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[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.8弧长及扇形的面积第1课时弧长的相关计算

第3章 圆的基本性质

3.8 弧长及扇形的面积 第1课时 弧长的相关计算

知识点1 利用弧长公式求弧长

1.在半径为6 cm 的圆中,120°的圆心角所对的弧长为________cm.

2.2016·台州如图3-8-1,△ABC 的外接圆O 的半径为2,∠C =40°,则AB ︵

的长是________.

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3-8-1

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图3-8-2

3.如图3-8-2,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,⊙O 的半径为1,则AB ︵

的长为________.

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图3-8-3

4.2017·绍兴模拟如图3-8-3,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,BC =6,∠BAC =30°,以点C 为圆心,CB 长为半径画弧交AB 于点D ,则弧BD 的长为( )

A.

π

2

B .π C.

3π2 D.25π12

5.如图3-8-4,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2,∠B =135°,求

AC ︵

的长.

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图3-8-4

6.如图3-8-5,在△ABC 中,AB =4 cm ,∠B =30°,∠C =45°,以点A 为圆心,以

AC 长为半径作弧与AB 交于点E ,与BC 交于点F ,求CE ︵

的长.

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图3-8-5

知识点2 利用弧长公式求圆心角或半径

7.如果一个扇形的弧长是4

3π,半径是6,那么此扇形的圆心角的度数为( )

A .40°

B .45°

C .60°

D .80°

8.2017·瑞安四校联考已知扇形的圆心角为120°,弧长为6π,则它的半径为________.

9.(1)直径为100 cm 的圆弧的度数为40°,求这条弧的长度;

(2)圆弧的圆心角为300°,它所对的弧长等于半径为6 cm 的圆的周长,求该弧所在圆的半径.

10.如图3-8-6,△ABC 内接于⊙O ,∠A =60°,BC =6 3,则BC ︵

的长为( ) A .2π B .4π C .8π D .12π

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3-8-6

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3-8-7

11.2017·温州二模如图3-8-7,半圆O 的直径AB =4,P ,Q 是半圆O 上的点,弦PQ 的长为2,则AP ︵与QB ︵

的长度之和为( )

A.

2π3 B.4π3 C.5π

3

D .π

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图3-8-8

12.如图3-8-8,将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)至点B 重新落在直线l 上,点B 从开始运动到结束,所经过路径的长度为( )

A.32π cm B .(2+2

3π)cm C.4

3

π cm D .3 cm 13.如图3-8-9,在△ABC 中,AB =AC .分别以B ,C 为圆心,BC 长为半径,在BC 下方画弧,设两弧交于点D ,与AB ,AC 的延长线分别交于点E ,F ,连结AD ,BD ,CD .若BC =6,∠BAC =50°,求ED ︵,FD ︵

的长度之和.(结果保留π)

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图3-8-9

14.课本例2变式一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径为2 km ,弯道所对圆心角为10°,

一辆汽车从此弯道上驶过,用时20 s,弯道上有一块限速警示牌,限速为40 km/h,则这辆汽车经过弯道时有没有超速?(π取3)

15.如图3-8-10,在菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心.菱形ABCD在直线l上向右做无滑动地翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则:(1)经过1次这样的操作,菱形中心O所经过的路径长为多少?

(2)经过18次这样的操作,菱形中心O所经过的路径总长为多少?

(3)经过3n(n为正整数)次这样的操作,菱形中心O所经过的路径总长为________.(结果都保留π)

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图3-8-10

详解详析

1.4π 2.8

3.

π

3

[解析] 连结OA ,OB . ∵六边形ABCDEF 为正六边形, ∴∠AOB =360°×1

6=60°,

∴AB ︵的长为60×π180=π3.故答案为π3

.

4.B [解析] ∵AB =AC ,BC =6,∠BAC =30°, ∴∠ABC =∠ACB =75°. ∵BC =DC ,

∴∠BDC =75°,∠BCD =30°, ∴弧BD 的长为30π×6

180=π.

故选B.

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5.解:如图,连结OA ,OC . ∵∠B =135°,

∴∠D =180°-135°=45°,

∴∠AOC =90°,则AC ︵的长为90π×2

180=π.

6.解:如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,

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∵∠B =30°,AB =4 cm , ∴AD =2 cm. ∵∠C =45°, ∴∠DAC =45°, ∴AD =CD =2 cm , ∴AC =2 2 cm.

∵∠B =30°,∠C =45°, ∴∠A =105°,

∴CE ︵的长为105×π×2 2180=7 26.

7.A [解析] ∵弧长l =

n πr

180

∴n =180l

πr =180×43π

6π=40,

∴此扇形的圆心角的度数为40°. 8.9

9.解:(1)l =40π×50180=100π9(cm).

(2)∵n =300,l =2×6π=12π,l =n πR

180

∴R =180l n π=180×12π

300π=7.2(cm).

10.B [解析] 连结OB ,OC , ∵∠A =60°,∴∠BOC =120°.

∵BC =6 3,∴R =OB =6,则BC ︵=n πR 180=120π×6

180=4π.故选B.

11.B [解析] 如图,连结OP ,OQ ,

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则OP =OQ =2, ∵OP =OQ =PQ =2, ∴△OPQ 为等边三角形, ∴∠POQ =60°, ∴∠AOP +∠BOQ =120°,

则AP ︵与QB ︵的长度之和为120×π×2180=4π

3.

故选B.

12.C [解析] ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB =60°,∴∠ACA 1=120°. ∵点B 两次翻动划过的弧长相等, ∴点B 经过的路径长为2×

120π×1180=4

3

π(cm). 13.解:∵AB =AC ,∠BAC =50°,∴∠ABC =∠ACB =65°. ∵BD =CD =BC ,∴△BDC 为等边三角形, ∴∠DBC =∠DCB =60°, ∴∠DBE =∠DCF =55°. ∵BC =6,∴BD =CD =6,

∴ED ︵的长度=FD ︵的长度=55π×6180=11π

6.

∴ED ︵,FD ︵的长度之和为11π6+11π6=11π

3.

14.解:∵l =

n πr 180

10π×2180

=π

9

(km),

∴汽车的速度为π9÷20

3600≈60(km/h).

∵60 km/h >40 km/h , ∴这辆汽车经过弯道时超速.

15.解: (1)如图,连结AC ,BD ,则AC ,BD 相交于点O .在菱形ABCD 中,AB =2,∠BCD =60°,

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∴AB =AD ,∠BAD =∠BCD =60°,AC ⊥BD ,BO =DO , ∴△ABD 是等边三角形,BO =DO =1, ∴AO =AD 2

-DO 2

= 3.

∴经过1次这样的操作,菱形中心O 所经过的路径长为60π×3180=3

3π.

(2)由(1)可得:第一次旋转点O 所经过的路径长为

3

3

π, 第二次旋转点O 所经过的路径长为

3

3

π, 第三次旋转点O 所经过的路径长为60π×1180=π

3.

∵18÷3=6,

故经过18次这样的操作,菱形中心O 所经过的路径总长为6×(33π+33π+π

3

)=(4 3+2)π.

(3)经过3n (n 为正整数)次这样的操作,菱形中心O 所经过的路径总长为n ×(2 3

3π+

π3)=2 3+13

n π.