形状参数。

(3) 背景：很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、射击的命中率等都是在区间

（0，1）上取值的随机变量，贝塔分布Be （a ，b ）可供描述这些随机变量之用。 (4) 贝塔分布Be （a ，b ）的数学期望和方差分别是b

a a

X E +=

)(，

)

1()()(ar 2

+++=

b a b a ab

X V (5) a=b=1时的贝塔分布就是区间（0,1）上的均匀分布，即Be （1,1）=U （0,1）。 6、常见连续分布表

密度函数p （x ）

期望

方差

正态分布),(2

σμN

2

2

2-x -e

21x p σμσ

）（π）（=

，

-∞

μ

2σ

均匀分布U （a ，b ）

??

???<<-=其他，，,0,1

)(p b x a a b x 2b

a + 12)(2

a b - 指数分布Exp （λ）

??

?<≥=-,

0,0,

0,)(p x x e x x λλ λ

1

2

1λ 伽玛分布Ga （α，λ）

??

???<≥Γ=--,0,0,0,)

()(p 1x x e x x x λαααλ λα

2λ

α χ2

（n ）分布

???

????≤>Γ=--,0,0,0,)

2(21)(p 1222x x x e n

x n

x n

n 2n

贝塔分布Be （a ，b ）

???

??<<-ΓΓ+Γ=--其他，,010,)1()()()()(11x x x b a b a x p b a b

a a

X E +=)(

)

1()()(ar 2

+++=

b a b a ab

X V 对数正态分布LN(μ，σ2

)

0,2)(ln exp 21

22>???

???--x x x σμσπx>0

22σμ+e

)1(2

2

2-+σσμe e

柯西分布Cau(μ, λ)

2

2

)

(1

μλλ

π-+x ,-∞

∞

不存在 不存在

韦布尔分布Wei （m ，η）

P （x ）

=F ’(x),

??

?

????

????

???

??--=m

x x F ηexp 1)(,x>0

??? ??

+Γm 11η

????????? ??+Γ-??? ?

?+Γm m 112122η

第六节 随机变量函数的分布

1、 设连续随机变量X 的密度函数为P X （x ），Y=g （X ）。

（1） 若y=g(x)严格单调，其反函数h （y ）有连续导函数，则Y=g （X ）的密度函数为

()[]()?

??<<=其他，,0,

,)y ('b y a y h y h P P X Y ，

其中a=min{g(-∞), g(+∞)},b=max{g(-∞), g(+∞)}。

（2） 若y=g(x)在不重叠的区间I 1,I 2，···上逐段严格单调，其反函数h 1（y ），h 2

（y ），···有连续导函数，则Y=g （X ）的密度函数为

∑=i

i i X Y y h y h P y P )())(()('。

2、 正态变量的线性变换仍为正态变量：若X 正态分布),(2σμN ，则当a ≠0时，有Y=aX+b ～N(a μ+b,a 2

σ2

)。

3、 对数正态分布

（1） 若X 的密度函数为??

???≤>??????--=,0,0,0,2)(ln exp 21)(22x x x x x P X σμσπ 则称X 服从对数正态分布，记为X ～LN(μ，σ2

)，其中-∞<μ<+∞，σ>0。

（2） 若X ～LN(μ，σ2

)，则E(X)=

2

2

σ

μ+

e

,Var （X ）=

)1(2

2

2-+σσμe e

（3） 若X ～LN(μ，σ2)，则 Y=ln X ～N(μ，σ2

)

4、 若X ～Ga （α，λ），则当k>0时，有Y= kX ～Ga （α，λ/k ）。

5、 若X 的分布函数F X (x)为严格单调增的连续函数，其反函数F -1

X (x)存在，则Y= F X (X)服

从（0,1）上的均匀分布U （0,1）。 第七节 分布的其他特征数 1、 k 阶矩

（1） 称μk =E(X k

)为X 的k 阶原点矩。一阶原点矩就是数学期望

（2） 称υk =E(X-E(X))k

为X 的k 阶中心矩。二阶中心距就是方差 （3） 前k 阶中心矩可用原点表示，如

υ1=0；υ2=μ2-μ12；υ3=μ3-3μ2μ1+2μ13；υ4=μ4-4μ3μ1+6μ2μ12-3μ14。

2、 变异系数：称比值()

X E X Var X C )

()(=

υ为X 的变异系数。变异系数是一个无量纲的量。

3、 分位数：设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），密度函数为p(x)。对任意p ∈（0.1），

（1） 称满足条件?

∞

-==

p

x p p dx x p x F )()(的p x 为此分布的p 分位数，又称下侧p 分

位数，它把密度函数下的面积一分为二，左侧面积恰好为p ；

（2） 称满足条件?

+∞

==

')()(-1'

p

x p

p dx x p x F 的'p x 为此分布的上侧p 分位数。

（3） 分位数与上侧分位数的转换公式：'p x =p x -1,p x ='

1p x -。

（4） 中位数：称p=0.5时的p 分位数5.0x 为此分布的中位数。即5.0x 满足

5.0)()(5

.05.0==?

∞

-x dx x p x F ；

（5） 若随机变量X 的密度函数p （x ）是偶函数，则此分布的p 分位数p x 满足：

p x =p x -1。

（6） 记标准正态分布的p 分位数p u 。因为标准正态分布函数是偶函数，所以

p u =-p u -1。

（7） 一般正态分布),(2σμN 的p 分位数p x 满足：p x =μ+σ×p u 。

（8） 分布的矩有可能不存在，但连续分布的分位数总存在。p 分位数p x 总是p 的增

函数。

4、 偏度系数

（1）称比值

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计知识点总结详细

概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计必考大题解题索引

概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )