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高中数学知识精要

第一章集合与简单逻辑用语

第一节

集合

●知识精要

1．集合的概念．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素．集合中元素的特征：确定性，即给定一个集合，它的元素是确定的；互异性，即对于给定一个集合，它的元素是一定是不同的（或说是互异的）；无序性，即组成集合的元素没有次序．集合表示的方法有列举法、描述法、Venn 图法．

2．集合的关系．子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为B A ?或A B ?．集合的相等：如果B A ?且A B ?，那么B A =．如果B A ?，并且B A ≠，那么A 称为集合B 的真子集．空集是任何一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．全集：如果集合S 包括我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集．补集：设S A ?，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，即},|{A x S x x A C s ?∈=且． 3．集合的运算．交集：},|{B x A x x B A ∈∈=且．并集：},|{B x A x x B A ∈∈=或．

4．常用结论．①n 个元素的子集有2n 个, n 个元素的真子集有2n －1个；②A B A B A

=?? ；

③A B B B A

=??

；④A B ??

B A U U

C C ?；⑤B A B

A U C ??Φ=?；⑥

B A B A U

C ??Φ=?

； ⑦()U C A B U U C A C B = ；⑧()U U U C A B C A C B = ．

第二节

常用逻辑用语

●知识精要

1．命题．一般地，设“若p 则q ”为原命题，那么“若q 则p ”就叫原命题的逆命题；“若非p 则非q ”为原命题的否命题，“若非q 则非p ”就叫原命题的逆否命题．互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假，逆命题与否命题同真同假；但原命题与逆命题、否命题都不等价． 2．充要条件．一般地，如果p ?q ，那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的充分条件；如果p ?q ，且q ?p 那么称p 是q 的充要条件；如果p ?q ，且q ≠>p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；如果p ≠>q ，且q ?p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；如果p ≠>q ，且q ≠>p ，那么称p 是q 的既不充分不必要条件．

3．逻辑联结词．“或” 、“且”、 “非”．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”． 4．全称命题及存在性命题的否定．全称命题p :)(,x P M x ∈?,它的否定┓p :,M x ∈?┓)(x P ；存在性命题p :)(,x P M x ∈?,它的否定┓p :,M x ∈?┓)(x P ．

第二章函数

第一节

映射与函数

●知识精要

1．映射．一般地，设A ，B 是两个集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中

都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到B 的映射，记为f : A →B ．对于映射f : A →B ，通常把集合A 中的元素叫原象，把集合B 中与A 中的元素相对应的元素叫做象，集合A 叫原象集，集合B 叫象所在的集合．

2．函数．一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记作

A x x f y ∈=),(．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫函数)(x f y =的定义域．若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组

成的集合称为函数的值域．函数的定义域，值域和对应法则是函数的三要素． 3．分段函数．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数．注意分段函数是一个函数，而不是几个函数．在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；求分段函数的定义域，先选定所有分段的区间，然后取这些区间的并集所得到的集合就是分段函数的定义域，分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．

第二节

函数的图像与性质

●知识精要

1．函数的单调性．一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ?．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间．

注意：①确定函数的单调性或单调区间的常用定义法，即取值――作差――变形――定号；②)(x f 与k )(x f +c

（c 为常数），当k >0时具有相同的单调性，当k <0时具有相反的单调性；③当)(x f 恒不为0时，)(x f 与)

(1x f 单调性相反；④当)(x f 、)(x g 都是为增（减）函数时，)(x f +)(x g 则

为增（减）函数；⑤设)(x f 、)(x g 都是为增（减）函数，则)(x f 、)(x g 当两者都恒大于0时，

)(x f ·)(x g 是增（减）函数，当两者都恒小于0时，)(x f ·)(x g 是减（增）函数；⑥对复合函

数单调性的判断，要注意先外后内、同增异减．

2．函数的最值．一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ．如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，

有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在定值

A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记

为)(0min x f y =．

3．函数的奇偶性．一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么称函数)(x f y =是偶函数；如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么称函数)(x f y =是奇函数．注意：①具有奇偶性的函数的定义域的特征是定义域必须关于原点对称；②偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数图像关于原点对称；③偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数、奇函数的积、商是偶函数，奇函数与偶函数积、商是奇函数；④既是奇函数又是偶函数是0)(=x f ．

4．常见的图象变换．（1）平移变换：①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；②函数()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；④函数()x f y =+a )0(a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的

1得到的；②函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y

轴伸缩为原来的a 倍得到的. （2）函数的对称性：满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2

=；01a =；n m n m a a a +=n n n b a ab =)(；mn

m n a a =)(．

②对数的运算法则：log 10a =，log 1a a =； log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>；N a n

=log

( a>0,a ≠1,N>0 )； log log m

( a>0,a ≠1,b>0,b ≠1)；)0,;1,0(log log log >≠>+=N M a a N M MN a a a ；

)0,;1,0(log log log >≠>-=N M a a N M N

M a a a

．

2．指数函数．一般地，函数x a y =（a > 0，a ≠1）叫指数函数．定义域为R ；值域为（0，+∞）；图像过定点（0，1）；单调性，a > 1时在R 上单调递增，0

> 0，a ≠1）叫对数函数．对数函数定义域为（0，+∞）；值域为R ；图像过定点（1，0）；单调性，a > 1时在（0，+∞）上单调递增，0 x 时，底大图低．

4．幂函数．一般地，函数αx y =，叫幂函数．图像都过点（1，1）；0>α时，图像过点（0，0），且在第一象限中逐渐上升，0<α时，图像不过（0，0），且在第一象限中逐渐下降； 1>x 时，指大图高，01>>x 时，指大图低．

第四节

函数的综合应用

●知识精要 1．函数零点．

（1）函数零点定义：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点．若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号

零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．

（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数

)(x f y =有零点．

（3）函数)(x f y =零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（4）图像连续的函数的零点的性质：①函数的图像是连续的，当它通过零点时（变号零点），函数值变号.函数零点存在定理：函数在区间],[b a 上的图像是连续的，且0)()(

2．二分法及步骤．

对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤： ① 确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； ② 求区间a (，)b 的中点1x ；

③计算)(1x f ：若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；

④判断是否达到精度ε：即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4． 3. 函数的应用．（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去．（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数、对数函数、幂函数模型；④建立b y ax x

=+型．（3）关于函

数)0(>+

=a x

a x y 的图象和性质：定义域为),0()0,(+∞?-∞

值域为),2[]2,(+∞?--∞a a ；奇偶性：奇函数；

单调性：在),[],,(+∞--∞a a 上单调递增，在],0(),0,[a a -上单调递增．

第三章解析几何初步

第一节直线与方程 ●知识精要

1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转过的最小正角称为直线的倾斜角，并规定：与x 轴重合或平行的直线的倾斜角为00．直线的倾斜角的范围为[)π,0．

2．直线的斜率：已知两点111(,)P x y 、222(,)P x y ，则直线的斜率为()212

121x x x x y y k ≠--=

．注意：

倾斜角为90°的直线没有斜率；直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α.当倾斜角是锐角是，斜率k 随着倾斜角α的增大而增大．当α是钝角时，k 与α同

增减.

3．直线的方程：

（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线；

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线；

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1

211

21x x x x y y y y --=

--，

它不包括垂直于坐标轴的直线；

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+

y a

x ，它不包括垂直

于坐标轴的直线和过原点的直线；

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式． 4．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：

（1）平行?12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）；（2）相交?12210A B A B -≠；

（3）重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=；

（4）直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直?12120A A B B +=． 5．点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=

的距离d =

；

（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=

⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y D x Ey F ++++=>．

在圆的标准方程)0()()(2

>=-+-r r b y a x 中有三个参数r b a ,,；在圆的一般方程

2=++++F Ey Dx y x 中，

也有三个参数F E D ,,．所以说三个互相独立的条件确定一个圆．在平面几何中也是熟悉的事实：不共线的三点唯一地确定一个圆．确定一个圆，包括确定圆的位置和大小两个方面．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．又称圆心是圆的定位条件，半径是圆的定

形条件．

2．直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()2

2C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0?>?相交；0??相离；d r =?相切．

第三节空间直角坐标系

●知识精要

1．空间直角坐标系．从空间一定点o 引三条互相垂直且有相同的长度单位的数轴，这样就建立了空间直角坐标系xyz o -，点o 叫做坐标原点，x 轴(横轴)、

y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)叫坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一

个坐标平面，分别称为xoy 平面、yoz 平面、zox 平面．通常把

x 轴，y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线，它们的正方向要

符合右手规则：

2．空间点的直角坐标系．

对于空间任意一点A ，作点A 在三条坐标轴上的射影，即过点A 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与

x 轴、y 轴、z 轴分别交交于R Q P ,,，点R Q P ,,在相应数轴上的坐标依

次为z y x ,,，我们把有序数组（z y x ,,），叫A 点的坐标，记为A （z y x ,,）．

3．空间两点间的距离公式．设M x y z 1111(,,)、M x y z 2222(,,)为空间的两点，则两点间的距离为d M M x x y y z z ==

1．圆锥曲线的定义．一般地，平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a （常数2a 一定要大于21F F ）的点轨迹叫做椭圆，两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．一般地，平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （常数2a 一定要小于21F F ）的点轨迹叫做双曲线，两定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦

距．一般地，平面内到一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离相等的的点轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．

注意：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数

2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于2

1F F 时，无轨迹．双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线. 2．圆锥曲线的几何性质．

：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点

(,0),(0,)a b ±±，

其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2

x c

=±； ⑤离心率：c e a

，

椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁．

（2）双曲线（以

222

1x y a

=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦

点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为2

,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2

双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a

=±

．

（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(

,0)2p ，

其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2

p x =-； ⑤离心率：c e a

，抛物线?1e =．

3．直线与圆锥曲线的位置关系．

（1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．

（2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切；

（3）相离：0?

（4）弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，

则A B 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则A B ＝212

11y y k

，若弦AB

所在直线方程设为x ky b =+，则A B 12y y -．

4．圆锥曲线的统一定义．

平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e 的点轨迹．当10<e 时，它表示双曲线；1=e 时，它表示抛物线．其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线．

第五节曲线与方程（理）

●知识精要

1．方程的曲线与曲线的方程．

一般地，如果曲线C 上点的坐标（y x ,）都是方程0),(=y x y 的解，且以方程0),(=y x y 的解（y x ,）为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程0),(=y x y 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x y 的曲线．

2．动点轨迹方程．

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，

再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）．

一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱，平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．棱柱的特点：两个底面全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．当棱柱的一个底面收缩为一个点时得到的几何体叫做棱锥．棱锥的特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，即棱台是棱锥被平行于底面的一个所截后，截面与底面之间的部分． 2．圆柱、圆锥、圆台、球．

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边叫做母线．半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球，半圆弧旋转而形的曲面叫做球面． 3．三视图．

视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图． 4．表面积与体积．

直棱柱、正棱锥与正棱台的侧面积：（1）直棱柱：直棱柱的侧面积S ＝底面周长×侧棱长；（2）正棱锥：正棱锥的侧面积S ＝

×底面周长×斜高；（3）正棱台：正棱台的侧面积S ＝12

×（上底

面周长+下底面周长）×斜高. 柱、锥、台的体积：（1）柱体：体积＝底面积×高，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；（2）锥体：体积＝

第二节点、直线、平面之间的位置关系

●知识精要

1．平面基本性质（三个公理和三条推论）．

（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内．（2）公理2：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面．推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．（3）公理3、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上．

2．两直线的位置关系．

（1）三种位置关系：相交直线――有且只有一个公共点；平行直线――在同一平面内，没有公共点；异面直线――不在同一平面内，也没有公共点．

（2）线线平行判定：公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；面面平行性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

（3）线线垂直判定：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直．

3．直线与平面的位置关系：

（1）二种位置关系：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行．其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外．

（2）线面平行判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；

面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行．

（3）线面垂直判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；面面垂直性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

4．平面与平面的位置关系：

（1）二种位置关系：平行――没有公共点；相交――有一条公共直线．

（2）面面平行的判定：如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行；垂直于同一直线的两平面平行．

（3）面面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

第三节空间向量（理）

●知识精要

1．共线向量定理．对空间任意向量→

b与非零向量

→

a共线的充要条件是存在实数λ，使得

3．空间向量的基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量→

p，存在唯

一的有序实数组)

x，使得→

p=x e1+ y e2 + z e3 ．

4．空间向量的线性运算．

设→

a =),,(321a a a ，→

b =),,(321b b b ，则→

a +→

b =),,(332211b a b a b a +++，

→

a -→

b =),,(332211b a b a b a ---，=→

a λ),,(321a a a λλλ，R ∈λ．

b a b a b a ++++++． 5．空间向量平行与垂直．

设→

a =),,(321a a a ，→

b =),,(321b b b ，

→

a ∥→

b ?≠→

)0(a )(,,,332211R a b a b a b ∈===λλλλ；

b =0?332211b a b a b a ++．

第四节空间向量在立体几何中的应用（理）

●知识精要

1．异面直线所成的角．范围：(0,

θ∈．设a 、b

分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直

线所成的角α，则||

cos b a ?=α,α=arccos ||||||a b

a b

．异面直线所成角的范围：(0,]2πθ∈． 2．直线和平面所成的角：设l 是斜线l 的方向向量，n

是平面α的法向量，则斜线l 与平面α

所成的角α,则||sin n l ?=α，||arcsin n l ?=α（平面的法向量与直线的方向向量的夹

．直线和平面所成角的范围：[0,90]

． 3．二面角．法一：在α内a l ⊥，在β内b

l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角

a b

a b ．法二：转化为两个平面的法向量所成的角，若二面角的两

个半平面的法向量都是指向二面角的内部或外部，二面角的两个半平面的法向量的夹角的补角即为所求；若二面角的两个半平面的法向量一个指向二面角的内部，一个指向外部，二面角的两个半平面的法向量的夹角即为所求．具体地：

设12,,n n

是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，

其方向一个指向

内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角>=<21,n n α，

><=21,cos cos n n αα=12

12arccos ||||

n n n n ，若都是指向二面角的内部或外部，><-=21,n n πα，><-=21,cos cos n n α，arccos 21-=πα，则两异面直线所成的角α，则

||cos =α,α=arccos ||||||a b

第一节任意角的概念、弧度制、三角函数的定义

●知识精要 1．任意角．

角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形，规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果射线没有作任何旋转时，那么也把它看作一个角，叫做零角．射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边．

象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

终边相同的角的表示：一般地，α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z .

2．弧度制．弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22

S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈

3．三角函数．

任意角的三角函数的定义：一般地，设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.

第二节三角函数的基本公式及恒等变换

●知识精要

1．同角三角函数的基本关系式．x x

x x x tan cos sin ,

1cos sin

==+．

2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式．

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±，βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±，

αβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

±，αααcos sin 22sin =，ααα22sin 211cos 22cos -=-=，

αα2

tan 1tan 22tan -=

4．恒等变换．（1）变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

（2）公式变形：如)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+，2

tan

sin cos 1cos 1sin α

1．周期函数．一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做数)(x f 的最小正周期．一般地，函数)sin(?ω+=x A y 及)cos(?ω+=x A y （其中?ω,,A 为常数），且0,0>≠ωA 的周期ω

T ．

2．正弦函数和余弦函数的图象．正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

3,,

,222

πππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线

和余弦曲线在一个周期内的图象.

3．正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质．

（1）定义域：都是R.

（2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =，当()22

∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，

当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1.

（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和

()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||

T πω=

（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2

x k k Z π

π=+

∈；余弦函数

cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是

(),02k k Z ππ??+∈ ???

，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低

点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）.

（5）单调性：()sin 2,22

()32,222k k k Z ππππ?

?++∈????

单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在

[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增.特别提醒，别忘了k Z ∈！

4．正切函数tan y x =的图象和性质．

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值．

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期

π.

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π

???

()k Z ∈. （5）单调性：正切函数在开区间(),

2sin sin sin a b c R

A B C

===(R 为三角形外接圆的半径)．

注意：①变式：

()sin sin sin i a b c A B C

::=::；

()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R

2c R

；

()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定

理，则务必注意可能有两解.

2．余弦定理．222

2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc

+-=+-=等，常选用余弦定理判定三角形的形状

或求角.

3．三角形面积公式．111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）．

第六章平面向量

第一节平面向量的概及应用 ●知识精要

1．向量．既有大小又有方向的量称为向量，向量的大小称为向量的长度（或称为模），长度为0的向量称为零向量，记作：0，长度为1的向量叫单位向量，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（也叫共线向量），长度相等且方向相同的向量叫相等向量，长度相等方向相反的向量叫做相反向量．

2．向量的线性运算．向量加法：设,A B a B C b ==

，那么向量A C 叫做a 与b 的和，即a b A B B C A C +=+= ．向量的减法：设,,AB a AC b a b AB AC C A ==-=-=

那么（由减向量的

终点指向被减向量的终点）．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长

度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=

当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa

的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，0a λ= ．向量共线定理：→a ∥→b ?≠→)0(a )(R a b ∈=λλ

．

3．平面向量基本定理．如果e 1 ，e 2是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量

→

p ，有且只有一对实数21,λλ，使得→

p = 1λe 1 + 2λe 2 ，不共线向量e 1 ，e 2叫做表示这一平面内所

有向量的一组基底．

4．平面向量的坐标运算．设1122(,),(,)a x y b x y ==

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±

，12)y y ±．②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ== ．

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向

线段的终点坐标减去起点坐标．④向量的模：2222

||||a a a x y ===+

．⑤两点间的距离：

若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =．

第二节平面向量的数量积

●知识精要

1．平面向量的数量积．如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ

叫

做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θ

．规定：零向量与任一

向量的数量积是0．非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ?= ．

设1122(,),(,)a x y b x y ==

，则：

平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+

．

向量平行(共线)的充要条件：0//1221=-?y x y x b a 2

2()(||||)a b a b ??=

．

向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-

12120x x y y ?+=．

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式． ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥．

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)

(1)

n f n f n a n f n =??

=?≥?-?．

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥． ⑸已知

1()n n

a f n a +=求n a ，用累乘法：1

2112

n n n n a a a a a a a a ---=

???

? (2)n ≥．

⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）．特别地，（1）形如：1n n a pa q +=+（为p,q 为常数且1p ≠）的数列（Ⅰ）可化为1()1

n n q q a p a p p ++

--，利用等比数列求出1

n q a p +

-的表达式，进而求出n a

（Ⅱ）可由1n n a pa q +=+得n a =p 1n a -q +两式相减可得：1n n a a +-=1()n n p a a --，利用

1{}n n a a --成等比数列求出1n n a a --，再利用迭代或迭加求出n a

如已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）；

（２）形如1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）也可通过类似方式来求得n a . 更一般地，递推数列a n =ka n －1+f （n ）（k≠0,k≠1）（f （n ）为等比或等差））

还可由a n =ka n －1+b 派生出a n+1=ka n +b ，两式相减得：a n+1-a n =k （a n - a n-1）依据等比数列的定义求出其通项公式（这是二阶线性递归数列a n+1+pa n +qa n －1=0的解法），从而形如n n n qa pa a +=++12的数列可变形为211()n n n n a a a a αβα+++-=-就是21()n n n a a a αβαβ++=+-则可从

αβ+p =，αβq =-解得αβ、于是1{}n n a a α+-是公比为β的等比数列.

第二节等差数列

●知识精要

1．等差数列的有关概念．

（1）等差数列的判断方法：定义法：1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥．公式法：

①通项b an a n +=；②前n 项和Bn An S n +=2

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-.通项公式1(1)n a a n d =+-是n 的一次

函数，以（n,a n ）为坐标的一群离散点均匀地分布在直线上. 公差d=1

1--n a a n 是相应直线的斜率.当

d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减；当d=0时，{a n }为常数数列. （3）等差数列的前n 和：1()

n n n a a S +=，1(1)

d )n ，当d≠0时是n 的二次函数（缺常数项），它的图象

是过原点的抛物线上的一群孤立点.点（n ，n

Sn ）*

N n ∈）在一条直线上，此时，可以应用相应二

次函数的图象了解Sn 的增减变化及最值等问题．当d=0时，{an}是常数列，S n =na 1,此时，若a 1≠0,则S n 是关于n 的一次式；若a 1=0,则S n =0．

（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b A +=．

2．等差数列的性质．

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和2

11(1)()2

n n n d d S na d n a n -=+

是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列．

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、*

{}(,)p nq a p q N +∈{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、、

???n Sn 、 232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－，

),2(a a *

n n N n n S S ∈≥=+欧

奇；项数为奇

数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；:

(1):奇偶

S S k k =+．（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

n a n a A f n b n b B ---=

==-- 2121

(21)(21)(21)n n n n

n a n a A f n b n b B ---===--.

(7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和．

法一：由不等式组?

? ?????≥≤??

≤≥++000011n n n n

a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈．

第三节等比数列

●知识精要

1．等比数列的有关概念．

（1）等比数列的判断方法：定义法：

1(n n

a q q a +=为常数），其中

0,0n q a ≠≠或

n n n

n a a a a +-=

(2)n ≥．公式法：①通项n n kq a =；②1≠q 时，前n 项和可写成)1(n

n q k S -=

（2）等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=．当q>0且q≠1时，)(R x q y x

∈=是指数函数，而)(1R x q q

a y x

∈=

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此*)(1N n q q

a 1>0,当q>1时，数列递增；当0

时，数列递减．

（3）等比数列的前n 和：??

???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

．（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项． 2．等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2

m n p a a a = . (2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*

{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{

}n n

a b 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列

232

,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列．当1q =-，且n 为偶数时，数列232

,,n n n n n S S S S

-- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若

1q =，则{}n a 为常数列.

1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列

前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列．

(5) m n

m n m n n m S S q S S q S +=+=+.

(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶. (7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．

第四节等差数列与等比数列的综合应用

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布单调性：同增异减赋值法，典型的函数零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；；为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。定积分与微积分定积分概念定理应用性质定理含意微积分基本定理曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程：（2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=

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高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).

排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!

2020高一数学知识点总结归纳精选5篇

2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。奇偶性定义一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

高中数学知识点完整结构图

高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

教师资格证数学学科(高中数学)知识与教学能力复习重点

第一章课程知识 1.高中数学课程的地位和作用： ⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。 ⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 ⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。 ⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。 2.高中数学课程的基本理念： ⑴高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 ⑵高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。 ⑶让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 ⑷提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。 ⑸强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。 ⑹重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 ⑺强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的重要作用。 ⑻全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和过程性评价。 3.高中数学课程的目标： ⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 ⑵三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 ⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。 ⑷五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力 4.高中数学课程的内容结构： ⑴必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式） ⑵选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）： ①选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、推理与证明、复数、框图） ②选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、 2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率） ③选修系列3（6个专题） ④选修系列4（10个专题） 5.高中数学课程的主线：函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。 6.教学建议： ⑴以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

高中数学知识点总结超全

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

高考数学重点知识点汇总

高考数学重点知识点汇总高考，意味着什么?那是一座窄窄的桥，千军万马将要从这里挤过，要发挥的优势和能力，来保证自己不被淘汰。下面就是给大家带来的高考数学知识点总结，希望能帮助到大家! 高考数学知识点总结1 (1)先看“充分条件和必要条件” 当命题“若p则q”为真时，可表示为p=q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。这里由p=q，得出p为q的充分条件是容易理解的。但为什么说q是p的必要条件呢? 事实上，与“p=q”等价的逆否命题是“非q=非p”。它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。 (2)再看“充要条件” 若有p=q，同时q=p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是q的充要条件。记作p=q

回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A 成立，那么称A等价于B，记作A=B。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。 (3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。 “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。“仅当”表示“必要”。 (4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。高考数学知识点总结2 基本事件的定义：

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结一、函数 1、若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

新课标人教A版高中数学全部知识点归纳总结

高三第一轮复习资料（注意保密）引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结公式大全

高一数学知识要点与公式总结高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大全高一数学公式大全总结高一数学知识点总结及公式大全高一数学知识要点与公式总结1)、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号，表示。 (3)常用数集的符号表示：自然数集 ;正整数集、 ;整数集 ;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2)、集合中元素的个数的计算： (1)若集合中有 n 个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。

3)、若 ; 则是的充分非必要条件 ; 若 ; 则是的必要非充分条件 ; 若 ; 则是的充要条件 ; 若 ; 则是的既非充分又非必要条件 ; 4)、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ; 5)、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的 1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个否定 1)、映射与函数： (1)映射的概念： (2)一一映射： (3)函数的概念： 2)、函数的三要素：，，。 (1)函数解析式的求法：①定义法(拼凑)：②换元法： ③待定系数法：④赋值法： (2)函数定义域的求法：含参问题的定义域要分类讨论; 对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来

高中数学知识大全(完整)

第一章集合和命题 1. 集合及其表示法能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性；集合常用大写字母A 、B 、 C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ?，读作“a 不属于A ” 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、 -R ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作?；集合的表示方法常用列举法和描述法；将集合中的元素一一列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；

2. 集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?，读作“A 包含于B”或“B 包含A”；空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ?，不要遗漏?=A 的情况；对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ；用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图；对于两个集合A 和B ，如果B A ?且A B ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；对于两个集合A 和B ，如果B A ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠ ?或 A B ≠ ?，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”；对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠ ≠ ≠ ???； 3. 集合的运算一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ；由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ；在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ?∈=,| 德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=； C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；

高一数学必修一重点知识点总结

高一数学必修一重点知识点总结一、集合一、集合相关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图： 4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集：如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AB,BC,那么AC ④如果AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210

高中数学知识结构图(理科)

高中数学知识结构图集合的概念与表示方法集合集合的性质集合之间的关系与运算解析法函数的概念与表示方法列表法图像法定义域函数的三要素对应关系值域单调性奇偶性函数的性质周期性极值最值一次、二次函数反比例函数基本初等函数指数函数与对数函数图像、性质和应用函数函数的分类幂函数复合函数三角函数分段函数函数图像及其变换平移、对称、翻折和伸缩变换概念反函数存在条件与原函数的关系函数与方程函数的零点对应方程的解函数的应用建立函数模型任意角弧度制与三角函数同角三角函数关系诱导公式三角函数中的公式和角、差角公式二倍角公式与半角公式三角函数和差化积与积化和差公式正弦函数三要素三角函数余弦函数性质正切函数图像及其变换正弦定理解三角形余弦定理三角形面积

柱体结构椎体空间几何体台体三视图和直观图球体简单组合体表面积与体积点、直线、平面的位置关系点、直线、平面的关系直线、平面平行的性质和判定直线、平面垂直的性质和判定立体几何点到点的距离点到直线的距离空间距离点到平面的距离直线到平面的距离平行平面间的距离异面直线形成的角空间的角直线与平面形成的角倾斜角、斜率和截距点斜式斜截式直线直线与方程两点式截距式一般式直线之间的位置关系垂直与平行的条件圆与方程一般方程与标准方程几何圆点与圆的位置关系位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系解析几何圆锥曲线椭圆定义及标准方程双曲线性质离心率点到点的距离点到直线的距离平面距离点到圆的距离两平行线的距离直线到圆的距离相离圆的距离对称问题中心对称关于点对称轴对称关于直线对称平面向量概念向量加减法向量运算向量的数乘向量的数量积空间向量几何意义及应用

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版

一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. 2、如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

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