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11.1.2三角形的高、中线与角平分线导学案-2

11.1.2三角形的高、中线与角平分线导学案-2
11.1.2三角形的高、中线与角平分线导学案-2

11.1.2三角形的高、中线角平分线导学案 的边BC 上的高,则∠)三角形的三条高线所在的直线相交于(3)钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ;

ABC 的一边上的高,下列画法正确的是(知识点二:认识并会画三角形的中线,利用其解决相关问题

自学课本4页三角形的中线并完成下列各题:

、作出下列三角形三边上的中线

上的中线,则有BD = =21 A A

的角平分线,则∠BAD=∠ =

)三角形的三条角平分线相交于

)钝角三角形的三条角平分线相交三角形)直角三角形的三条角平分线相交三角形的;

,∠2 =∠3,

ABC的平分线为 .

§1.4.1。2角平分线(2)导学案

九年级先修课题:§1.4.1角平分线(2) 教学目标:1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。 重点:证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理 难点:证尺规作图 一、前置准备: 三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么? 二、讲授新课: 自主学习: 如图:设△ABC的角平分线BM、CN交于P,求证:P点在∠BAC的平分线上 定理:。引申:三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=。 对应练习: 1、已知:△ABC中,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且交于P,若P到边AB的距离为3cm,△ABC的周长为18cm,则△ABC的面积为。 2、到三角形三边距离相等的点是() A、三条中线的交点; B、三条高的交点; C、三条角平分线的交点; D、不能确定 三、合作交流; 例:△ABC中,AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E。 (1)已知:CD=4cm,求AC长 (2)求证:AB=AC+CD

三、应用深化 四、当堂训练: 1、到一个角的两边距离相等的点在 。 2、△ABC 中,∠C=900, ∠A 的平分线交BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D 到AB 的距离为 . 3、如下左图Rt △ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC ,DE ⊥BC 于E ,AB=8cm ,则DE+DC= cm 。 4、如上右图△ABC 中,∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。 5 、Rt △ABC 中,∠C=900,BD 平分∠ABC ,CD=n ,AB=m ,则△ABD 的面积是 。 课后训练: 1、已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD 是Rt △ABC 的角平分线。求证:BD=2CD 。 2、已知:OP 是∠MON 内的一条射线,AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ,且AC=AD ,求证:BE=BF 3、已知:如图,△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。 求证:点F 在∠DAE 的平分线上。 4、已知,如图,P 是∠AOB 的平分线上的一点,PC ⊥OA,PD ⊥OB ,垂足分别为C ,D 。 求证:(1)OC=OD (2)OP 是CD 的垂直平分线。 D A B C F D E A C O P D

三角形的高中线与角平分线练习题综述

43 2 1E D C B A 1 C D B 三角形的高、中线与角平分线1 1 如图,已知△ABC 中,AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R , PS ⊥AC 于S ,有以下三个结论:①AS=AR ;②QP ∥AR ; ③△BRP ≌△CSP ,其中( ). (A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正 确 2、 如图,点E 在BC 的延长线上,则下列条件中, 不能判定AB ∥CD 的是( ) A. ∠3=∠4 B.∠B=∠DCE C.∠1=∠2. D.∠D+∠DAB=180° 3.如图,ΔACB 中,∠ACB=900,∠1=∠B. (1)试说明 CD 是ΔABC 的高; (2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD 的长。 4 如图,直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E , 交BC 延长线于F ,若∠B =67°,∠ACB =74°, ∠AED =48°,求∠BDF 的度数 5、如图:∠1=∠2=∠3,完成说理过程并注明理由: 因为 ∠1=∠2 所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1=∠3 所以 ____∥____ ( ) 6.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A .2cm ,3cm ,5cm B .5cm ,6cm ,10cm C .1cm ,1cm ,3cm D .3cm ,4cm ,9cm

A.17 B.22 C.17或22 D.13 8.适合条件∠A=1 2∠B=1 3 ∠C的△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形9.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为() A.30° B.75° C.105° D.30°或75° 10.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°,这个多边形的边数是() A.5 B.6 C.7 D.8 11.三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定12.三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值范围是________. 13.如图,BD平分∠ABC,DA⊥AB,∠1=60°, ∠BDC=80°,求∠C的度数. 初一三角形的高、中线与角平分线2 1 如图,BC⊥CD,∠1=∠2=∠3,∠4=60°,∠5=∠6. (1)CO是△BCD的高吗?为什么? (2)∠5的度数是多少? (3)求四边形ABCD各内角的度数. 2.△ABC中,∠A=50°,∠B=60°,则∠A+∠C=________.

(完整word版)角平分线导学案.doc

角平分线导学案 一、探索性质 (一)自主学习 要求:先独立完成,后小组交流,采用一帮一互助作用,让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB 的角平分线,分条理,清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑,并分析出正确的理由。 3、借助你的作图,探索出角平分线的性质,并证明该性质定理的正确性,分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理,并证明,用几何语言表示该性质。 (二)小组展示 要求:全员参与,分工明确,讲解清楚,提升到位 (三)自主学习检测(口答 ) 1、 AD , AE 分别是 △ABC 中∠ BAC 的内角平分线和外角 平分线 ,它们有什么 位置关系 ? C E D B A 2、下列推理步骤是否正确 A E P O B F ∵OP 平分∠ AOB ∴PE=PF 3、已知: OP 平分∠ AOB PE⊥ OA,PF ⊥ OB, PE=3 求: PF A E P O B F 4、已知: AO 平分∠ BAC , OD⊥ BC , OE⊥AB ,垂足分别为D, E,且 OD=OE 。 求证: CO 平分∠ ACB 。 A E O B C D 小结:在运用角平分线性质和判定的过程中,两个条件缺一不可(*学生提升) 二、性质运用(巩固练习) 1、△ ABC 中,∠ B=90 °, AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,BC=10cm,CD=6cm, 则点 D 到 AC 的距离是。 2、点 P 在∠ AOB 的角平分线上,PE⊥ OA,PF ⊥ OB,且 PE+PF=8 ,则 PF=. 3、在 Rt △ABC 中,∠ C =90 °, AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D, BC=32,BD:CD=9:7, 则则点 D 到 AB 的距离是。 4、已知:在△ABC 中, AD 是∠ BAC 的平分线, BD=CD , DE ⊥AB , DF ⊥ AC ,垂足分别为点E, F。求证: EB=FC A E F B C D

(完整版)解析三角形中两条角平分线组成的角

解析三角形中两条角平分线组成的角 当同学们学完三角形的角平分线后,利用角平分线来解决相关几何题就应运而生。这儿作者只是给大家归纳了几种利用三角形两条角平分线组成的角的解析方法,以便大家在平时的作业时可简便计算。 一、三角形两内角角平分线组成的角: 如图,△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ,求∠BOC 的度数? 解:在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o 又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o -n o ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=21∠ABC+2 1∠ACB =2 1(∠ABC+∠ACB) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o -n o ) =90o -21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o -(∠OBC+∠OCB) =180o -(90o - 21 n o ) =180o -90o + 21 n o =90o +2 1 n o 即:∠BOC=90o +2 1 ∠A 通过上述解题过程不难发现,其实三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。 二、三角形两外角角平分线组成的角: 如图,△ABC 中 ∠A=n o ∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ,求∠BOC 的度数? 解:在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o C

又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o -n o ∵∠ABC+∠CBD=180o ∠ACB+∠BCE=180o ∴∠CBD+∠BCE=360o -(∠ABC+∠ACB) =360o -180o +n o =180o +n o ∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠CBD ∠OCB =2 1∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=21∠CBD+2 1∠BCE =2 1(∠CBD+∠BCE) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o +n o ) =90o +21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o -(∠OBC+∠OCB) =180o -(90o + 2 1 n o ) =180o -90o -2 1 n o =90o -2 1 n o 即:∠BOC=90o -21 ∠A 由此我们可发现三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。 三、三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角: 如图,△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ,求∠BOC 的度数? 解:∵∠ACD 为△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACD 的角平分线 ∴∠OBC=2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACD =21(∠A+∠ABC) A E

《角平分线的性质》导学案

《角平分线的性质》导学案 教学目标 :1. 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2. 理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题. 3. 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 :角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点. 性质定理和判定定理的区 别和灵活运用是难点. } 如图,AB =AD ,BC =DC , 沿着AC 画一条射线AE ,AE 就是∠BAD 的角平分线, 你知道 为什么吗 用直尺和圆规作角的平分线 已知:∠AOB 求作:射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法: 探究角平分线的性质 (1)实验:将∠AOB 对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察 两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知:如图,OC 平分∠AOB ,点P 在OC 上,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E 、 求证: PD=PE 几何书写 在Rt △ABC 中,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于E ,则: ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB =10,BC =8,AC =6, 求BE ,AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 |

在△ABC 中,AC ⊥BC ,AD 为∠BAC 的平分线,DE ⊥AB ,AB =7㎝,AC =3㎝,求BE 的长。 | 如图:在△ABC 中,∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,BD=DF ; 求证:CF=EB 反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知:如图,QD ⊥OA ,QE ⊥OB , ( 点D 、E 为垂足,QD =QE . 求证:点Q 在∠AOB 的平分线上. D ) B A C D ~ E B F

三角形角平分线专题讲解(精选.)

二由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试,但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B

上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1,∠∠,如取,并连接、,则有△≌△,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1. 如图 1-2,,平分∠,平分∠, 点E 在上,求证:。 分析:此题中就涉及到角平分线, 可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。 简证:在此题中可在长线段上截取,再证明,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2. 已知:如图 1-3,2,∠∠,,求证⊥ 图1-2 D B C

三角形的中线与角平分线

一.选择题(共10小题) 1.(2016秋?阿荣旗期末)三角形一边上的中线把原三角形分成两个()A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形 C.直角三角形D.周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等. 【解答】解:三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形. 故选:B. 【点评】考查了三角形的中线的概念.构造面积相等的两个三角形时,注意考虑三角形的中线. 2.(2016秋?大安市校级期中)如图所示,在△ABC中,D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,AE是哪个三角形的角平分线() A.△ABE B.△ADF C.△ABC D.△ABC,△ADF 【分析】根据三角形的角平分线的定义得出. 【解答】解:∵∠2=∠3, ∴AE是△ADF的角平分线; ∵∠1=∠2=∠3=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4,即∠BAE=∠CAE, ∴AE是△ABC的角平分线. 故选D. 【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段. 3.(2016春?蓝田县期中)如图,AE是△ABC的中线,D是BE上一点,若EC=6,DE=2,则BD的长为()

A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6,再根据BD=BE﹣DE即可求解.【解答】解:∵AE是△ABC的中线,EC=6, ∴BE=EC=6, ∵DE=2, ∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4. 故选D. 【点评】本题考查了三角形的中线的定义,是基础题,准确识图并熟记中线的定义是解题的关键. 4.(2017?泰州)三角形的重心是() A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平行线的交点 【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答. 【解答】解:三角形的重心是三条中线的交点, 故选:A. 【点评】本题考查了三角形重心的定义.掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键. 5.(2017?诸暨市模拟)已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,则点P叫做△ABC的()

12.3角平分线的性质 精品导学案 新人教版9

c 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 一.学习目标 1.学会角平分线的画法;会用角平分线的性质和判定解决相关问题。 2.在学习过程中,培养动手能力和推理归纳能力 3.在自主学习过程中,体验获取知识的成就感和正反看问题的辩证思想。 二.学习重难点 角平分线的性质、判断及应用。 三.学习过程 第一课时 角平分线的画法及性质 (一)构建新知 1.阅读教材48~49页 (1)如图,已知∠AOB ,求作∠AOB 的平分线。 (2)在角平分线上任取一点P ,作AO 和BO 的 垂线PE 和PF ,交AO 和BO 于E ,F 。 (3)我们发现角平分线上的点到角两边的________相等。 (二)合作学习 1.如图,要在S 区建一个集贸市场,使它到铁路和公路的距离相等,并离铁路和公路的交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(在图上标出其位置,比例尺1:20000)? (三)课堂检查

1.如图,线a,b,c是三条公路,现要建一个货物中转站,要 求到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()处。 A.1 B.2 C.3 D.4 2. 已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,PD=10,则PE的长度为___________。 3. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的 一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为________。 4. 如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是 射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最 小值为_______。 5. 如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥ AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4, 则AC长是()。 A.3 B.4 C.6 D.5 6. 已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF。 (四)学习评价 (五)课后作业 1.学习指要23~24页 2.教材43~44页 1题,2题,4题,5题

三角形的高、中线与角平分线(全国优质课一等奖)

2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题:§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材:人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65~66页 授课教师:临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用: 学生已学习了角的平分线,线段的中点,垂线和三角形的有关概念及边的性质等,本节课在此基础上进一步认识三角形,为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔.本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段,已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础,其中三角形的高学生从小学起已开始接触,教材从学生已有认知出发,从高入手,利用图形,给高作了具体定义,使学生了解三角形的高为线段,进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线. 通过本节内容学习,可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别.另外,本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础.故学好本节内容是十分必要的. 2、教学重点: 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”,并理解它们概念的含义、联系和区别.3、教学难点: 在钝角三角形中作高. 4、教学关键: 运用好数形结合的思想,特别是研究三角形的角平分线、中线、高时,从折叠、度量入手,获得三种线段的直观形象,以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析,结合学生已有的认知水平的年龄特征,制定本节如下的教学目标: (1)知识与技能目标:通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程,认识三角形的高线、角平分线、中线;会画出任意三角形的高线、角平分线、中线,通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点. (2)过程与方法目标:经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念,推理能力及创新精神.学会用数学知识解决实际问题能力,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力.(3)情感与态度目标:通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心. [学情分析] 七年级的孩子思维活跃,模仿能力强,对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力,在老师的指导下,能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响,他们知识迁移能力不强,推理能力还需进一步培养. [教学过程] 本节课按照“创设情境,引入新课”——“合作交流,探求新知”——“拓展创新,挑战自我”——“课堂小结,感悟反思”——“走出课堂,应用数学”的流程展开.

三角形中线与角平分线专题(二)

.. 三角形中线与角平分线专题(二) 1、三角形外角平分线的四个经典结论: 结论一:三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1,BP 平分∠ABC ,CP 平分∠ACB ,求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二:三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系. 已知如图2,BP 平分外角CBE ∠,CP 平分外角BCF ∠,求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三:三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图,BP 平分ABC ∠,CP 平分外角ACD ∠,求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四:结论三延伸 如图,CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和,连结EA ,则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C

.. 应用举例: 例1:在四边形ABCD 中,?=∠120D ,?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交 与点E ,试求BEC ∠的度数. 例2:在ABC ?中,三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?,试判断DEF ?的形 状. 例3:如图3,在ABC ?中,延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点, BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点,以此类推,若?=∠96A ,则=∠5A , =∠n A . 图三 图四 例4:点M 是ABC ?两个角的平分线的交点,点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点, 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2,那么=∠CAB 例5:( 2011年省是中考题)△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于 点P ,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______.

角平分线导学案

a 角平分线导学案 一、探索性质 (一)自主学习 要求:先独立完成,后小组交流,采用一帮一互助作用,让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB的角平分线,分条理,清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑,并分析出正确的理由。 3、借助你的作图,探索出角平分线的性质,并证明该性质定理的正确性,分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理,并证明,用几何语言表示该性质。 (二)小组展示 要求:全员参与,分工明确,讲解清楚,提升到位 (三)自主学习检测(口答) 1、AD,AE分别是 2、下列推理步骤是否正确 3、已知:OP平分∠AOB △ABC中∠BAC的 PE⊥OA,PF⊥OB, PE=3内角平分线和外角 平分线,它们有什么 位置关系 ∵OP平分∠AOB ∴PE=PF 4、已知:AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D,E,且OD=OE。 求证:CO平分∠ACB。 小结:在运用角平分线性质和判定的过程中,两个条件缺一不可(*学生提升) 二、性质运用(巩固练习) 1、△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BC=10cm,CD=6cm,则点D到AC 的距离是。 2、点P在∠AOB的角平分线上,PE⊥OA,PF⊥OB,且PE+PF=8,则PF= . 3、在Rt△ABC中,∠C =90°,AD平分∠BAC交BC于点D, BC=32,BD:CD=9:7,则则点D到AB的距离是。 4、已知:在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为点E,F。求证:EB=FC

5、.已知:∠C=90°,∠B=30°,AD是Rt△ABC的角平分线。求证:BD=2CD。 第5题 6、若∠1=∠2,则S△ABD︰S△CAD= 7、如图:∠BOC=∠AOC,OA=OB,PE⊥AC,PF⊥ 8、已知:P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D。求证:(1)OC=OD(2)OP是CD的垂直平分线。 组内解决1-5题,全班解决6-8,第6题要注意与相似比的区别,7、8注意训练学生从问题入手的推理能力 三、小结 1、本节课,主要学习的内容有什么? 2、在运用角平分线性质及运用时,应该注意到什么问题? 3、解决几何问题时,分析思路是什么? 4、你还有哪些疑惑? 四、课堂检测 在△ABC中,∠C=90°,AB=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB, 垂足分别为点E。 (1)如果CD=4,求AC (2)求证:AB=AC+CD

1.4 角平分线 导学案

1.4角平分线(一) 一、学习准备: 角平分线的定义:_______________________ ______ 。 二、学习目标: 1、掌握角平分线的性质及判定定理和它们的证明, 2、能熟练地运用定理解决实际问题。 三、学习提示:阅读P28~29完成下列任务: 1,自主探究: 还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?你能证明它吗? 已知:OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E 。 求证:PD=PE 得到定理: 。 练习:如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,∠B=90°,DF ⊥AC ,垂足为F ,DE=DC , 求证:BE=CF [分析]要证BE=CF ,只需证△BDE ≌△FDC 2. 合作探究: 问题2:你能写出这个定理的逆命题?它是真命题吗?如果是,你作证明它? 已知:如图,点P 在射线OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,且PD=PE 。 求证:OC 是∠AOB 的角平分线 得到定理 。 O D A P E C O D A P E B C

3、自学:P29例1 4、练习:1、P29随堂练习1、2 四、学习小结:你有哪些收获 五、夯实基础 1、在RT △ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ,DE 是是斜边AB 的垂直平分线,且DE=1CM ,则AC=_________. 2、如图所示,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,垂足为E ,DF ⊥AC ,垂足为F , 则下列结论不正确的是( ) A 、△AEG ≌△AFG B 、△AED ≌△AFD C 、△DEG ≌△DFG D 、△BD E ≌△CDF 3、△ABC 中, ∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ,连结AO ,若∠OBC=25°, ∠OCB=30°,则∠OAC=_____________° 4、∠AOB 的平分线上一点M ,M 到OA 的距离为2CM ,则M 到OB 的距离为____________。 15、已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E ,F 。求证:EB=FC 六、能力提升 1、如右图,已知BE ⊥AC 于E ,CF ⊥AB 于F ,BE 、CF 相交于点D ,若BD =CD .求证:AD 平分∠BAC . 作业:P30习题1.9—3、4 C A B F E D

三角形角平分线部分经典题型

1.如图1所示,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,AD=2 cm,则点D到BC的距离为________cm. 图1图2 2.如图2所示,在RtΔABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于D,若CD=n,AB=m,则ΔABD的面积是() A .mn 3 1 B. mn 2 1 C.mn D.2mn 3.如图,在△ABC中,∠C=900,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于D,且DC∶ DB=3∶5,则点D到AB的距离是。 4.如图,已知BD是∠ABC的角平分线,CD是∠ACB的外角平分线,由D出发,作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG,垂足分别为E、F、G,则DE、DF、DG的关系是。 5.如图,已知AB∥CD,O为∠A、∠C的角平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2, 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线,自D向AB、AC两边作垂线,垂足为E、F,那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的() A.三条中线的交点B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点 8.已知△ABC中,∠A=80°,∠B和∠C的角平分线交于O点,则∠BOC= 。 9.如图,已知相交直线AB和CD,及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点,方法是,这样的点至少有个,最多有个。 3题图 D C B A z .. ..

z .. .. D C B A 10.如图所示,已知△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB ,交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图,AB //CD ,CE 平分∠ACD ,若∠1=250 ,那么∠2的度数是 . 12.如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B .下列结论中不一定成立的是( ) A .PA PB = B .PO 平分APB ∠ C .OA OB = D .AB 垂直平分OP 13.如图,已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD?相等吗?说明理由. 14、如图所示,已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线,∠C =90° 求证:AB =AC +CD . 15、如图,在四边形ABCD 中,BC>BA ,AD=DC,BD 平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180° 16、如图,∠ACB=90°,AC=BC ,BE ⊥CE ,AD ⊥CE. 求证:△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E

角平分线的判定课堂实录与点评

《角平分线的判定》课堂实录 【教学目标】: 1.知识与技能 ●掌握关于角平分线的两个重要结论。 2.过程与方法 ●让学生通过自主探索、实验领会和感悟关于角平分线判定的重要定理,并体 会感性认知与理性认识之间的联系与区别。 3.情感、态度与价值观 ●通过认识的升华。使学生进一步理解数学,也使数学进一步走向学生,使学 生关注数学,热爱数学。 【教学重难点】 ●重点:理解并会证明角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ●难点:到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上这一结论的证明以及关 于角平分线的两个重要结论的应用。 【教学用具】 三角尺课件导学案 【教学设计思路】 1.本节课采用“成功教育+先学后交(教)当堂测评”的课堂模式,指导学生归纳和总结解决几何问题的一般规律和方法。 2.本节课主要是证明角平分线的判定定理,并熟练运用角平分线的性质和判定 综合来解决几何问题。 【教学过程】 一.复习导入,引入新知: 师:上课! 生:老师好! 师:同学们好,上一课,我们学习了角平分线的性质,让我们先复习一下。请同学们告诉我“角平分线的性质”是怎样的? 生:(全班同学齐刷刷举起手。) 师:请李某回答。 生: 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 师:回答得非常准确。那么它用数学符号语言怎样表示呢? (出示课件中角平分线的性质所构造的图形) 生:(学生积极举手) 师: 请张某回答。 生:因为OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,所以PE=PF (教师立即在黑板上板书过程) 师:请问各位同学,张某的叙述有问题吗? 生:没有。(学生异口同声地回答) 师: 在这个叙述中,应格外注意条件部分要满足角平分线,垂直,结论部分才会有两条垂线段相等。 【点评】:通过复习,帮助学生回顾角平分线性质,为本节学习角平分线的判定做好铺垫,并从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系, 培养学生梳理知识体系的习惯。

角平分线判定导学案

和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人:12.3 角平分线性质导学案 温馨寄语:朝霞般美好的理想,在向你们召唤,你们是一滴一滴的水,全将活跃在祖国的大海里. 一.学习目标: 1、掌握角平分线的判定方法。 2、能够利用角平分线的性质和判定定进行推理和计算。 二.重点与难点 1、角的平分线的判定的证明及运用。5 2、灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。 三、学习过程 知识链接 角的平分线的性质是:角平分线上的到角两边的相等。 合作探究 阅读教材第49页(关键处、疑难处做好标记).独立思考解决以下问题: 角平分线上的到角两边的相等。那么反过来,到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢?你能利用三角形全等来证明吗?请试一试。 求证:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。(提示:先画图,并写出已知、求证,再加以证明) 角的平分线的判定定理;角的内部到角两边的距离的点在 上。 用数学语言表示为: ∵,, ∴

和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人: 四、合作探究 1、要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20000)? 2、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等。 证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上. ∴ 同理PE=PF. ∴ 即点P到三边AB、BC、CA的距离

3、比较角平分线的性质与判定 和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人: 五、课堂跟踪 1、如图所示,C为∠DAB内一点,CD⊥AD于D,CB⊥AB于B,且CD=CB,则点C在_____.. 2、如图,AD平分∠BAC,DB⊥AB,若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件______.. 3、如图所示,DB⊥AB,DC⊥AC,BD=DC,∠BAC=80°,则∠BAD=__________. 第1题第2题第3题 4、到三角形三边距离相等的点是()

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 (1)在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE,使OD=OE. (2)分别以D、E为圆心,以大于1/2DE长为半径画弧,两弧交于∠AOB 内一点C. (3)作射线OC,则OC为∠AOB的平分线(如图) 指出:(1)作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. (2)角的平分线是一条射线,不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出:(1)这里的距离是指点到角两边垂线段的长. (2)该结论的证明是通过三角形全等得到的,它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. (3)使用该结论的前提条件是有角的平分线,关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出:(1)此结论是角平分线的判定,它与角平分线的性质是互逆的. (2)此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等,那么

过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点,且这点到三角形三边的距离相等. 指出:(1)该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点在第三线上. (2)该结论多应用于几何作图,特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示,四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD.求证:△ABE≌△ADF. 例2、如图所示,BE、CF是△ABC的高,BE、CF相交于O,且OA平分∠BAC.求证:OB=OC. 例3、如图,D为BC的中点,DE⊥DF,E、F分别在AB、AC边上,则BE+CF ()

三角形中线与角平分线专题(二)

三角形中线与角平分线专题(二) 1、三角形外角平分线的四个经典结论: 结论一:三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1,BP 平分∠ABC ,CP 平分∠ACB ,求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二:三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系. 已知如图2,BP 平分外角CBE ∠,CP 平分外角BCF ∠,求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三:三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图,BP 平分ABC ∠,CP 平分外角ACD ∠,求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四:结论三延伸 如图,CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和,连结EA ,则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C

应用举例: 例1:在四边形ABCD 中,?=∠120D ,?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ,试求BEC ∠的度数. 例2:在ABC ?中,三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?,试判断DEF ?的形状. 例3:如图3,在ABC ?中,延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点,BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点,以此类推,若?=∠96A ,则=∠5A ,=∠n A . 图三 图四 例4:点M 是ABC ?两个角的平分线的交点,点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点, 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2,那么=∠CAB 例5:( 2011年省是中考题)△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______.

角平分线的性质导学案

角平分线的性质(1)导学案 学习目标: 1.会用尺规作图作角平分线。 2.探究理解角平分线的性质并会应用。 一、自主学习 角平分线:从一个的顶点引出一条,把这个角分成两个的角,这条叫做这个角的角平分线。 二、探究活动 活动1: 不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法? 活动2: 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢? 你能用三角形全等的知识说明角平分仪的工作原理吗? 活动3: 如何用尺规作角的平分线? 探究验证: 1.操作测量:在上图的角平分线oc上取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,PE ⊥ 3.得出结论: 证明结论: 已知: 求证: 证明: 活动4: 师生共同总结证明命题的步骤A D O B E P C O A C B

三、例题讲解: 例:在△OAB 中,OE 是∠ AOB 的角平分线,且EA=EB ,EC 、ED 分别垂直OA ,OB ,垂足为C ,D ,求证:AC=BD 。 四、课堂达标: 1.如图,OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D 、E,PD=4cm,则PE=__________cm. 2.如图,OC 平分∠AOB , PM ⊥OB 于点M ,PN ⊥OA 于点N , △POM 的面积为6,OM=6,则PN=_______。 3:如图,在△ABC 中,∠C =900,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,若BC =8,BD =5,则点D 到AB 的距离为? O A B E C D A D O B E P C A C B A B M N P C

《12.3角平分线的性质定理2》导学案

另一个外角的平分线上? C P N M

课堂总结1、谈一谈本节课有哪些收获? 2、本节课是否还有疑惑的地方? 作业一、整理好导学案和数学笔记。 二、A基础题 1、如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC,交AB 于E,则下列结论一定正确的是() A.AE=BE B.DB=DE C.AE=BD D.∠BCE=∠ACE 2、如图,△ABC中,点O是△ABC内一点,点O到△ABC三边的距离相等,∠A=40°, 则∠BOC=() A.110° B.120° C.130° D.140° B提高题 1、如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。 求证:AD是△ABC的角平分线。 变式:如上题,△ABC,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E、F,有下列四个结论: ①DA平分∠EDF;②AE=AF;③AD上的点到B、C两点的距离相等;④到AE,AF 距离相等的点到DE、DF的距离也相等. 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ADC ∠ 2、已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC。 (1)若连接AM,则AM是否平分BAD ∠?请你证明你的结论。 (2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由。 课后反思 2 1 3 4 D C M B A

2、到三角形三边的距离相等的点是三角形() A.三条边上的高线的交点; B. 三个内角的平分线的交点; C.三条边上的中线的交点; D.以上结论都不对。 3、如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,则∠AOQ=° 4、如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE⊥AB于D,且EC=ED,∠EBC= ° 5、已知:CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC, 求证:∠BAO=∠CAO

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

解三角形题目的思考 文科:在△ABC 中,D 是BC 的中点,若AB=4,AC=1,∠BAC=60°,则AD=_______; 理科:在△ABC 中,D 在BC 上,AD 平分∠BAC ,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°,则AD=_______; 常规解法及题根: (15年新课标2理科)?ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1,D C = 22求BD 和AC 的长. (15年新课标2文科)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . (I )求sin sin B C ∠∠ ; (II )若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论:角平分线性质: (1)平分角 (2)到角两边距离相等 (3)线段成比率 中点性质与结论: (1)平分线段; (2)向量结论; (3)两个小三角形面积相等。 题目解法搜集: 解法1(方程思想):两边及夹角,利用余弦定理求第三边,然后在小三角形中求解; 在△ABC 中,D 在BC 上,AD 平分∠BAC ,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°,则AD=_______; 解:在△ABC 中,222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ,则7 因为AD 平分∠BAC ,则AB BD AC DC = ,所以BD=37,DC=7; 在△ABD 中,设AD=x ,利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?,解得x= 933344。 若在△ADC 中,设AC=m ,则273=1216x x +-,解得x=333。

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