第一章 复数与复变函数
一、
选择题
1.当i
i z -+=
11时,50
75100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3
)2(π
=
+z arc ,6
5)2(π
=
-z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+-
(D )i 2
123+- 3.复数)2
(tan πθπ
θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos(
sec θπθπ
θ+++i (B ))]2
3sin()23[cos(sec θπ
θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(
sec θπθπθ+++-i (D ))]2
sin()2[cos(sec θπ
θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小
5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( )
(A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转
3
π
,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( )
(A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3
7.使得2
2
z z =成立的复数z 是( )
(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( )
(A )i +-
43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4
3
9.满足不等式
2≤+-i
z i
z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232=
-+i z 所代表的曲线是( )
(A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A )
22
1
=+-z z (B )433=--+z z (C )
)1(11<=--a az
a
z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z
12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0
0)
Im()Im(lim
0z z z z x x --→( )
(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在
14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续 (B )),(y x v 在),(00y x 处连续
(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
15.设C z ∈且1=z ,则函数z
z z z f 1
)(2+-=的最小值为( )
(A )3- (B )2- (C )1- (D )1
二、填空题
1.设)
2)(3()
3)(2)(1(i i i i i z ++--+=
,则=z
2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg
3.设4
3)arg(,5π
=
-=i z z ,则=z 4.复数2
2
)
3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576
-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部
7.方程
1)1(212=----z
i i
z 所表示曲线的直角坐标方程为
8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线
9.对于映射z
i =
ω,圆周1)1(2
2=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 4
2
1z z i
z
三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.
四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22
.
五、设复数i z ±≠,试证2
1z
z
+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .
六、对于映射)1
(21z
z +=ω,求出圆周4=z 的像.
七、试证1.
)0(022
1
≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+; 2.
)),,2,1,,,0(02
1
n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.
八、若0)(lim 0
≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 2
1)(>
.
九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2
.
十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:
1.??
?
??=≠+=0,00,2)(22z z y x xy
z f
2.??
???=≠+=0,00
,)(223z z y x y x z f
第二章 解析函数
一、选择题:
1.函数2
3)(z z f =在点0=z 处是( )
(A )解析的 (B )可导的
(C )不可导的 (D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )
(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件
(C )充分必要条件 (D )既非充分条件也非必要条件 3.下列命题中,正确的是( )
(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x
(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导
(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析 (D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )
(A )xyi y x 22
2
-- (B )xyi x +2
(C ))2()1(22
2
x x y i y x +-+- (D )3
3
iy x +
5.函数)Im()(2
z z z f =在
=z 处的导数( )
(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在
6.若函数)(2)(2
2
2
2
x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常 数=a ( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-
7.如果)(z f '在单位圆1 (A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是 (A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 (C )若)(z f 与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数 (D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设2 2 )(iy x z f +=,则=+')1(i f ( ) (A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.i i 的主值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 πe (D )2 π- e 11.z e 在复平面上( ) (A )无可导点 (B )有可导点,但不解析 (C )有可导点,且在可导点集上解析 (D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( ) (A ))(z f 在复平面上处处解析 (B ))(z f 以π2为周期 (C )2 )(iz iz e e z f --= (D ))(z f 是无界的 13.设α为任意实数,则α 1( ) (A )无定义 (B )等于1 (C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( ) (A )3 )1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 2 3π - 15.设α是复数,则( ) (A )α z 在复平面上处处解析 (B )α z 的模为α z (C )α z 一般是多值函数 (D )α z 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题 1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→z z f z 1 )(lim 2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是 3.导函数x v i x u z f ??+??= ')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2 2 3 3 )(y ix y x z f ++=,则=+- ')2 3 23(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部2 2 y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导 7.设z i z z f )1(5 1)(5 +-= ,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数i i 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--z e 的全部解为 三、设 ) ,(),()(y x iv y x u z f +=为 iy x z +=的解析函数,若记 )2,2()2,2( ),(i z z z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=??z w . 四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= 2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-=