《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
周国会
一、教材分析
1教材的地位和作用
“函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。
（一）知识与技能目标：
1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；
2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。
（二）过程与方法目标：
1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。
（三）情感、态度与价值观目标：
1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，
2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点
教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。
教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。
二、教法分析
针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成良好的思维品质。启发诱导、研究探讨、类比联想、总结反思、学会应用、发展潜能、形成能力、提高素质。同时给予存在着数学学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难学生激励性评价调动参与的积极性，“面向全体学生”等教学思想，贯穿于课堂教学之中。
三、学法指导
教师是教学的主导，学生是教学的主体。教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。学生经过会考复习对基本初等函数掌握较扎实，前面复习了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。但学生学习基础还存在较大的分化，应抓住基本概念，强化基础知识、基本技能、基本方法的训练，循序渐进的提高，因此在引入和例题上注重梯度、注重类比、注重数学思想。增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，体会成功的喜悦，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。
四、教学流程
【教学过程】
一．回顾与思考
1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成）
2、如果遇到函数：y=x 3-3x 判断单调性呢？还有其他方法吗？
二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变
化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导
数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性
与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?
【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随
时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图
（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函
数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最
高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？
【探究】通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()
h t是
增函数．相应地，'
=>．
v t h t
()()0
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高h随时间t的增加而减少，即()
h t是减
函数．相应地，'
=<．
v t h t
()()0
【思考】导数的几何意义是函数在该点处的
切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的
斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数
有什么关系呢？
【引导】可先分析函数的单调性与导数的符
号之间的关系.
提出问题2：上例得出的结果是不是具有一般
性？
【设计意图】
新课标强调，要“加强几何直观，重视图形
在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思
考。”所以，我在此处让学生借助几何直观理解函数的单调性与导数的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质。
（三）追踪成果深入探究
为突破本节课的难点,我通过继续举例,引导学生进一步探究：
探讨：函数的单调性与其导函数正负的关系，进一步引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。通过学案，
展示学生的探究成果： 函数y=f(x) ()y f x '=导函数的正负y=x
(,)()____0x f x '∈-∞+∞时， 函数y=f(x)单调 2y x = (,0)()____0x f x '∈-∞时，
函数y=f(x)单调
(0,)()____0x f x '∈+∞时， 函数y=f(x)单调
3y x = (,0)()____0x f x '∈-∞时， 函数y=f(x)单调
(0,)()____0x f x '∈+∞时， 函数y=f(x)单调
1y x = (,0)()____0x f x '∈-∞时，
函数y=f(x)单调 (0,)()____0x f x '∈+∞时， 函数y=f(x)单调 对所展示的学生成果予以及时的鼓励和肯定。
递减，那么 .
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？
【探究】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'0()0f x >，切线是“ ”式的，
这时，函数()f x 在0x 附近单调 ；
在1x x =处，'0()0f x <，切线是“ ”式的，这
时，函数()f x 在1x 附近单调 ．
【设计意图】
上述探究所得结论将是后面利用导数求函数单调区间的理论依据，重要性不言而喻。而学生只学习了导数的意义和一些基本运算，要想得到严格的证明不现实。因此，我采用由易到难，逐步过渡的教学策略，让学生进一步直观观察，并借助
几何画板动态演示，分析问题的本质。
（四）归纳结论 揭示本质
经历上述探究之后，将学生分成6小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论。对回答问题的学生进行及时鼓励。在此基础上，我和学生共同完善结论，并板书结论：
函数的单调性与其导函数正负的关系：
在某个区间(a ，b )内，
若f ' (x)>0，则f(x)在(a ，b )上是增函数；
若f ' (x)<0，则在f(x)(a ，b )上是减函数.
若0)(='x f ，则为 常数函数（与y 轴平行）
强调正确理解“某个区间”的含义，它必须是在定义域内的某个区间。
考虑到本节课堂容量较大，这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况（如y=x 3在x=0处），这一问题将在第二课时探究。
（二）例题精讲
例1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
232(1)()23;
(2)()231;
(3)()sin ,(0,).f x x x f x x x f x x x x π=--=--=-∈
【设计意图】
求单调区间是导数的一个重要应用，也是本节重点.
通过例1（1），引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤，并给学生示范； 通过例1（2），让学生在黑板解答，进一步规范解题步骤；
通过例1（3），回答本节刚开始提出的问题，解决学生的疑惑.体会用导数解决函数单调性时的有效性、优越性.
练习23)()1(2
3--=x x x f （2）x x x f ln )(?=
分析：（1）学生动手解题，得出单调区间；
（2）学生分析求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
①确定定义域； ②求)(x f '、令0)(=x f 得实根；③间断点与根分区间；
④确定各开区间的符号，得出结论。
（3）提出可否直接解关于导函数的不等式，列出、解出。
例1．已知导函数f ' (x)的下列信息：
当3 当x<3或x>5时，f ' (x)>0； 当x=3或x=2时，f ' (x)=0. 试画出函数 f ( x )图象的大致形状. 【设计意图】 应用所学，使具体知识形成方法和技能。鼓励学生先自己动手，培养学生积极主动的学习态度.再通过教师示范，培养学生良好的作图习惯.对于学生在分析过程中出现的问题，及时指正. 本题是一道开放性的题目，学生的答案也许图象可能向“内”弯曲，可能向“外”弯曲，也可能是条直线. 举典例进行说明：左图是折线图，右图是平滑的曲线，追问：两种做法是否都行呢？ 解决办法： 让学生回顾前面所学习，导数为零的点的附近图象应该几乎没有升降变化，而“折点”附近图象升降变化很大，让学生再次动手操作，得到正确图如上，右图. 例题2、求函数1)(2 3+-=mx x x f 的单调减区间。 分析：（1）学生观察题目，发现与上例不同之处？如何解决？ （2）学生解题得出结果； （3）反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论（抓住“讨论点”以及其完整性）。 （三）课堂小结： 导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法，对后续学习有着重要地位，再次强调掌握： （1）利用导数研究函数的单调性的步骤，并与不等式、不等式的解法相结合，注重对参数 x 的讨论; （2) 函数单调性与导数关系的充要性； （3）本节课用到的数学思想方法：数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法。 （四）作业布置：1、4、已知函数1)(3 --=ax x x f ，若在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围； 七.板书设计 （六）教学反思 1. 导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法，对学生要强调对后续学习有着重要地位，是基础中的重点。 2.本节课注重例题的逐步深化，对学生的要求逐步提高。应多引导学生多分析、培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。 3.数学思想方法对解题的指导意义的认识：数形结合、分类讨论、转化思想以及分离变量的方法。 4.学生两极分化，注重基础。让学生都有所收获，有所提高。