等腰三角形单元测试题(含答案)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习

一．选择题（共2小题）

1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定

2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且

在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．

给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB

其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，

DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之

比等于_________．

三．解答题（共15小题）

4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上

的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，

分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．

（1）∠E等于多少度？

（2）△DBE是什么三角形？为什么？

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，

且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．

10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，

过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，

求证：BD=2CE．

11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，

PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，

∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．

12．数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．

13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．

（2）求∠BFD的度数．

15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF，

求证：AE=CF．

16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．

17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；

（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．

等腰三角形典型例题练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）

A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定

考点：角平分线的性质．

分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD 的长，问题可解．

解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D

∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．

2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：

①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得

△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．

解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，

∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD，故①正确；

∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，

∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；

又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于1：3．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面

积比等于相似比的平方，即可求得结果．

解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，

∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，

∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，

∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，

①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．

故答案为：1：3．

三．解答题（共15小题）

4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证

DE=DF．

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．

分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．

解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，

即∠EMD=∠FND=90°，

∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，

∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，

∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，

在△EMD和△FND中

，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．

5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．

解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，

∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，

∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．

考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．

分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．

解答：△ABC是等腰三角形．

证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，

∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．

（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？

考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．

分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；

（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：

∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，

∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，

（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，

∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

考点：含30度角的直角三角形．

分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．

又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．

9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可

得到结论．

解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，

∴∠1=∠2，∠4=∠3，

∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，

在△DFG和△EFC中

，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．

10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，

求证：BD=2CE．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．

解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．

∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，

又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．

又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．

∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．

11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．

考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．

分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由

S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；

（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，

则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的

点时，运用结论PE=PF+CH．

解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，

∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．

∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①．

∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②．

∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．

12．数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD

的长（请你直接写出结果）．

考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；

（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即

可；

（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，

D在BC的延长线上时，求出CD=1．

解答：解：（1）故答案为：=．

（2）过E作EF∥BC交AC于F，

∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，

∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，

∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，

在△DEB和△ECF中

，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．

（3）解：CD=1或3，

理由是：分为两种情况：①如图1

过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，

∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，

∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；

②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，

则AM∥EM，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，

∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，

∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=1

13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出

∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中

根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：解：∠F=∠MCD，

理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，

在△ACE和△ABE中

∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，

∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，

∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，

∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，

∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，

∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），

∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，

又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．

14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．

（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．

（2）求∠BFD的度数．

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；

（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．

在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．

（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．

15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF

和CF，

求证：AE=CF．

考点：全等三角形的判定与性质．

分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．

解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，

又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．

16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此

可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，

理由：在△AEO与△BFO中，

∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，

∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．

延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，

由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．

17．（2006?郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；

（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

考点：等腰三角形的性质．

分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；

（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三

角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．

解答：解：（1）DE+DF=CG．

证明：连接AD，

则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．

理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF

∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．

同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．

18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．

考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．

分析：

猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，

S△CAB=AB?CF，S△PAC=AC?PE，AB?PD=AB?CF+AC?PE，即可求证．

解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：

连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，

∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=AB?CF，

又∵AB=AC，∴S△PAC=AB?PE，∴AB?PD=AB?CF+AB?PE，即AB（PE+CF）=AB?PD，∴PD=PE+CF．

等腰三角形单元测试题(含答案)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且 在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N． 给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点， DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之 比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上 的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC， 分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC． 6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，

八年级数学上册三角形填空选择单元测试卷(解析版)

八年级数学上册三角形填空选择单元测试卷（解析版） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度． 【答案】80 【解析】 【详解】 如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1 2 ∠CPE=∠F+∠1， ∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°. 故答案为80. 2．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为_________度. 【答案】32 【解析】 【分析】 过C点作∠ACE=∠CBD，根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠ECD=∠BDC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得 ∠BDC的度数． 【详解】 过C点作∠ACE=∠CBD，

∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，∴∠ECD=∠BDC， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠BAC=∠CEB=64°， ∴∠BDC=1 2 ∠CEB=32°． 故答案为：32． 【点睛】 此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和． 3．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则 ∠1﹣∠2的度数是_____． 【答案】92°． 【解析】 【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】 由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'， 则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1﹣∠2=92°． 故答案为：92°．

(完整版)直角三角形单元测试题

图4 4米3米 湘教版八年级数学下册《直角三角形》单元测试题 姓名 得分： 一、填空题（每小题2分，共30分） 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下 树尖部分与树根距离为4米，这棵大树原来的高度为__________米。 4、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:5 5、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 . 6、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 7、长方体地面长为4，宽为3，高为12，那么长方体对角线的长是 . 8、在直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线，若CD=5cm,则AB=____ _ 9、在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 10、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 11、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 12、在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 13、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是________ 14、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 15、三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 二、选择题（每小题2分，共20分） 1、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4a D.以上结果都不对 2.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=54° ，则∠A=（ ） A.66° B.36° C.56° D.46° 3.△ABC 中，∠A :∠B :∠C=1:2:3，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 4.以下四组数中，不是勾股数的是（ ） A.3，4，5 B.5，12，13 C.4，5，6 D.8，15，17 5.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 6.三角形中，到三边距离相等的点是（ ） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点 7.等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ） A.12 B.7 C.5 D.6 8.如右图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的平分线，AD=10，则点D 到AB 的距离是（ ） A.8 B.5 C.6 D.4

等腰三角形数学同步精练本+双测AB卷(解析版)

等腰三角形 知识梳理： 1、等腰三角形 1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 性质 ①、两腰相等 ②、两底角相等（简称等边对等角） 推论一：等腰三角形的顶角等于180度减两倍的底角 推论二：等腰三角形的底角等于180减顶角的差的一半。 ③、等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④、等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。（3）证明“三线合一” ①已知高线 ∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线 ∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线 ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 3、判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 一、等边三角形 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 一、选择题 1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（） A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20° 【答案】：B 【解析】： 解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角. 分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果. 2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（） A．8 B．9 C．10或12 D．11或13 【答案】：D 【解析】： 解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13. 分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边. 3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【答案】：C

三角形的证明单元测试题

A B P C D O （11题图） 第一章 单元测试题 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．在△ABD 和△ACE 中，有下列四个论断： ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③∠B ＝∠C ；④BD ＝CE 请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（⊙⊙⊙→⊙的形式写出来） ． 2．如图，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝ ． 3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ＋CD ，则∠B 与∠C 的关系是 ． （2题图） （3题图） （4题图） 4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC ＝4，则PD ＝ ． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为 度． 6．已知：如图，在△ABC 中，AB=15m ，AC=12m ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE ＝ cm ． 7．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C / 的位置，如果BC=2，则 BC ′= ． 8．在联欢晚会上，有A 、B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC 的三条 线的交点最适当． 9．等腰三角形的周长是2＋3，腰长为1，则其底边上的高为__________． 10．以长为1、2、2 、5、3，中的三条线段为边长可以构成 个直角 三角形． A B C D E A B C D

相似三角形单元测试卷(含答案)

相似三角形单元测试卷（共100分） 一、填空题:（每题5分，共35分） 1、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 2、一本书的长与宽之比为黄金比，若它的长为20cm ，则它的宽 是 cm （保留根号）． 3、如图1，在ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶BD ＝1∶2，则 S S ADE ?=四边形DBCE : ． 图1 图2 图3 4、如图2，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 5、如图3，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 图4 图5 图6 6、如图4，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝ ． 7、如图5，ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形，且AC ＝2DF ，则OE ∶OB ＝ ． 二、选择题: （每题5分，共35分） 8、若 k b a c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ） A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在 9、如图6，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC= （ ） A 、 21 B 、3 1 C 、3 2 D 、4 1 图7 图8 图9 10、如图7，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分，若BC=12cm ， 则FG 的长为（ ） A 、8cm B 、6cm C 、64cm D 、26cm 11、下列说法中不正确的是（ ） A ．有一个角是30°的两个等腰三角形相似； B ．有一个角是60°的两个等腰三角形相似； C ．有一个角是90°的两个等腰三角形相似； D ．有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中 三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 13、两个相似多边形的面积之比为1∶3 ，则它们周长之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1 D ．2∶3

初中数学三角形单元检测

初中数学三角形单元检测 一、选择题 1．如图，在ABC ?中，33B ∠=?，将ABC ?沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ） A ．33? B ．56? C ．65? D ．66? 【答案】D 【解析】 【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠B ，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】 解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠B ，∠3=∠2+∠D ， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°， ∴∠1-∠2=66°． 故选：D ． 【点睛】 此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC 于E ，若BC ＝10cm ，则△DEC 的周长为（ ）

A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长. 【详解】 ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠EBD. 又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边， ∴△ABD≌△EBD (AAS)， ∴AD＝ED，AB＝BE， ∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC ＝AD＋DC＋EC ＝AC＋EC＝AB＋EC ＝BE＋EC＝BC ＝10 cm. 故选B. 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为()cm A．6 B．8 C5D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A＝x， 则∠B＝2x，∠C＝3x， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，

等腰三角形 同步练习及答案

一、填空题（每题3分，共30分） 1．等腰三角形的一个角是110°,则它的底角为_______°． 2．等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为______________________． 3．等腰三角形一个底角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________． 4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 边上，且BD =BC =AD ，则∠A = °． 5．已知直线yy ′⊥xx ′，垂足为O ，则图形①与图形_____成轴对称 6．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为 ㎝． 7．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为 ． 8．到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点． 9．在直角坐标系内有两点A （-1，1）、B （2，3），若M 为x 轴上一点，且MA +MB 最小，则M 的坐标是________，MA +MB =________． 10．等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的腰边长为_____cm.． 二、选择题（每题3分，共24分） 11．点M （1，2）关于原点对称的点的坐标为 （ ） A ．（—1，2） B ．（－1，－2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 12．下列说法正确的是（ ） A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B ．顶角相等的两个等腰三角形全等 C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D ．等腰三角形的两个底角相等 13．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称， 则P ，P 1，P 2三点构成的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 14．如图，DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC =8厘米，AB =10厘米，则?EBC 的周长为（ ）厘米 A ．16 B ．28 C ．26 D ．18 15．等腰三角形的对称轴，最多可以有（ ） A ．1条 B ．3条 C ．6条 D ．无数条 16．下列判断不正确的是（ ） ① y ′ ③ ② x ′ O x y （第5题） （第14题） E D A B C

第一章 三角形的证明单元测试卷(含答案)

第一章三角形的证明单元测试卷 一．选择题（共12小题） 1．（2016?当涂县四模）在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上）．这个等腰三角形有几种剪法？（） A．1 B．2 C．3 D．4 (第1题) (第3题) (第4题) 2．（2016春?盐城校级月考）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A（﹣4，0），B（0，3）．若在该坐标平面内有以点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（） A．9 B．7 C．5 D．3 3．（2016春?重庆校级月考）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=30°，DE垂直平分BC，则∠ACD的度数为（） A．30°B．45°C．55°D．75°4．（2015?达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（） A．48°B．36°C．30°D．24°5．（2015?德阳）如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（） A．150°B．160°C．130°D．60°

(第5题) (第6题) (第7题) 6．（2015?香坊区三模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，AD ∥BC，连接CD，则∠ADC的度数为（） A．50°B．60°C．70°D．80° 7．（2015?河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD 上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC 的度数为（） A．75°B．65°C．63°D．61° 8．（2015?昌平区二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接C D． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90°B．95°C．100°D．105° (第8题) (第10题) (第11题) 9．（2015?泰安模拟）直线y=x+1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个． A．4 B．5 C．7 D．8 10．（2015?罗田县校级模拟）如图，在∠AOB=30°的两边上有两点P和Q在运动，且点P 从离点O有1厘米远的地方出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为等腰三角形时，两点的运动时间为（）秒．

新人教版八年级数学上册《等腰三角形》专项练习题

E D C A B F 2 1 E D C A B 图5 图5 初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题 一、选择题 1已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三形的腰长为x,则x 的取值范围是( ) A .0

八年级数学上册13_3等腰三角形同步练习新版新人教版

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第13章《轴对称》 （§13.3） 班级 学号 姓名 得分 一、填空题（每题3分，共30分） 1．等腰三角形的一个角是110°,则它的底角为_______°． 2．等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为______________________． 3．等腰三角形一个底角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________． 4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 边上，且BD =BC =AD ，则∠A = °． 5．已知直线yy ′⊥xx ′，垂足为O ，则图形①与图形_____成轴对称 6．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这 个三角形的底边长为 ㎝． 7．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为 ． 8．到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点． 9．在直角坐标系内有两点A （-1，1）、B （2，3），若M 为x 轴上一点，且MA +MB 最小，则M 的坐标是________，MA +MB =________． 10．等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的腰边长为_____cm.． 二、选择题（每题3分，共24分） 11．点M （1，2）关于原点对称的点的坐标为 （ ） A ．（—1，2） B ．（－1，－2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 12．下列说法正确的是（ ） A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B ．顶角相等的两个等腰三角形全等 C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 D ．等腰三角形的两个底角相等 13．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称， 则P ，P 1，P 2三点构成的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 ① y ′ ③ ② x ′ O x y （第5题） （第14题） E D A B C

三角形的证明单元测试卷

北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A（一） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 考点：含30度角的直角三角形． 分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半． 解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D． 点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半． 2．（4分）（2013?安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 考点：全等三角形的判定． 分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 解答：解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE，

A、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确； C、∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误； D、∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误； 故选B． 点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 3．（4分）（2012?河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5， 则CE的长为（） A．10B．8C．5D． 考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长． 解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，

北京课改版数学八上136等腰三角形同步测试

13.6 等腰三角形练习（A ） 第1题. 如图，已知AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌______，△ABE ≌_____． 答案：△ACE ，△ACD 第2题. 在△ABC 中， ∠B =∠C =40°，D 、E 是BC 上的两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 答案：C 第3题. 如果三角形一边的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 答案：B 第4题. 有一个外角是120°，另两个外角相等的三角形是（ ） A ．不等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定 答案：C 第5题. 在下列命题中:①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 答案：C 第6题. 如果一个三角形两边垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 答案：C 第7题. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ） A ．过顶点的直线 B ．底边上的垂线 C ．顶角的平分线所在的直线 D ．腰上的高所在的直线 答案：Ｃ 第8题. 在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是_____三角形． 答案：等边 第9题. 在△ABC 中，AB =AC ， ∠C =2∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，那么，图中有____个等腰三角形． 答案：3 第10题. 如下图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ， △ABD 的周长为12，AE =5， 则△ABC 周长为_______． 答案：22 第11题. 在△ABC 中， ∠ABC =∠ACB ， ∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过D 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰三角形有____个，分别有______． 答案：5，△ABC ，△AEF ，△DEB ， △DFC ， △DBC 第12题. 在△ABC 中，AB =AC ，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，则△ADE 是_____三角形． 答案：等腰 第13题. 在∠AOB 中，OP 是其角平分线，且PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则PE 与PF 的关系是_________． A B C D A C B E D A D C B E F A D C B E

《三角形的证明》单元测试1(含答案)

第一章 三角形的证明 一、选择题(每题3分,共30分) 1、△ABC 中，AB = AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC = 75°，则∠A 的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110° 2、适合条件∠A =∠B = 3 1 ∠C 的三角形一定是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形 3、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A ①②④ B ②④ C ①④ D ②③④ 4、已知△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为 ( ) A 24 cm 和12 cm B 16 cm 和22 cm C 20 cm 和16 cm D 22 cm 和16 cm 5、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过点C ，则 ( ) A l 垂直A B B l 平分AB C l 垂直平分AB D 不能确定 6、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( ) A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三角形 7、已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A 9㎝ B 12㎝ C 12㎝或者15㎝ D 15㎝ 8、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点， ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（ ） Ａ 90°－∠Ａ Ｂ 90°－2 1 ∠Ａ Ｃ 45°－ 2 1 ∠Ａ Ｄ 180°－∠Ａ 9、一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为 5.6 cm 和13.2 cm ，则这个正方形的面积为（ ） Ａ 64 cm ２ Ｂ 48 cm ２ Ｃ 36 cm ２ Ｄ 24 cm ２ 10、如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，

四年级数学-《三角形》单元测试题

四年级数学-《三角形》单元测试题 班别: 姓名: 等级: 一、我动脑筋，我会填！（第1题3分，第3、4、8、10、11题每题2分，第12题每题4分，其余每小题1 分，共22分） 1、三角形按角来分可以分成（）、（）、（）；如果按边来边 分可以分为（）、（）、（）。 2、三角形具有（）。 3、每个三角形中至少有（）个锐角；最多有（）个直角或钝角。 4、等边三角形的三条边都（），三个角都是（）。所以等边三角形是（） 三角形。 5、每个三角形都有（）条高。 6、三角形的内角都是（）。 7、三角形任意两边之和（）第三边。 8、等腰三角形的两腰（），（）也相等。 9、一个直角三角形的一个锐角等于45度，另一个锐角等于（），这个三角形又叫 （）。 10、一个等腰三角形，它的一个底角等于70度，它的顶角是（）。 11、在一个三角形中，已知它的两个内角的度数是45度和65度，这个三角形一定是 （）三角形。 12、判断下面的三角形是什么三角形，把序号填在相应的括号里。 ⑦

锐角三角形有（）；直角三角形有（）；钝角三角形有（）；等边三角形有（）；等腰三角形有（）。 二、慧眼识真（对的打“√”，错的打“×”）（共10分） 1、三角形只能有一个直角或一个钝角。（） 2、所有的等腰三角形都是锐角三角形。（） 3、一个三角形中，最大的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形。（） 4、等边三角形一定是锐角三角形。（） 5、用三根分别是3厘米、4厘米和7厘米的小棒可以围成一个三角形。（） 三、对号入座（把正确答案的序号填在括号里）（共10分） 1、三角形越大，内角和（） A、越大 B、越小 C、是固定的 2、一个等腰三角形中，基中一底角是75度，顶角是（）。 A、75度 B、45度 C、30度 D、60度 3、一个等腰三角形，底是5厘米，腰是6厘米，它的周长是（） A、16 B、17 C、15 4、一个等腰三角形的一个底角是65度，这个三角形一定是（）三角形。 A、锐角 B、直角 C、钝角 5、下面各组小棒中能围成三角形的是（）组。 A、3厘米、3厘米、6厘米 B、3厘米、4厘米、5厘米 C、2厘米、3厘米、4厘米 四、小小操作家（画出下面三角形底边上的高）（共18分）

练习-《等腰三角形》同步练习

E D C B A E D B A G N M Q P 人教版八上《等腰三角形》同步练习 一、选择题 1．如果等腰三角形一个底角是30o ，那么顶角是（ ） （A ）60o ． （B ）150o ． （C ）120o ． （D ）75o ． 2．下列说法中，正确的是（ ） （A ）一个钝角三角形一定不是等腰三角形． （B ）一个等腰三角形一定是锐角三角形． （C ）一个直角三角形一定不是等腰三角形． （D ）一个等边三角形一定不是钝角三角形． 3.在等腰三角形中，AB 的长是BC 的2倍，周长为40，则AB 的长为（ ） （A ）20． （B ）16． （C ）16或20． （D ）以上都不对． 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o ，则顶角的度数为（ ） （A ）60o ． （B ）120o ． （C ）60o 或150o ． （D ）60o 或120o ． 5．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为45o ，则这个三角形是（ ） （A ）锐角三角形． （B ）钝角三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．两根木棒的长度分别是5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ） （A ）3种． （B ）4种． （C ）5种． （D ）6种． 7．已知△ABC 中，AB ＝AC ，且∠B ＝α，则α的取值范围是（ ） （A ）α≤45o ． （B ）0o ＜α＜90o ． （C ）α＝90o ． （D ）90o ＜α＜180o ． 8．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于（ ） （A ）顶角． （B ）顶角的一半 ． （C ） 顶角的2倍． （D ）底角的一半． 二、填空 9．等腰三角形 、 、 互相重合． 10．若一个等腰三角形有一个角为100o ，则另两个角为 ． 11．等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是 ． 12．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ，底边长为 ． 13．如果等腰三角形的三边长均为整数且它的周长为10 cm ，那么它的三边为 ． 14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30o ，AD ＝AE ，则∠EDC ＝ ． 15．如图，在△ABC 中，∠P ＝60o ，MN ＝MP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG ＝NQ ， 若△MNP 的周长为12，MQ ＝a ，则△MGQ 的周长是 ． 16．如图，在△ABC 中，AD ＝1，DC ＝2，AB ＝4，E 是AB 上一点，且△DEC 的面积等于△ABC 面积的一半，则EB 的长为 ．

八年级上册数学 全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

八年级上册数学全等三角形单元测试卷（word版，含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____． 【答案】AD的中点 【解析】 【分析】 【详解】 分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′， 根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝ 22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】 本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 3．如图所示，ABC 为等边三角形，P 是ABC 内任一点，PD AB ，PE BC ∥，

(通用版)中考数学二轮复习 专题10 等腰三角形探究同步测试

专题集训10 等腰三角形探究 一、选择题 1．如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC ＝40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是( D ) A ．40° B ．70° C ．70°或80° D ．80°或140° ,第1题图) ,第2题图) 2．如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，且OP ＝2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．3个以上 【解析】 如图，在OA ，OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°.∵OP 平分∠AOB ，∴∠EOP ＝∠POF ＝60°，∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN ，可证△PEM ≌△PON (ASA)，∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝60°，∴△POM 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个． 二、填空题 3．正方形ABCD 的边长是4，点P 是AD 边的中点，点E 是正方形边上的一点，若△PBE 是等腰三角形，则腰长为__25或52或652 __． 【解析】如图①，当E ，C 重合时，PB ＝PC ＝25；在AB 上取E 使PE ＝EB ，如图②，设AE ＝x ，∴(4－x )2 ＝x 2 ＋4，解得x ＝32，使PE ＝5 2 ；在BP 上取中点M ，如图③，作ME ⊥PB 交DC 于E .设EC ＝x ，由PE ＝BE 知42＋x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝1 2，∴PE ＝ 22＋（4－1 2 ）2

人教版数学四年级下册：三角形单元测试题

四年级下册三角形单元测试题 一、填空题。（每空3分，共36分） 1、由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做（）。 2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（），这条对边叫做三角形的（）。 3、在一个三角形中，其中两个内角的和是89°，按角分，这个三角形是（）三角形。 4、一个等腰三角形的一条边长8厘米，另一条边长10厘米，它的周长可能是（）厘米，或（）厘米。 5、一个等边三角形的周长是48厘米，那么它的每条边长是（）厘米，每个角是（）°。 6、我们的红领巾按边分是（）三角形，其中一个底角是30°，它的顶角是（）°。 7、拼成一个等腰梯形至少要用（）个相同的等边三角形。 8、无论什么形状的图形，没有重叠、没有空隙地铺在平面上就是（）。 二、选择题。（20分） 1、一个三角形的两条边分别是5厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是（）厘米。 A、12厘米 B、13厘米 C、14厘米 2、把一个等边三角形沿其中一条高剪开，分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（）。 A、45°和45° B、30°和60° C、30°和30° 3、自行车的支架常常做成三角形，是利用了三角形（）的特性。 A、内角和是180° B、容易变形 C、稳定性 4、一个三角形中最小的一个内角是46°，那么这个三角形是（）。 A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 5、在三角形中，如果两个内角的度数之和等于第三个内角，那么这个三角形是（）。 A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 三、判断题。（20分） 1、所有的等边三角形都是锐角三角形。（） 2、等腰三角形的底角不可能是钝角。（） 3、用4厘米、6厘米、10厘米的三根小棒能摆成一个三角形。（） 4、等腰直角三角形的底角一定是45°。（） 5、两个相同三角形可以拼成一个平行四边形。（） 四、动手操作。（12分） 1、画出下面三角形底边上的高。 2、在方格纸上画一个三角形，它既是等腰三角形又是钝角三角形。 五、解决问题。（12分） 底 底 1、王爷爷家的屋顶是一个等腰三角形（如图），求顶角的度数。 2、根据三角形的内角和是180°， 你能求出下面五边形的内角和吗？ 1