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2019-2020年高一上册期末数学试题(有答案)-原创精品

北京市东城区高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）

A．{0} B．{2} C．?D．{﹣2，0，2}

2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）

A．B．C．6 D．7

3．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）

A．6 B．4 C．D．3

4．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3

5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：

①与；

②与；

③与；

④与．

其中可作为该平面其他向量基底的是（）

A．①②B．①③C．①④D．③④

6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）

A．g（）=﹣1 B．

C． D．

7．（3分）已知，，c=log

5，则（）

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b

8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

9．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，

折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500

×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）

A．55% B．65% C．75% D．80%

10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）

A．B．C．D．

11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）

A．B．C．D．

12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）

A．2 B．1 C．0 D．不确定的

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

13．（4分）函数的定义域为．

14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=；tan（π﹣α）= ．15．（4分）已知9a=3，ln=a，则= ．

16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．

17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=．

18．（4分）已知函数若存在

1，

∈R，

≠

，使f（

）=f（

）成立，

则实数a的取值范围是．

三、解答题：本大题共4个小题，40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（10分）已知全集U=R，集合A={∈R|2﹣3≥0}，B={|1＜＜2}，C={∈N|1≤＜a}．（Ⅰ）求A∪B；

（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；

（Ⅲ）若A∩C=?，求实数a的取值范围．

20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．

21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．

22．（10分）已知函数f（），定义

（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；

（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；

（Ⅲ）当时，求h（）=cos?F（+sin）的零点个数和值域．

北京市东城区高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（3分）已知集合M={∈R|2+2=0}，N={2，0}，则M∩N=（）

A．{0} B．{2} C．?D．{﹣2，0，2}

【解答】解：由题意知，M={∈R|2+2=0}={﹣2，0}，

又N={2，0}，则M∩N={0}，

故选A．

2．（3分）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（）

A．B．C．6 D．7

【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，

由已知可得：l=3，r=2，

则由l=rα，可得：α==．

故选：B．

3．（3分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）

A．6 B．4 C．D．3

【解答】解：∵∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），⊥，

∴=﹣3+=0，

解得=3，∴=（3，3），

∴||==3．

故选：C．

4．（3分）二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，则a﹣b=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．3

【解答】解：二次函数f（）=a2+b+1的最小值为f（1）=0，

∴=1，且a＞0，

∴b=﹣2a，

∴f（1）=a+b+1=0，

解得a=1，b=﹣2，

∴a﹣b=3，

故选：D

5．（3分）设点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：

①与；

②与；

③与；

④与．

其中可作为该平面其他向量基底的是（）

A．①②B．①③C．①④D．③④

【解答】解：如下图所示：

①与不共线，故①可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；

②与共线，故②不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；

③与不共线，故③可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；

④与共线，故④不可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底；故选：B．

6．（3分）已知函数f（）=|﹣1|，则与y=f（）相等的函数是（）

A．g（）=﹣1 B．

C． D．

【解答】解：对于A，函数g（）=﹣1（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的对应关系不同，不是相等函数；

对于B，函数h（）==|﹣1|（≠1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，不是相等函数；

对于C，函数s（）==﹣1（≥1），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；

对于D，函数t（）==|﹣1|（∈R），与函数f（）=|﹣1|（∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．

故选：D．

7．（3分）已知，，c=log

5，则（）

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b

【解答】解：=，1＜=log

34＜log

5=c，

∴c＞b＞a．

故选：A．

8．（3分）已知函数，若g（）=f（）﹣m为奇函数，则实数m的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

【解答】解：∵函数，g（）=f（）﹣m为奇函数，

∴g（﹣）+g（）=0，即2+﹣m+2﹣﹣m=0，

∴m=2．

故选C．

9．（3分）某商场在2017年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价1500元，则购买该商品的实际付款额为1500

×0.8﹣200=1000元．设购买某商品的实际折扣率=，某人欲购买标价为2700元的商品，那么他可以享受的实际折扣率约为（）

A．55% B．65% C．75% D．80%

【解答】解：当购买标价为2700元的商品时，

产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，

故实际付款：2160﹣400=1760，

故购买某商品的实际折扣率为：≈65%，

故选：B

10．（3分）将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（）的图象，则g（）图象的一条对称轴的方程是（）

A．B．C．D．

【解答】解：将函数=cos的图象上所有点向左平行移动个单位长度，

得到函数g（）=cos（+）的图象，

令+=π，求得=π﹣，∈，

则g（）图象的一条对称轴的方程为=，

故选：D．

11．（3分）若函数y=f（）的定义域为{|﹣2≤≤3，且≠2}，值域为{y|﹣1≤y≤2，且y≠0}，则y=f（）的图象可能是（）

A．B．C．D．

【解答】解：A．当=3时，y=0，∴A错误．

B．函数的定义域和值域都满足条件，∴B正确．

C．由函数的图象可知，在图象中出现了有2个函数值y和对应的图象，∴C错误．

D．函数值域中有两个值不存在，∴函数的值域不满足条件，∴D错误．

故选：B．

12．（3分）关于的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）

A．2 B．1 C．0 D．不确定的

【解答】解：由题意a=﹣2+2+a，﹣2+2+a＞0．

令f（）=a，g（）=﹣2+2+a，

（1）当a＞1时，

f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，

g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（）＜g（），

∵g（）在＜0及＞1时分别有一个零点，而f（）恒大于零，

∴f（）与g（）的图象在＜0及＞1时分别有一个交点，

∴方程有两个解；

（2）当a＜1时，

f（）=a在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，

g（）=﹣2+2+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），

∴在（0，1）上f（）与g（）有一个交点，

又g（）在＞1时有一个零点，而f（）恒大于零，

∴f（）与g（）的图象在＞1时还有一个交点，

∴方程有两个解．

综上所述，方程有两个解．

故选：A．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

13．（4分）函数的定义域为（﹣∞，3] ．

【解答】解：函数，

∴3﹣≥0，

解得≤3，

∴函数y的定义域是（﹣∞，3]．

故答案为：（﹣∞，3]

14．（4分）已知角α为第四象限角，且，则sinα=﹣；tan（π﹣α）= 2．

【解答】解：∵角α为第四象限角，且，则sinα=﹣=﹣，

tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，

故答案为：﹣；2．

15．（4分）已知9a=3，ln=a，则= ．

【解答】解：由9a=3，

∴32a=3，

∴2a=1，

∴a=，

∴ln==ln，

∴=

故答案为：

16．（4分）已知向量||=2，||=3，|+|=，那么|﹣|= ．

【解答】解：||=2，||=3，|+|=，所以|+|2=||2+||2+2=7，

所以=﹣3，

所以|﹣|2==4+9+6=19，

那么|﹣|=；

故答案为：．

17．（4分）已知，且满足，则sinαcosα=；sinα﹣cosα=﹣．

【解答】解：∵，且满足，

∴+==8，∴sinαcosα=，

∴sinα＜0，cosα＜0，且si nα＜cosα．

∴sinα﹣cosα=﹣=﹣=﹣=﹣，

故答案为：；﹣．

18．（4分）已知函数若存在

1，

∈R，

≠

，使f（

）=f（

）成立，

则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当≥0时，2﹣1≥0，

当＜0时，

若a=0，则f（）=2恒成立，满足条件；

若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在

1，

∈R，

≠

，使f（

）=f（

）成立，则2﹣3a＞0，

即a∈（0，）；

若a＞0，则f（）＜2﹣3a，若存在

1，

∈R，

≠

，使f（

）=f（

）成立，则2﹣3a＞0，

即a∈（0，）；

若a＜0，则f（）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；

故答案为：（﹣∞，）

（Ⅱ）若C中恰有五个元素，求整数a的值；

（Ⅲ）若A∩C=?，求实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）集合A={∈R|2﹣3≥0}=[，+∞），B={|1＜＜2}=（1，2），

∴A∪B=（1，+∞），

（Ⅱ）∵C={∈N|1≤＜a}，C中恰有五个元素，则整数a的值为6，

（Ⅲ）∵C={∈N|1≤＜a}=[1，a），A∩C=?，

当C=?时，即a＜1时满足，

当C≠?，可得1≤a≤2，

综上所述a的范围为（﹣∞，2]

20．（10分）已知函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）将f（）图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）的图象，若h（）的最小正周期为π，求ω的值和h（）的单调递增区间．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数与g（）=cos（2+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，

∴sin﹣=cos（+φ），即 cos（+φ）=0，∴+φ=，∴φ=．

（Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标变为原的倍，得到h（）=sin （ω）﹣的图象，

若h（）的最小正周期为=π，∴ω=2，h（）=sin（2）﹣．

令2π﹣≤2≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得h（）的增区间为[π﹣，π+]，∈．

21．（10分）已知函数f（）=2+2为奇函数，函数g（）=a f（）﹣1（a＞0，且a≠1）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求g（）在[﹣1，2]上的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）=2+2为奇函数，

∴f（﹣）=﹣f（），即2﹣2=﹣2﹣2，

∴=0；

（Ⅱ）g（）=a2﹣1，

0＜a＜1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递减，=2时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a4﹣1；

a＞1，函数g（）在[﹣1，2]上单调递增，=﹣1时g（）在[﹣1，2]上的最小值为a﹣2﹣1．22．（10分）已知函数f（），定义

（Ⅰ）写出函数F（2﹣1）的解析式；

（Ⅱ）若F（|﹣a|）+F（2﹣1）=0，求实数a的值；

（Ⅲ）当时，求h（）=cos?F（+sin）的零点个数和值域．

【解答】解：（Ⅰ）定义，

当2﹣1＞，可得＞1，则F（2﹣1）=1；

当2﹣1=，可得=1，则F（2﹣1）=0；

当2﹣1＜，可得＜1，则F（2﹣1）=﹣1；

可得F（2﹣1）=；

（Ⅱ）当＞1时，F（2﹣1）=1，F（|﹣a|）=﹣1，

即有|﹣a|＜恒成立，即为a2≤2a在＞1恒成立，

即有a2≤2a，解得0≤a≤2；

当=1时，F（2﹣1）=0，F（|﹣a|）=0，

可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；

当＜1时，F（2﹣1）=﹣1，F（|﹣a|）=1，

即有|﹣a|＞恒成立，即为a2≥2a在＜1恒成立，

即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；

则a的值为0或2；

（Ⅲ）当时，h（）=cos?F（+sin）=0，可得cos=0或F（+sin）=0，

即有=；+sin=，即sin=0，解得=π，

则h（）的零点个数为2；

当+sin＞，即≤＜π时，h（）=cos∈（﹣1，]；当+sin=，即=π时，h（）=0；

当+sin＜，即π＜≤时，h（）=﹣cos∈[，1）．综上可得，h（）的值域为（﹣1，1）．