九年级下册数学知识点归纳总结

第二十六章 反比例函数

知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x

k

y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；

⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x

k

y =

（0k ≠）， ②1

kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）；

⑸函数x

k

y =

（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，

x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x

k

y =，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x

k

y =

（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值

0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但

永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

反比例函数

x

k

y =

（0k ≠） k 的符号 0k > 0k <

图像

性质

①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是

0y ≠

②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①

x 的取值范围是

0x ≠，y 的取值范围是

0y ≠

②当0k

<时，函数

图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当

0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。如x

k

y =在第一、第三象限，则可知0k >。

☆反比例函数x

k

y =

（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义。 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为 垂足，则OEPF S PE PF y x xy 矩形=?=?==k

☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x

k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线x

k

y =

越靠近坐标原点。 ☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x 。 习题

1．下列函数中，不是反比例函数的是( ) A ．y ＝－3x B ．y ＝－32x C ．y ＝1

x －1

D ．3xy ＝2

2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝k x

(k ≠0)的图象上，则k 的值是( ) A ．－1

4

C ．4

D ．－4

3．若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点，

则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

4．已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是

（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

5．当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝a x

在同一坐标系中的图象可能是( )

6．如图26-1-10，直线x ＝t (t >0)与反比例函数y ＝2x ，y ＝－1

x

的图象分别交于B ，C 两

点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为( )

图26-1-10

A ．3 t D ．不能确定

7．已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，

这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而______ （填“增大”或“减小”）．

8．若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，

k=________，它们的另一个交点为________．

已知函数

是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________ ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．

9．如图26-1-9，直线y ＝2x －6与反比例函数y ＝k

x

(x >0)的图象交于点A (4,2)，与x 轴交于点B .

(1)求k 的值及点B 的坐标；

(2)在x 轴上是否存在点C ，使得AC ＝AB 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

图26-1-9

10．如图在Rt△ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，

AB ⊥x 轴于B 且S△ABO=．

①求这两个函数的解析式；

②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

第二十七章相似

图形的相似

概述

如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：∽）

判定

如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

相似比

相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时，相似的两个图形全等。 性质

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。

比例线段有关概念及性质

1、比和比例的有关概念：

（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.

（2）第四比例项：若

a c

b d =或a:b=c:d ，那么d 叫作a 、b 、

c 的第四比例项. （3）比例中项：若a b

b c

=或a:b=b:c ，b 叫作a ，c 的比例中项.

（4）黄金分割：把一条线段（AB ）分割成两条线段，使其中较长线段（AC ）是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB ·BC ，

AC=

51

0.6182

AB AB -≈；一条线段的黄金分割点有两个. 2.比例的基本性质及定理

（1）

a c

ad bc b d =→= （2）a c a b c d b d b d ±±=→=

（3）(b d n 0)a c m a c m a

b d n b d n b

+++===+++≠→

=++

+ 3.平行线分线段成比例定理

(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；

(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；

(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

4.相似三角形.

相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形

相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．

相似三角形

定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；判定

1.两个三角形的两个角对应相等

2.两边对应成比例,且夹角相等

3.三边对应成比例

4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

直角三角形相似判定定理:

○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

性质

1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

补充一：直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD2=AD·BD，

AC2=AD·AB，

BC2=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

补充二：三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

位似

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质

位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

位似多边形的对应边平行或共线。

位似可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

注意

1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

2、两个位似图形的位似中心只有一个；

3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；

5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

习题

1、已知

5

13

b

a

=

，则

a b

a b

-

+的值是（）

A．

2

3 B．

3

2C．

9

4 D．

4

9

2、如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF 的长是( )

A、1

3

B、

2

3

C、

3

4

D、

4

5第7题图

F

3、如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE

B

E

C

D

A

B

4、已知△ABC∽△DEF,ABC

?与DEF

?的相似比为4:1，则ABC

?与DEF

?对应边上的高之比为 .

5、将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．

6、在?ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．

7、如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G．

（1）求证：△ADE≌△CFE；

（2）若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．

8、如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形.其中线段BD 交AC于点G，线段AE交CD于点F.

求证：（1）△ACE≌△BCD；

（2）

AG AF

GC FE

=.

9、如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED ⊥AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC ＝PG.

(1)求证：PC 是⊙O 的切线；

(2)当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G 是BC 的中点

（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=46，求BG 的长．

第二十八章 锐角三角函数

一、锐角三角函数的定义

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b

正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝a

c

余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b

c

正切：tanA ＝∠A 的对边∠A的邻边＝a

b

二、特殊角的三角函数值

αsinαcosαtanα

30°1

2

3

2

3

3

45°

2

2

2

2

1

60°

3

2

1

2

3

三、解直角三角形

解直角三角形的常用关系

在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：

(1)三边关系：a2＋b2＝c2；

(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边与角关系：sinA＝cos B＝a

c

，cos A＝sinB＝

b

c

，tanA＝

a

b

；

(4)sin2A＋cos2A＝1

四、解直角三角形的应用常用知识

1. 仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角

2.坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα

坡度越大，α角越大，坡面________

3.方向角(或方位角)

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

习题

解直角三角形

聚焦考点☆温习理解 一、锐角三角函数的定义

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b

正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝a

c

余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b

c

余切：tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a

b

二、特殊角的三角函数值

α

sin α

cos α tan α

30°

12 32 33

45°

22 22

1

60°

32

12

3

三、解直角三角形 解直角三角形的常用关系

在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：

(1)三边关系：a2＋b2＝c2；

(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边与角关系：sinA＝cos B＝a

c

，cos A＝sinB＝

b

c

，tanA＝

a

b

；

(4)sin2A＋cos2A＝1

四、解直角三角形的应用常用知识

1. 仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角

2.坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα

坡度越大，α角越大，坡面________

3.方向角(或方位角)

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

考点典例一、锐角三角函数的定义

【例1】△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a 2

＋b

2

＝c

2

，那么下列结

论正确的是( )

A．c sin A＝a B．b cos B＝c C．a tan A＝b D．c tan B＝b 【举一反三】

(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan∠CAD 的值（ ）

A.

B.

C. D.

考点典例二、锐角三角函数的计算

【例2】在△ABC 中，如果∠A 、∠B 满足|tanA-1|+（cosB-12

）2

=0，那么∠C= 【举一反三】 在△ABC 中，若|cosA-

12

|+（1-tanB ）2

=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．105° 考点典例三、解直角三角形

【例3】在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C=45°，sinB=

1

3

，AD=1．求BC 的长．

【举一反三】

如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．

考点典例四、解直角三角形的实际运用

【例4】小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：12735sin ≈

?， 6535cos ≈?，10

7

35tan ≈?

考点：三角函数的应用.

一、选择题

1. （2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

A．

3

3

B．

5

5

C．

23

3

D．

25

5

2.（2015·辽宁大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC的长为（）

3 B.3+1 5 D.5+1

3..(2015·湖北衡阳，12题，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1

米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）

为（ ）．

A ．503

B ．51

C ．5031

D ．101 4.（2015.山东泰安，第14题）（3分）如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）

A ．20海里

B ．40海里

C ．2033海里

D ．403

3

海里 二、填空题

5.（2015内江）在△ABC 中，∠B =30°，AB =12，AC =6，则BC = ．

6. (2015·黑龙江哈尔滨）如图，点D 在ΔABC 的边BC 上，∠C+∠BAD=∠DAC ，tan ∠BAD=47 ，

AD=65 ，CD=13，则线段AC 的长为__________.

7.（2015·辽宁大连）如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32°，底部C 的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD 为31cm ，则楼BC 的高度约为_______m(结果取整数）.（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈）

三、解答题

8.（2015·辽宁丹东）23.如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离

BD是60米.某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计），求乙楼的高度CD.

9.（2015.河南省，第20题，9分）（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30o，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈，cos48°≈，tan48°≈，3≈）

第二十九章投影与视图

29．1 投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection).

由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

29．2 三视图

三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状，