初三九年级数学上册数学压轴题试题(WORD版含答案)
初三九年级数学上册数学压轴题试题（WORD版含答案）
一、压轴题
1．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．
（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．
2．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
3．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O 上的两点．若∠APD＝∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”．
（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；
（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长． 4．已知：如图1，在
O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点
E ．
（1）求E ∠的度数；
（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣
1
3
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．
（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值． （2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF
（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.
（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.
7．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．
（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
8．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，
连GD ．是否存在点P ，使
2GD
GO
=？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.
9．如图1,已知菱形ABCD 的边长为23，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为(?3，3),抛物线y=ax 2+b(a≠0)经过AB 、CD 两边的中点.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移(如图2),过点B 作BE ⊥CD 于点E,交抛物线于点F,连接DF.设菱形ABCD 平移的时间为t 秒(0 )1 2 (0y ax x c a =- +≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线1 22 y x = -经过点,B C ． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是 t ． ①当PCM ?是直角三角形时，求点P 的坐标； ②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）． 11．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线 2x =． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点． ①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点 Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式； ②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、 b ．当点M 在y 轴上时，直接写出 m a m b --的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m a m b --为一个定值，并求出这个值． 12．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）． （1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ； （2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长； （3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、压轴题 1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】 （1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题； （2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF= 1 2 ∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】 （1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502 BEF EBF BFE -∠∠=∠= = ，即50BFD ∠= ∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥ ∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，100 5022 BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB （2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF 由（1）可知：EB=EF=EC ∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF= 1 2 ∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠ ∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M ∵8090BEF ∠=< ∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】 本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解． 2．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解； （2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解； （3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解． 【详解】 解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ， ∴OA ＝OC ＝5， ∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）， ∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1）， ∴5＝ ()() 22 0+10a a -+-， ∴a ＝3， ∴点B （3，4）， ∴点C （﹣3，﹣4）； （2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0）， ∴BC ＝10，AB ＝45 ，AC ＝25， ∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100， ∴BC 2＝AB 2+AC 2， ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ； （3）过定点， 理由如下： ∵将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ， ∴CO ＝DO ， 又∵CO ＝BO ， ∴DO ＝BO ＝CO ， ∴△BCD 是直角三角形， ∴∠BDC ＝90°， 如图②，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ， ∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝∠CDE ＝45°， ∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH， ∴CH＝BH，∠BHC＝90°， ∵BC＝10， ∴BH＝CH＝，OH＝OB＝OC＝5， 设点H（x，y）， ∵点H在第四象限， ∴x＜0，y＞0， ∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50， ∴x＝4，y＝3， ∴点H（4，﹣3）， ∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）． 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．（1）∠DPC是直径AB的回旋角，理由见解析；（2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，证明见解析；（3）3或23． 【解析】 【分析】 （1）由∠BPC＝∠DPC＝60°结合平角＝180°，即可求出∠APD＝60°＝∠BPC，进而可说明∠DPC是直径AB的回旋角； （2）延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角相等，可得出∠APE＝∠APD，由圆的对称性可得出∠E＝∠D，由等腰三角形的性质可得出∠E＝ ∠C，进而可得出∠D＝∠C，利用三角形内角和定理可得出∠COD＝∠CPD，即“回旋 角”∠CPD的度数＝CD的度数； （3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC，利用（2）的方法可得出点P，D，F在同一条直线上，由直径AB的“回旋角”为120°，可得出∠APD＝∠BPC＝30°，进而可得出∠CPF＝60°，即△PFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD＝60°．连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD ＝120°，根据等腰三角形的性质可得出CD＝2DG，∠DOG＝1 2 ∠COD＝60°，结合圆的直径 为26可得出CD＝PCD的周长为DF＝24，过点O作 OH⊥DF于点H，在Rt△OHD和在Rt△OHD中，通过解直角三角形可得出OH，OP的值，再根据AP＝OA﹣OP可求出AP的值；②当点P在半径OB上时，用①的方法，可得：BP＝3，再根据AP＝AB﹣BP可求出AP的值．综上即可得出结论． 【详解】 （1）∵∠BPC＝∠DPC＝60°， ∴∠APD＝180°﹣∠BPC﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠APD＝∠BPC， ∴∠DPC是直径AB的回旋角． （2）“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数，理由如下： 如图2，延长CP交圆O于点E，连接OD，OC，OE． ∵∠CPB＝∠APE，∠APD＝∠CPB， ∴∠APE＝∠APD． ∵圆是轴对称图形， ∴∠E＝∠D． ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠C， ∴∠D＝∠C． 由三角形内角和定理，可知：∠COD＝∠CPD， ∴“回旋角”∠CPD的度数＝CD的度数． （3）①当点P在半径OA上时，在图3中，过点F作CF⊥AB，交圆O于点F，连接PF，则PF＝PC． 同（2）的方法可得：点P，D，F在同一条直线上． ∵直径AB的“回旋角”为120°， ∴∠APD＝∠BPC＝30°， ∴∠CPF＝60°， ∴△PFC是等边三角形， ∴∠CFD＝60°． 连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于点G，则∠COD＝120°， ∴CD＝2DG，∠DOG＝1 2 ∠COD＝60°， ∵AB=26，∴OC=13， ∴ 3 2 CG ∴CD＝2×133 2 ＝133 ∵△PCD的周长为24+133，∴PD+PC+CD＝24+133， ∴PD +PC ＝DF ＝24． 过点O 作OH ⊥DF 于点H ，则DH ＝FH ＝ 1 2 DF ＝12． 在Rt △OHD 中，OH ＝222213125OD DH -=-=, 在Rt △OHP 中，∠OPH ＝30°， ∴OP ＝2OH ＝10， ∴AP ＝OA ﹣OP ＝13﹣10＝3； ②当点P 在半径OB 上时， 同①的方法，可得：BP ＝3， ∴AP ＝AB ﹣BP ＝26﹣3＝23． 综上所述，AP 的长为：3或23． 【点睛】 此题是圆的综合题，考查圆的对称性质，直角三角形、等腰三角形与圆的结合，（3）是此题的难点，线段AP 的长度由点P 所在的位置决定，因此必须分情况讨论. 4．（1）60E ∠=?（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解． 【解析】 【分析】 （1）根据AD BD ⊥得到AB 是直径，连接OC 、OD ，发现等边三角形，再根据圆周角定理求得30EBD ∠=?，再进一步求得E ∠的度数； （2）分别画出三种图形，图2中，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可以求得；图3中，根据三角形的外角的性质和圆周角定理可以求得；图4中，根据切线的性质发现直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得． 【详解】 解：（1）连接OC 、OD ，如图： ∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=? ∴30DBE ∠=? ∴60E ∠=? （2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60? 证明：连接OD 、OC 、AC ，如图： ∵1OD OC CD === ∴OCD 为等边三角形 ∴60COD ∠=? ∴30DAC ∠=? ∴30EBD ∠=? ∵90ADB ∠=? ∴903060E ∠=?-?=? ②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60? 证明：连接OC 、OD ，如图： ∵AD BD ⊥ ∴AB 是直径 ∴1OC OD CD === ∴OCD 是等边三角形 ∴60COD ∠=? ∴30DBE ∠=? ∴903060BED ∠=?-?=? ③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60? 证明：如图： ∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为 O 的切线 ∴90ABE ∠=? ∵90ADB ∠=?，1CD =，2AD = ∴30A ∠=? ∴60E ∠=?． 故答案是：（1）60E ∠=?（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60?；证明过程见详解． 【点睛】 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、圆内接四边形的性质．此题主要是能够根据圆周角定理的推论发现AB 是直径，进一步发现等边COD △，从而根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解． 5．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)． 【解析】 【分析】 （1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90?，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45?，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45?，所以∠OEF ＝45?，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题． （2）由直线l 与直线AC 成45?可知∠AMN ＝45?，由直线AC 解析式可设M 点坐标为 （x ，1 22 x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标． 【详解】 解：（1）过A 点作AK ⊥CE ， 在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90?，AC ＝BC ， ∵CE ⊥x 轴， ∴∠ACK +∠ECB ＝90?，∠ECB +∠CBE ＝90?， ∴∠ACK ＝∠CBE 在△AKC 和△CEB 中， AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠?? ∠=∠??=? ， △AKC ≌△CEB （AAS ） ∴AK ＝CE ，CK ＝BE ， ∵四边形AOEK 是矩形， ∴AO ＝EK ＝BE ， 由直线l ：y ＝﹣1 3 x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0） ∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4）， ∵∠CDB ＝∠CEB ＝90?， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆， ∵CD CD =，∠CBA ＝45?， ∴∠CED ＝45?， ∴FE 平分∠CEO ， 过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ． ∴PH ＝PQ ， ∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ， ∴OE ＝4， ∴AP +PQ ≥4， ∴AP +PQ 的最小值为4． （2）∵A 点坐标为（0，2），C 点坐标为（4，4）， 设直线AC 解析式为：y ＝kx+b 把（0，2），（4，4）代入得244b k b =?? =+? 解得122 k b ? =???=? ∴直线AC 解析式为：y ＝1 2 2 x+， 设M点坐标为（x，1 2 2 x+），N坐标为（0，y）． ∵MN∥AB，∠CAB＝45?， ∴∠CMN＝45?， △CMN为等腰直角三角形有两种情况： Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90?，MN＝CN． 同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR． ∴ 4 1 24 2 x y x y -=- ? ? ? +-= ?? ，解得： 12 8 x y =- ? ? =- ? ， ∴M点坐标为（﹣12，﹣4） Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90?，MN＝CN． 过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN． ∴ 44 1 244 2 x y x -=- ? ? ? +-= ?? ，解得： 12 12 x y = ? ? = ? ， ∴M点坐标为（12，8） 综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）． 【点睛】 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题． 6．（1）45°+ ；（2）证明见解析；（3）2BF+CF. 【解析】 【分析】 （1）过点A作AG⊥DF于G，由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD，∠BAP=∠EAF， 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=1 2 ∠BAD=45°， ∠DAG+∠BAP=45°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案； （2）由（1）可得∠FAG=1 2 ∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根据轴对称的性质可 得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可证明BF⊥DF； （3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH，根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH，由轴对称性质可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，2BF，即可证明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可证明四边形EFCH是平行四边形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代换可得CH=BF，利用SAS可证明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】 （1）过点A作AG⊥DF于G， ∵点B关于直线AF的对称点为E，四边形ABCD是正方形， ∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF， ∴AE=AD， ∵AG⊥FD， ∴∠EAG=∠DAG， ∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG， ∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°， ∴∠DAG=45°-α， ∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α. （2）由（1）得∠GAF=45°， ∵AG⊥FD， ∴∠AFG=45°， ∵点E、B关于直线AF对称， ∴∠AFB=∠AFE=45°， ∴∠BFG=90°， ∴BF⊥DF. （3）连接BD、BE，过点C作CH//FD，交BE延长线于H，∵∠BFD=∠BCD=90°， ∴B、F、C、D四点共圆， ∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°， ∵CH//FD， ∴∠DCH=∠FDC， ∴∠FBC=∠DCH， ∵∠ABC=∠BCD=90°， ∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH， ∵点E、B关于直线AF对称， ∴BF=EF， ∵∠BFE=90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠BEF=45°，2BF， ∴∠BEF=∠DFC， ∴FC//BH， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=FC，CH=BF， 在△ABF和△BCH中， AB BC ABF BCH BF CH = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴2BF+CF. 【点睛】 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质，正确得出B 、F 、C 、D 四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键. 7．（1）2114y x =-；（2）点P 37 (,)216 -；（3）(222,222M --+ 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到AB=4，根据函数对称轴x=0，得到OA=OB=2，得到A 、B 坐标，代入函数解析式即可求解； （2）首先求得直线OD 解析式，然后设P （2 1,14 t t -），得到PQ 关于t 的解析式，然后求出顶点式即可求解； （3）设点21, 14M m m ?? - ??? ，然后求得直线CM 的解析式，得到EM 的表达式，然后根据CMN CNE MNE S S S =+即可求解． 【详解】 （1）∵AB =4OC ，且C （0，-1） ∴AB=4 ∴OA=OB=2，即A 点坐标()2,0-，B 点坐标()2,0 代入A 点坐标得2021a =- 解得14 a = ∴G 的解析式为2 114 y x =- 故答案为2 114 y x = - （2）当1x =-时，34 y =-,即：点D 为（31,4--） ∴直线OD 为：34 y x = 设P （21, 14t t -），则Q 为（22141 ,1334 t t --），则： 22214141325 ()()33333212 PQ t t t t t =--=-++=--+ ∴当3 2t = 时，PQ 取得最大值2512，此时点P 位37(,)216 - （3）设点21, 14M m m ? ?- ?? ?，则N ()214,414m m ??++- ??? ∵C 点坐标为(0,1)- ∴可设直线CM 为1y kx =-，带入M 点坐标得：1 4 k m = ∴直线CM 为1 14 y mx = - 过点N 作NE y ∥轴交CM 于点E ，则E 点为()14, 414m m m ??++- ?? ? ∴4EN m =-- ∵()()1 2 CMN CNE MNE C N N M S S S x x x x EN ??=+= -+-??? ∴ ()()1 04=22 m m --- ∴2440m m +-= 解得：1222m =--，2222m =-+（舍去） ∴M () 222,222--+ 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，是二次函数部分的压轴题，题目较难，应画出示意图，然后进行讨论分析． 8．（1）y ＝x 2－4x ＋3 ；(2) P(36626--，);(3) 992 2 m -+= 【解析】 【分析】 (1)把 , ,代入 ,解方程组即可. (2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K,将绕点O 逆时针旋转90°得到△OCG, 则点G 在线段BC 上,只要证明 是等腰直角三角形,即可得到直线GO 与抛物线的交 点即为所求的点P .利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O 顺时针旋转得到 ,首先证明 ,设, ,则 , 设平移后的抛物线的解析式为 ,由消去y 得到 ,由,推出,,M 、N 关于直线对称, 所以,设,则,利用勾股定理求出a 以及 MN 的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题. 【详解】 (1), ,,代入 , 得 ,解得 , ∴抛物线的解析式为 (2)如图1中,连接OD 、BD,对称轴交x 轴于K. 由题意,,,,