第05讲 整数分拆
第五讲 整数分拆
整数分拆这一讲属于奥数七大重点专题——计数的基础；培养同学们有序思考问题的能力——思考问题时要按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
本讲涉及到三方面的内容：
1.与整数分拆相关的计数问题（这是本讲的重点）；
2.与整数分拆相关的应用题（如何分析题意把实际问题转化成数学问题）；
3.与整数分拆相关的最值（最大与最小）问题（数论中最值问题的基础）；
一、 与整数分拆相关的计数问题
数数计数最重要的是按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
超常123班学案一：将15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？
分析与答：本题相当于把15拆成4个互不相同的非0自然数相加，问有多少种不同的分拆方法？（注意不能有0，否则就不是4堆了）
15=1+2+3+9（注意拆分顺序：几个数由小到大排列或有大到小排列保证不重复）
=1+2+4+8（注意变化顺序：尽可能多的固定前面的数，变化最后两个数，并且按顺序依次调整，保证不遗漏）
=1+2+5+7（1、2开头的已经没有了，即变化后两个数已经调整不出来其他结果，再按顺序调整倒数第三个数）
=1+3+4+7
=1+3+5+6（只变化后三个数已经调整不出来了，最后再调整第一个数） =2+3+4+6
小结：本题不难，希望同学们通过本题理解整数分拆的枚举顺序。有序枚举，不重不漏。
例1：从1~12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同自然数之和。
分析与答：体会本题和上题的区别：上题没有给范围，而这道题要求数的范围在1~12之间。这时孩子们通常会有两种入手角度：
（1）26=1+2+11+12
（2）26=12+11+2+1
那么哪个角度拆分起来既容易且迅速呢？是第二种。方法一里26=1+后三个数，相当于把25分拆成后三个数的和，而方法而里26=12+后三个数，相当于把14分拆成后三个数的和，明显14较容易分拆一些。所以，一般地，如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。
26=12+11+2+1=12+10+3+1=12+9+4+1=12+9+3+2=12+8+5+1
=12+8+4+2=12+7+6+1=12+7+5+2=12+7+4+3=12+6+5+3 ——10种
=11+10+4+1=11+10+3+2=11+9+5+1=11+9+4+2=11+8+6+1
=11+8+5+2=11+8+4+3=11+7+6+2=11+7+5+3=11+6+5+4 ——10种
=10+9+6+1=10+9+5+2=10+9+4+3=10+8+7+1=10+8+6+2
=10+8+5+3=10+7+6+3=10+7+5+4 ——8种
=9+8+7+2=9+8+6+3=9+8+5+4=9+7+6+4 ——4种
=8+7+6+5 ——1种
共33种拆法
小结：一般地，如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。
例2：把70分拆成11个不同的非零自然数之和，这样的分拆方式一共有多少种？请将这些分拆方式一一写出。
分析与答：体会本题和以上例题的区别：这道题要求拆成11个不同的非0自然数，个数较多，而70的大小又有限，可以考虑最小的11个互不相同的非0自然数之和为：1+2+3+……+11=66，那么现在的任务是将剩下的70‐66=4分配到适当的加数上，并且还要满足这11个数互不相等。
4=4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1即4可以整体加到某一个数上，也可以分拆成1和3加到某两个数上，也可以分成1,1和2加到某三个数上……但要注意不同的构造方式可能会得到相同的结果。
把4整体加到某一个数上（只能加到后四个数之一，否则会重复）可以得到四个不同的结果：
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+15
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+14+11
=1+2+3+4+5+6+7+8+13+10+11
=1+2+3+4+5+6+7+12+9+10+11
将4拆成1+3，可以构造出一种不同的拆法
70=1+2+3+4+5+6+7+8+9+13+12
其他的方法构造出来的都与以上重复。故符合题意的分拆方式共5种。
小结：当分拆成的个数较多时，一般考虑最小的情况，然后把多出的补到适当的数上。
例3：100最多能写成多少个不同的非零自然数之和？
分析与答：整数分拆与最值的结合。希望加数的个数最多，和又有限，为100，就得让每个加数都尽量小，又要求是互不相同的自然数，易想到从1开始的连续自然数的连加：最小的14个互不相同的自然数之和1+2+3+……+14=105＞100，所以100不可能写成14个互不相同的自然数的和；1+2+3+……+13=91，100‐91=9，可以把多出的9补到某些数上，只要不出现重复即可，如：1+2+3+……+22=100。所以100最多能写成13个互不相同的自然数之和。
小结： 想说明100最多能写成13个互不相同的自然数之和：这属于一道构造与论证的基础题。应该从两方面说明：一方面：要论证 100不可能写成14个互不相同的自然数的和；另一方面：要构造一种把100写成13个互不相同的自然数之和的方案。
例3变式：100最多能写成多少个不同的非零自然数的平方之和？
分析与答：希望加数的个数最多，和又有限，为100，就得让每个加数
都尽量小，又要求是互不相同的自然数，易想到从1开始的连续自然数的平
方和的连加：22222212345691+++++=，22222221234567140++++++=
首先，最小的7个连续的平方数和超过100，说明100不可能表示成7
个连续自然数的平方和，那么6个能否办到呢？可以这样考虑：140‐100=40，
如果40是某个数的平方，那么在22222221234567++++++去掉40即可，但
40只能写成2226+，说明100最多只能写成5个互不相同的自然数的平方和。即
2222213457100++++=
补充题（类似学案4，把数字改小些）：将63表示为两个或两个以上的
连续自然数的和，共有多少种不同的方法？
分析与答：体会本题与以上题目的区别：本题不限定个数，但要求为连
续自然数之和，连续自然数，即公差为一的等差数列。当项数为奇数项是，
有中项定理：和=中间数×项数；当项数为偶数时，可以把中项定理理解成：
和=中间两数之和×对数（如1+2+3+4=（2+3）×2对）
本题可以采取“以平均数为中心，向两边递推的方法”。
63=1×63=3×21=7×9
1×63可以理解成1对63，即63=31+32
3×21可以理解成中间数是21，一共3个数：20,21,22
也可以理解成3对21, 即8,9,10,11,12,13
7×9可以理解成中间数为7，一共9个数：3,4,5,6,7,8,9,10,11
也可以理解成中间数为9，一共7个数：6,7,8,9,10,11,12
一共5组。
注：（1）本题很多孩子凭数感会找到一些，但找不全。
（2）3×21也可以理解成21对3，但中间数为1和2，前后各推10
个数，会出现负数，7×9也一样。
例6：求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数
的和，又可以表示为10个连续自然数的和，还可以表示为11个连续自然数
的和。
分析与答：9个连续自然数的和=中间数×9，即是9的整数倍；
10个连续自然数的和=（首项+末项）×10÷2=（首项+末项）×5，即是
5的整数倍；或者可以理解为中间两数之和
11个连续自然数的和=中间数×11，即是11的整数倍。
这个自然数既是5，又是9还是11的倍数，那么它应为5×9×11=495
的倍数（本质上是5、11、9的最小公倍数）可以采取“以平均数为中心，
向两边递推的方法”。
495÷10=49.5即45,46,47,48,49（49.5）50,51,52,53,54
495÷9=55，即51,52,53,54,55,56,57,58,59
495÷11=45，即40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50
二、 与整数分拆相关的应用题
一定要透彻分析题意，把实际问题转化成整数分拆问题。
例4：有3张扑克牌，牌面数字都是10以内的正整数（即非零自然数）。
把这三张牌洗好后，分发给小明，小亮，小光三人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌，发牌，记数，这样反复几次后，三人依次各记录的数字和依次为13,15,23.问：这三张牌得数字分别为多少？
分析与答：首先，要把实际问题转化成整数分拆问题。
遇到相对复杂的问题时可以自己举一些小例子来帮助分析理解题意。比如假设这这3张牌是1、2、3，假设游戏进行了两轮。
明 亮 光
第一轮：1 3 2
第二轮：2 1 3
两轮后数字和：3 4 5
我们分析到：所有人的数字和为3+4+5，所有人的数字和还可以表示成（1+2+3）×2，每一轮三个数字均出现一次，每轮的数字和就是三张牌得数字和，所有人的数字和可以用三张牌的数字和×轮数来表示。
那么我们再看原题虽然三张牌的数字和未知，轮数未知，但13+15+23=51 一定是三张牌的数字和×轮数，51=3×17，说明进行了3轮游戏，每一轮的数字和为17。
这样这道题就转化成整数分拆问题了：相当于17分拆成10以内（本题不够严密，按答案包括1+0）的自然数相加，数字可重复（因为扑克牌每个数字都有4张），找到合适的分拆方法，使分拆成的三个数字每个数字用三次（游戏进行三轮，每轮每个数字出现一次，所以每个数字共出现三次），恰好可以凑成13,15,23。
17=10+6+1=10+5+2=10+4+3=9+7+1=9+6+2=9+5+3=9+4+4=8+8+1=8+7+2
=8+6+3=8+5+4=7+7+3=7+6+4=7+5+5=6+6+5
共15组，但只有9+5+3满足要求：3+5+5=13,3+3+9=15,5+9+9=23。
例5：
（1）把7个相同的球放到3个相同的盒子里，有多少种方法？
（2）把7个相同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
（3）把7个相同的球放到7个相同的盒子里，有多少种方法？
（4）把7个不同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
超常123班学案3：把7个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放一个球，有多少种方法？
这几道题放到一块讲，希望同学们先仔细读题，体会它们之间的区别和联系。
（1）把7个相同的球放到3个相同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：相当于让我们把7分拆成不超过3个自然数（可以相同，
相当于某两个盒子装的个数一样多）问有多少种不同的分拆方法？
（注：拆成1个数相当于都放到1个盒子里，拆成2个数相当于分放
到2个盒子里，因为只有3个盒子，所以最多拆成3个数的和）
7=7
=1+6=2+5=3+4
=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3
共8种。
（3）把7个相同的球放到7个相同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：与上题类似，相当于让我们把7分拆成不超过7个自然数
（可以相同，相当于某两个盒子装的个数一样多）问有多少种不同的
分拆方法？
（注：最多拆成7个数的和，是因为有7个盒子）
7=7
=1+6=2+5=3+4
=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3
=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2
=1+1+1+1+3=1+1+1+2+2
=1+1+1+1+1+2
=1+1+1+1+1+1+1
共15种。
小结：以上2道题类型相同：相同的球放到相同的盒子，本质上就是
整数分拆，最多拆成的个数就是盒子的数目。
（2）把7个相同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：希望孩子们体会本题和上两题的不同之处：举个例子，对
于上两题而言，盒子是相同的，把7个球都放到某个盒子里是同一种方法，
对本题而言，盒子是不同的，把7个球都放到不同的盒子里是不同的方法。 先考虑把7个相同的球放到2个不同的盒子里，有多少种方法？
第一个盒子可以放0~7个球，共8种，当第一个盒子放好时，把剩余的放到
第二个盒子里，即第二个也相应放好了。所以共8种。
总结成公式：把N个相同的球放到2个不同的盒子里，有N+1种方法.
然后再 把7个相同的球放到3个不同的盒子的问题。
设三个盒子为A，B，C。考虑第一个盒子A，里面可能放0~7个球，所
以本题有8类情况，思路是把每种情况的个数都算出来，再相加。（这其实
就是我们今后要系统学习的加法原理）
当A里放0个球时，相当于把7个球放到B,C两个盒子里，有8种方法；
当A里放1个球时，相当于把6个球放到B,C两个盒子里，有7种方法；
当A里放2个球时，相当于把5个球放到B,C两个盒子里，有6种方法；
……
当A里放7个球时，相当于把0个球放到B,C两个盒子里，有1种方法；
所以，共8+7+6+5+4+3+2+1=36种不同的方法。
总结成公式：把N个相同的球放到个不同的盒子里，有（N+1）+N+……3+2+1
种方法.
小结：把N个相同的球放到2个不同的盒子里，有N+1种方法.
把N个相同的球放到个不同的盒子里，有（N+1）+N+……3+2+1种方法.
超常123班学案3：把7个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放一个球，有多少种方法？
分析与答：比较学案和例题的不同之处：多了一个条件而已：每个盘子至少放一个球，而刚才的题目相当于允许有盘子空着。学习数学应该培养的能力之一就是把遇到的问题和已经会解决的问题对比练习，把它转化成已经解决的问题。每个盘子至少放一个球，怎样才能转化成允许有盘子空着呢？
每个盘子提前分一个！这样相当于有7‐3=4个相同的球放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着，有多少种方法？（有不分的相当于实际分一个；
再分一个的相当于实际分得两个，等等）
有5+4+3+2+1=15种分法。
变式：把10个相同的球放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放两个球，有多少种方法？
分析与答：显然每个盘子提前分两个。还剩10‐2×3=4个。这样相当于有4个相同的球放到3个不同的盘子里，允许有盘子空着，有多少种方法？
有5+4+3+2+1=15种分法。
（4）把7个不同的球放到3个不同的盒子里，有多少种方法？
分析与答：本题要用到我们将来要学习的乘法原理，目前稍作了解即可，将来会系统的重点学习。完成这个任务分7步：先放第一个球，因为有3个不同的盒子，故有3中方法，再放第二个球，仍然有3种方法，每个球都有
3种方法，分步完成用乘法：3×3×3×3×3×3×3=73=2187种方法。本
小结：本系列题目可以看做是组合计数的启蒙，是我们四年级将要学习的非常重要的加法原理、乘法原理、排列、组合的基础。我们等到四年级后解决本类题目有更为巧妙更为简捷的方法。
三、 与整数分拆相关的最值问题
最值问题属于高年级数论模块的一个重点，本讲的例题是最值问题的基础题。
和一定，差小积大；差大积小。
积一定，差小和小；差大和大。
例7：（1）将12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？
分析与答：12=1+11 1×11=11
=2+10 2×10=20
=3+9 3×9=27
=4+8 4×8=32
=5+7 5×7=35
=6+6 6×6=36
从上往下看两个数的和一定（都是12），这两个数越接近，即它们的差距越小，乘积越大；反之，差距越大，乘积越小。简称为：
和一定，差小积大；差大积小。
补充题：比较大小：A=987654321×123456789，B=987654322×123456788
分析与答：两个数和一定987654321+123456789=987654322+123456788，987654321和123456789差距小，所以乘积大，即A＞B
例8：在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都填上一个加号或减号，组成一个算式。要求同时满足以下条件：（1）算式结果等于41；
（2）这个算式的所有减数（即前面填了减号的数）的乘积尽可能大。那么这些减数的最大乘积是多少？
分析与答：回顾上一讲整数分拆：可以用分组法求出减号组之和。
设填加号的数之和为A，填减号的数之和为B，则
A+B=10+9+8+……+2+1=55
A‐B=41
根据和差问题基本公式：B=（55‐41）÷2=7
即填减号的数之和为7，当这两数为3和4时，差距最小，乘积最大，为12.
补充小练：把32拆成三个自然数之和（可相同），要使这三个数乘积最大，应该怎么拆？
32÷3=10……2 32=10+11+11
小结：拆成多个数时，先除法，再把余数补上。
例7：（2）将144分拆成两个自然数的积，再求出这两个自然数的和，要使这个和最小，应该如何分拆？
分析与答：144=1×144 1+144=145
=2×72 2+72=74
=3×48 3+48=51
=4×36 4+36=40
=6×24 6+24=30
=8×18 8+18=26
=9×16 9+16=25
=12×12 12+12=24
从上往下看，两个数乘积一定（都是144），两个数越接近，即差距越小，和越小；反之，差距愈大，和愈大。简称为：
积一定，差小和小；差大和大。
补充题：（本讲超常班没有本类型的题，特此补充一下。）
（1） 把33拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大，应该怎么拆？
（2） 把32拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大，应该怎么
拆？
（3） 把31拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大，应该怎么拆？
分析与答：比较此题和刚才题目的不同之处：刚才的题目明确限定拆成数的个数，而此题要求拆成若干个，可以举一些简单的小例子，自己总结体会一下拆分原则。
（1）显然不能拆出+1，因为×1=数本身，造成浪费；
（2）不拆出4或4以上的数，比如拆出+6，不如换成+3+3，因为前者相当于×6，而后者相当于×3×3=×9，再如拆出+5，不如换成+3+2，因为前者相当于×5，而后者相当于×3×2=×6，4可以换成2+2，效果一样；
（3）综上，只拆2和3，那么2PK3谁赢了？6=2+2+2=3+3,而2×2×2=8,3×3=9，说明多拆3更有效。
总结一下拆分原则：多三少二，无其他
（1）33÷3=11,33=3+3+……3，共11个，此时乘积最大，为3×3×……×3=113；
（2）32÷3=10……2,33=3+3+……3+2，共10个3，一个2，此时乘积最大，为3×3×……×3×2=103×2；
（3）31÷3=10……1,因为不拆一，可以把一个3和1放到一起看做2+2，即33=3+3+……3+2，共9个3，两个2，此时乘积最大，为3×3×……×3×2=22×9
3
小结：把一个数拆成若干个不同自然数之和，要使这些数乘积最大的拆分原则是：多三少二，无其他。至于3和2的个数的判断，注意例题中第三类易错。
整数的分拆
第4讲整数的分拆 整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。 整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。 例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？ 分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。 我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。 所以最多可以播7天。 说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如： 5=1+1+1+1+1=1+1+1+2， =1+2+2 =1+1+3 =2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。 例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法？ 分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。 当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有 23=15+（2+2+2+2）， 23=15+（2+2+2+1+1），
第七讲 整数的分拆
第七讲整数的分拆 整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和 n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识. 一、整数分拆中的计数问题 例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？ 解：根据分拆的项数分别讨论如下： ①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式； ②把6分拆成两个自然数之和有3种方式 6=5+1=4+2=3+3； ③把6分拆成3个自然数之和有3种方式 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2； ④把6分拆成4个自然数之和有2种方式 6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1； ⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式 6=2+1+1＋1＋1； ⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式 6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有 1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法. 说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆. 例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？
解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律： 1994=1993+1=1＋1993 =1992+2=2＋1992 =… =998＋996=996+998 =997+997 因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和. 解法2：构造加法算式： 于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式. 说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中 例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法） 分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法. 解：构造加法算式
正整数拆分
回专题模式回学习阶段模式 【题目名称、来源】 正整数拆分（经典问题） 【问题描述】 输入自然数n，然后将n拆分为由若干个数相加的形式，参与加法运算的数可以重复。 输入：n 输出： 所有拆分方案 总的拆分数 例如： 输入：7 输出： 7=1+6 7=1+1+5 7=1+1+1+4 7=1+1+1+1+3 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 7=1+1+1+1+2+2 7=1+1+2+3 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+3+3 7=2+5 7=2+2+3 7=3+4 14 【所属专题】 递归、回溯 【适合学习阶段】 第一阶段、第二阶段 【解题思路】 问题分析：很明显这是一道关于数的组合的问题，我们考虑要形成和为n的一些书的组合要满足以下限制： 1、这一组数的和为n 2、每一组数的个数不固定 3、为了避免重复，我们可以让组合中的后一个数必须不小于前一个数。例如n=3时 1+2，2+1其实是同一种方案。 可以将待拆分的数表示成状态，拆去的数值当作规则，拆分的时候最小的数应不小于前一个数，设拆分过程为： Procedure chaifen(m,start,k);{m为待拆分的数，start为上一步拆掉的数，k为拆到第几步了} 这样拆分的过程可以用下图表示：
存储结构： Var a:array [1..100] of integer;{记录递归过程中待拆分数m} b:array[1..100] of integer;{记录拆去的数} 提高：如果本问题只要求出拆分总数则可以使用动态规划求解正整数n的拆分方案f(n)的递推式为： f(n)=f(n,1)+f(n,2)+…+f(n,n-1)+f(n,n) 【测试数据】 【源程序】 program chaifen; var a,b:array[1..100] of integer; {a:待拆分的数；b：被拆掉的数} n,count:integer; procedure chai(m,start,k:integer); {m:待拆分的数，start：上一颗被拆掉的数，k拆到第几个了} var i,j:integer; begin for i:=start to (m div 2) do begin a[k]:=m-i;b[k]:=i;{记录拆分方案} {打印} write(n,'='); for j:=1 to k do write(b[j],'+'); writeln(a[k]); count:=count+1; chai(a[k],i,k+1); end; end; begin assign(input,'chaifen.in'); reset(input); readln(n); close(input); assign(output,'chaifen.out');
小学奥数三年级第44讲整数的分拆例题
整数的分拆 整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题 。 所谓整数的分拆 ， 就是 把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便 一 。 是这个自然数的个分拆 核心思想：有序、全面 将 12 分 成三 不同的正整数相加之和 共 多少 不同的分 【例 1 】 ( ★★ ) 拆个 ， 拆 有种 方式，请把它们一一列出。 将 15 分拆成不大于 9 的三个不同的自然数【 0 除外】之和有多少种 【例 2 】 ( ★★★ ) 不同分拆方式，请一一列出。 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 【例 3 】 ( ★★★ ) 中取梨，每个 盘 子中分别装 有 1 个、 2 个、 3 个、 5 个、 6 个、 7 个和 9 个梨 . 她要从这些盘子中取出 15 个 梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿 ， 要么都不拿 。 共有多少种不同的拿法 ？ 1
100 这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？ 【例 4 】 ( ★★★ ) 电视台要播放一部 30 集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 【 拓展 】 ( ★★★ ) 不相等 ， 则该电视连续剧最多可以播几天 ？ ⑴两个非零自然数的和是 14 ，这两个数分别是多少时，它们的积 【例 5 】 ( ★★★★ ) 最大？最大是 多少 ？ ⑵两个自然数的积为 40 ， 这两个数分别为多少时，它们的和最小？ 最小为多少 ？ 这两个数分别为多时 ， 它们 的和最大 ， 最大是多 少？ ⑴将 10 分成若干个自然数的和 ( 允许有相同的 ) ，使得这些自然数 【例 6 】 ( ★★★★★ ) 的乘积达到最大 ， 这个乘积是什么 ？ ⑵将 10 分成若干个自然数的和 ( 不允许有相同的 ) ，使得这些自然 数的乘积达到最大 ， 这个乘积是什么 ？ ⑶将 13 分成若干个自然数的和 ( 不允许有相同的 ) ，使得这些自然 数的 积达 大 这 积是 么？ 乘到最， 个乘什 一、概念 【本讲总结】 整数的拆分： 把一个自然数 (0 除外 ) 拆分成几个自然数相加的形式 核 心 思想 ： 有序、全面 二 、 基本型 三、告知最大数 四、求加数的最多 数 个 五、拆成两个数 1 ．和一定，差小积大 2 ． 积 一 定 ， 差小和 小 六、拆成多个数，乘积最大 1 ． 相同 ： 多 3 ， 少 2 ， 无 1 2 ．不相同： 2
整数的分拆习题
【知识要点屋】 1．整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。 2．每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。 比如，①将10拆成2个数相加的形式有_____种方法。 ②将10块糖果分给2个小朋友有_____种方法。 乐乐和豆豆两人练习射击，他们每人打了两发子弹，均击中了靶子。乐乐两发共打了12环，豆豆两发共打了8环。已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？(靶子上只有2、4、6、8、10环) 杨老师和汪老师分20个苹果。请问： ⑴如果每个人最少分到5个苹果，一共有多少种不同的分法？ ⑵如果每个人最多分到16个苹果，一共有多少种不同的分法？ 豆豆有5瓶相同的可乐，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个。豆豆一共有____种不 整数的分拆 (★★) (★★★) (★★★★)
同的放法。过了几天，他又要把18个相同的雪碧放到另一个3层货架上，每层至少要放5个，这时有_____种不同的放法。 (★★★) 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？ 【铺垫】(★★★) 将6拆成几个数的和，这些自然数可以相同，那么，这些自然数的乘积最大是________。 (★★★★) 将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ 【超常大挑战】(★★★★) 两个自然数的和为20这两个数分别为_____和_____时，它们的乘积最大，最大是______。
【知识大总结】 整数的分拆 1．顺序：分拆时候，由大到小， ①拆成两个数时，无前后顺序之分， ②拆给两个人时，有前后顺序之分。 2．限定条件：拆偶数；至少有5个金币。 3．拆成多个数(积最大)：多拆3，少拆2，坚决不拆1。 4．拆成2个数：两数和一定，差小积大。 课后练习题 习题1：小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？
整数分拆例析五年级奥数
整数分拆例析五年级奥数 整数分拆例析五年级奥数 整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示 方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个 自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积最 大(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。下面举例作出剖析。 例1将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆? 分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有 1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算， 容易得知，将14分拆成7+7时，有最大积7×7=49。 例2将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆? 分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然 数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15 分拆成7+8时，有最大积7×8=56。 注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积m×m=m2;如 果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有最大积 m×(m+1)。 例3将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆? 分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是 0或1)，这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4×5×5=100。
例4将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆? 分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。 首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。 其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成 2与另一个自然数的和，这两个数的.积一定比原数大。比如5=2+3，但5比2×3=6小。 又因为4=2×2，因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。 注意到2+2+2=6，2×2×2=8;3+3=6，3×3=9.因此，分拆成的数 中如果有三个2，还不如换成两个3。这样可知，分拆成的数中至多 只能有两个2，其余都是3。 综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即 14=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的最大积3×3×3×3×2=162。 例5将1994分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同 的方法? 分析与解因1994=997×2=492+493+494+495，仅一种方法。所以，该题有唯一解。 例6将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的 方法? 分析与解由于35=5×7=7×5，因此35可以分拆成 2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有两种方法。
第六讲 整数拆分
整数分拆之分类与计数 整数的加法拆分 加法拆分定义： 把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3错误!未找到引用源。1错误!未找到引用源。2）， 或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。 加法拆分目的： 拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。 要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。 【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。他们每人打了两发子弹。小兵共打中6环，小军共打中5环。又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。你知道他俩打中的都是哪几环吗？ 例1图 【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。又已知没有哪两发子弹打在同一环中， 请你推算一下他俩打中的是哪几环？
巩固图 【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？ 【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？ 【巩固】按下面的要求，把自然数6进行拆分。 ⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ ⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ ⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？ 【例4】按下面的要求，把15进行拆分。 ⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。 ⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
9整数的分拆
第九讲整数的分拆 例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？ 解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3. 由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是： 小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环. 例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？ 解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆. 7=1+2+4 9=1+8 10=2+8 13=1+4+8 14=2+4+8 15=1+2+4+8 外星人可按以上方式付款. 例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.
解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8. 这样由8×5=40及200-40=160， 可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可. 最后得到下式：88+88+8+8+8=200. 例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和. 解：1=1×1=12=1（特例） 4=2×2=22=1+3 9=3×3=32=1+3+5 16=4×4=42=1+3+5+7 25=5×5=52=1+3+5+7+9 36=6×6=62=1+3+5+7+9+11 49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13 64=8×8=82 =1+3+5+7+9+11+13+15 81=9×9=92 =1+3+5+7+9+11+13+15+17 100=10×10=102 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19. 观察上述各式，可得出如下猜想： 一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积（平方）. 检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆 整数分拆 内容概述： 1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。 2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。 3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。 4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。 5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。 即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数 个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆： 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图 ，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)： ，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。 我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。 典型例题： 1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。 【分析与解】画出示意图 ，翻转得到 ，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。 2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。则该电视连续剧最多可以播出几天?
【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。 选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8 即最多可以播出7天。 3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子? 【分析与解】设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球。同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球。 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。 现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；
组合数学-第七节：整数的分拆
2.6 正整数的分拆 粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在2.7节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。 定义2.6.1正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥ （2.6.1） 的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤ i n 叫做该分拆的分部量。如果表达式（2.6.1）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为 一种表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。 例如：4211121112=++=++=++ 是4的所有3个有序3分拆。在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。 2.6.1 有序分拆 在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。 定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-?? 。 证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆：12k n n n n =+++ ，等价于方程：12k x x x n +++= 。 的正整数解()12,k n n n ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-?? 。 由定理 2.3.4和定理 2.6.1，正整数n 的有序k 分拆数等于多重集合{}12,,,k M a a a =∞?∞?∞? 的 12,k a a a 至少出现一次的n 组合数，均为11n k -?? ?-?? 。 定理2.6.2 （1）正整数n 的有序k 分拆，要求第i 个分部量大于等于i p ，其个数为： 1 11k i i n k p k =??+-- ? ? ?-?? ∑
组合数学-第七节：整数的分拆
正整数的分拆 粗略地说，正整数的分拆就是将一个正整数分成几个正整数的和。在本章的前几节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在节中我们将说明有一类分配问题就是“分拆问题”。分拆问题也是组合论的重要内容之一，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其一些最基本的性质，在节中再将本节的一些结果应用到一类分配问题。 定义正整数n 的一个k 分拆是把n 表示成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥ （） 的一种表示法，其中()01i n i k >≤≤ i n 叫做该分拆的分部量。如果表达式（）是无序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表示法都只视为一种 表示法，这样的分拆叫做无序分拆，或简称为分拆。反之，若表达式（）是有序的，即表达式（）右边的和不仅与各项的数值有关，而且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表示法，这样的分拆叫做有序分拆。这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。 例如：4211121112=++=++=++ 是4的所有3个有序3分拆。在4的第一个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。而：4211=++ 是4的唯一一个3分拆。 有序分拆 在这一小节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在几类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。 定理 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-?? 。 证明 正整数n 分成k 个分部量的一个有序分拆： 12k n n n n =+++，等价于方程： 12k x x x n +++=。 的正整数解()12 ,k n n n ，由节定理的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-?? 。 由定理和定理，正整数n 的有序k 分拆数等于多重集合{}12,,,k M a a a =∞?∞?∞?的12 ,k a a a 至少出 现一次的n 组合数，均为11n k -?? ?-?? 。
java实现(递归实现)正整数拆分算法
import java.io.File; import java.io.FileWriter; import java.io.IOException; import java.util.*; public class aa { public static int a=0 ; public static int Devide(int input, int base, int []pData, int index, FileWriter writer){ if(input<1||base<1) return 0; if(input==1||base==1) { if(input==1) { pData[index] = input; print(pData, index+1,writer); } else { for(int k=0; k 本系列共14讲 第七讲整数的分拆 . 文档贡献者：与你的缘 整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和 n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识. 一、整数分拆中的计数问题 例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？ 解：根据分拆的项数分别讨论如下： ①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式； ②把6分拆成两个自然数之和有3种方式 6=5+1=4+2=3+3； ③把6分拆成3个自然数之和有3种方式 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2； ④把6分拆成4个自然数之和有2种方式 6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1； ⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式 6=2+1+1＋1＋1； ⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式 6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有 1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法. 说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆. 例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？ 解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律： 1994=1993+1=1＋1993 =1992+2=2＋1992 =… =998＋996=996+998 =997+997 因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和. 解法2：构造加法算式： 于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式. 说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中 第八节 正整数的分拆问题 正整数的分拆问题是一个古老又有趣的问题，在各级各类数学竞赛中经常出现。这一节，我们介绍几个与正整数分拆有关的几个定理。 引例：试分别把9，10分拆成两个正整数的和，使它们的乘积最大。 解：用枚举归纳法可以验证： 当9=4+5时，乘积2054=?最大； 当10=5+5时，乘积2555=?最大。 这个例题启发我们得到如下的： 定理1、已知正整数S （>1），那么把Ｓ分拆为两个正整数ｍ与ｎ的和，使其积mn 为最大的条件是：或ｍ＝ｎ或ｍ－ｎ＝１（ｍ＞ｎ）。 证明：如果把Ｓ分拆为两个正整数ｍ与ｎ的和，但不满足ｍ＝ｎ，又不满足或 )(1n m n m >=-，那么必有ｍ>ｎ＋１，即m －n －1>0 此时mn n m mn n m >--+=+-)1()1)(1(，且正整数1-m 与1+n 的和仍为S ，这与已知mn 为最大相矛盾，故得证。 事实上，在具体分析时，当S 为偶数时，2 S n m ==; 当S 为奇数时，m ，n 分别为和 2 1 21-+S S 和 。 例１、试把1990分拆成正整数的和，使其乘积最大。 分析：仅使用定理1。可知要把1990分拆成8个正整数的和：8211990a a a +++= ，使其乘积821a a a ??? 最大，必须要使821,,,a a a 中的任意两数相等或相差1。 解：624881990+?=， 由上述分析，应拆成或2个248，6个249，其乘积62249248?为最大。 由例1可以得到下面的： 定理2、已知正整数),,0(,*N q p p r r q p S ∈<≤+?=，把S 分拆成p 个正整数的和，使其乘积M 最大。则)0(,)1(p r q q M r r p <≤+?=-。 例２、试把1988分拆为8个正整数821,,,a a a 的和，使!!!821a a a ??? 最小，（a a ???= 21!）。 分析：现先考虑：当1>-n m 时，m!n!与(m-1)!(n-1)!的大小。因m-n>1，即m>n+1 于是m!n!=(m-1)!!n m ?>(m-1)!(n+1)! 由此可得下面两个性质： 性质1、若m>n+1，则m!n!> (m-1)!(n+1)! 性质2、若正整数M 分拆为两个正整数m 与n 的和，则在乘积!!n m ?中，使其值为最小的条件是m=n 或m-n>1（m>n ）。 解：因1988=42488+? 所以应取2484321====a a a a ；2498765====a a a a 。 第9讲整数分拆 1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数． 2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P． 3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大． 4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数． 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1． 5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法． 即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2m－1个奇约数． 6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆： 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得 到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆． 1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆． 【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆． 2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等．则该电视连续剧最多可以播出几天? 【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少． 选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8 第一章小学数学解题方法解题技巧之整数的拆分 【不连续加数拆分】 例1 将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？ （1992年“我爱数学”邀请赛试题） 讲析：做成的长方形，长与宽的和是 144÷2=72（厘米）。 因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36， 所以，一共有36种不同的做法。 比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。 例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。 （1992年武汉市小学数学竞赛试题） 讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。 所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。 但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8，而3×3=9。 所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。 而1992÷3=664。故，这些自然数是664个3。 例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。 （1990年《小学生报》小学数学竞赛试题） 讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。 因为a×2=b÷2，则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。 那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。 又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。 则c、d可取的数组有： （40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。 由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7， 得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。 同理得出另外三组为：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。 所以，最多有4种分法。 【连续加数拆分】 例1 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种？ （第一届“新苗杯”小学数学竞赛试题） 讲析：因为945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）奇约数。 正整数的分拆是一个并不十分古老的问题，18世纪的莱布尼茨首先对其进行了研究，后来欧拉将它发展成一套较完整的分拆理论，从此以后对正整数的分拆问题引起了许多研究者的兴趣。如今正整数的分拆问题在平时的智力测验、数学竞赛以及一些招考考试的试题中，可以说是屡见不鲜，并且现在它也成了组合数学、数论以及图论研究的重要课题，近年来数学工作者在这方面已取得了丰硕的研究成果。 正整数的拆分过程就是将正整数n分解为若干个正整数的和，在不考虑求和顺序的情况下，一般假设n＝n1+n2+…+nk，n1≥n2≥…≥nk。而所谓正整数的连续拆分是指将n表示为两个或者多个连续的正整数之和。 是不是所有正整数n都能拆分成连续正整数的和呢?如果不是，哪些能拆分成连续正整数的和，哪些又不能拆分成连续正整数的和呢？ 在本文中用到的n，m，k，i这些量都是正整数。下面我们首先给出文中的一个引理。 引理：设正整数n恰有m个不同的正奇约数，那么n拆分成连续正整数的和，共有m种拆法。 定理1：如果正整数n（n>1）为奇数，则n必能拆分成连续自然数之和。 证明：由于n为奇数，则为整数，那么和 +1 是两个连续正整数，且有+（+1）=n。故结论成立。 定理2：若n为正偶数，并且它没有除1之外的正奇约数，则这样的n不能拆分成连续正整数之和。 即2i不能拆分成连续正整数之和。 证明：假设2i能拆分成连续正整数之和。不妨设第一个数为k，共有m个，则最后一个为是k+m-1，那么 ?m=2i， 即[（2k―1）+m]?m=2i+1。 由于2k-1为奇数，若m为偶数，则[（2k-1）+m]为奇数，那么这表明2i+1含有不为1的正奇因数，但这是不可能的。 若m为奇数，同上也是不可能的。 综上所述，2i不能分拆成连续的正整数之和。 定理3：除了形如2i之外的任何正偶数n，都可以拆分成连续自然数之和。 证明：因为除了形如2i之外的任何正偶数都至少有一个除1之外的正奇因数，故由引理知道这种正偶数n是可以拆分成连续自然数之和的。 例如，当n为20时，20可以表示为2+3+4+5 +6；当n为36时，36可表示为11+12+13。 定理4：设n是奇数k的倍数，即n=k?m，当m≥时，n总可分成k个连续的整数和，且最中间的一个自然数为m。 证明：设n＝k?m，给出m个数：m-( )，…，m-1，m，m+1，…，m+（）则它们的和为 ?k =k?m故结论得证。 例如，取n=45，则45＝7+8+9+10+11，9的两侧对称的有两个连续正整数。 正整数的无序分拆 这一篇主要来介绍有关无序分拆的计数问题。 比如，4 可以表示成如下形式： 4=4 4=3+1 4=2+2 4=2+1+1 4=1+1+1+1 因此，4 的无序分拆数就是5。那么，对于一个任意给定的正整数n，其无序分拆数是多少呢？ 下面我将用三个算法来分别解决这个问题。 算法一： 仔细观察上面4 的分拆，可以发现，对于一个分拆，由于是无序的，因此对这个分拆起决定作用的就是这个分拆中的最大数。那么这个最大数与正整数n 的无序分拆数之间有什么关系呢？ 设一个分拆中的最大数是m，那么对于n 的无序分拆，当最大数是m 时，分拆数就等于”n-m 的分拆数“。之所以要加一个引号，是因为并不是真正的n-m 的分拆数。因为对于n 来说，分拆的最大数是m，因此，n-m 的分拆中的最大数就不能超过m。 记F(n,m) 表示n 的分拆中最大数为m 的分拆个数，根据上面的分析，可以得到如下公式： 那么，n 的分拆总数F(n) 可以用如下公式计算： 初始条件：F(n,1)=F(n,n)=1。 算法二： 在算法一中，F(n,m) 表示n 的分拆中最大的数就是m，那么，我们能不能放宽一下限制呢？记F(n,m) 表示n 的分拆中最大的数不超过m。 (1) m=n：也就是n 的分拆中，最大数不超过n 的个数。当然，最大数为n 的分拆只有一个，也就是它自己。除了这一个之外，最大数就不可能为n 了，最多是n-1 而已。因此，求出n 的分拆中最大数是n-1 的分拆个数，再加上n=n 这一个分拆，就是F(n,n)。即F(n,n)=1+F(n,n-1)。 (2) n 数学知识点总结：数的拆分 整数拆分要点及解题技巧 整数拆分是小学数学数论模块的重要知识点，所谓整数拆分就是把把一个自然数（0除外）拆成几个大于0的自然数相加的形式，下面来为大家详细讲解有关整数拆分的要点和解题技巧。 一、概念：把一个自然数（0 除外）拆成几个大于 0 的自然数相加的形式。 二、类型----方法 1、基本型 2、造数型 3、求加数最多 方法：1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止，再补差 4、两数型 （1）和不变：差小积大，差大积小 （2）积不变：差大和大，差小和小 5、拆数型 积最大（1）允许相同：多 3 少 2 没有 1 （2）不允许相同：从 2 连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止 1)超几就去几 2）多 1 去 2，差 1 补尾 数学题及解析：裂项与拆分 有 40 枚棋子分别放入 8 个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子？ 考点：整数的裂项与拆分． 分析：要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有 1 个球，即 40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有 33 个球． 解答：解：因为要使每个盒子里都有棋子，那么每个盒子里面至少有1个球，而要使其中的一个盒子的球最多，则另外的7个盒子里面的球分别为1， 即 40=1+1+1+1+1+1+1+33，所以最多的盒子里面有 33 个 球．答：其中的一个盒子里，最多能有 33 枚棋子． 点评：关键是理解题意得出7个盒子里面的球分别为1，求出最多的盒子里面球的个数． 小学数学题型与解题思路：连续加数拆分 小学数学题型与解题思路：不连续加数拆分华罗庚学校数学教材(六年级下)第07讲 整数的分拆
8.正整数的分拆问题
小学奥数之第9讲-整数分拆
小学数学解题方法解题技巧之整数的拆分
例谈如何证明正整数的连续分拆问题
正整数的无序分拆
整数拆分