专题20三角恒等变换与求值

专题20 三角恒等变换与求值

【热点聚焦与扩展】

高考对于三角恒等变换的考查，主要以公式的基本运用、计算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查,主要是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. 1、与三角函数计算相关的公式： （1）同角三角函数的基本关系式

①平方关系：sin 2α＋cos 2

α＝1(α∈R )．②商数关系：tan α＝

sin αcos α? ??

??α≠k π＋π2，k ∈Z . （2）六组诱导公式

对于角“

k π

2

±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指

“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” （3）两角和差的正余弦，正切公式：

① ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ② ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ③ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ④ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+

⑤ ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⑥ ()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=+

（4）倍半角公式：① sin 22sin cos ααα=

② 2222

cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-③ 22tan tan 21tan α

αα

=

-

（3）辅助角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a

?=

2、求未知角的三角函数值问题的解法步骤：

（1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可

3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如：43ππα??

∈

???

， ，则56122πππα??+∈ ???，）

（2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限.

（3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为

4

π

） （4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：6

sin cos 5

αα+=，可判断出α在第一象限

【经典例题】

例1．【2017课标3，文4】已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin 2α=（ ） A ．79

-

B ．29

-

C ．

29

D ．

79

【答案】A 【解析】()2

sin cos 1

7

sin 22sin cos 1

9

ααααα--==

=-- .

【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值

代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

例2.【2018届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】若，则（）

A. B. 1 C. D.

【答案】B【解析】∵tan（α+）= =﹣3，∴tanα=2，

∴cos2α+2sin2α= =1．

例3.【2018届湖南省株洲市高三统一检测（二）】设向量，若,则

( )A. B. C. -1 D. -3【答案】D

点睛：、两角和的正切公式是解题的关键．

例4.【2018届云南省曲靖市第一中学高三4月高考监测（七）】已知，若，且是锐角，则的值等于（）

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】由题意，根据求导公式、法则，

得，由，

得，结合，解得，故正确答案为D.

例5.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴

对称.若

1

sin

3

α=，cos()

αβ

-=___________.【答案】

7

9

-

【解析】

【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则

2k αβππ-=+ k Z ∈.

例6．【2017江苏，5】 若π1

tan(),46α-= 则tan α= .【答案】75

【解析】11tan()tan

7644tan tan[()]1445

1tan()tan 1446

ππ

αππααππα+-+=-+===---．故答案为75．

例7．【2018

届江西省南昌市高三第一轮复习训练】已知sin 410πα?

?

+

= ?

?

?， ,2παπ??∈ ???

. （Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 24πα?

?

-

??

?

的值. 【答案】(Ⅰ) 35-

；(Ⅱ)

50

-. 【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可。（2）根据两角和差公式得到πππ

sin 2sin2cos cos2sin 444

ααα??-

=- ?

?

?，再由二倍角公式得到sin2α， cos2α，代入公式即可。

πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα?

?-=- ???

247252252

????=-?--?

? ?????

50=-.

点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，， sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.

例8．【2018届湖北省咸宁市高三11月联考】已知()cos21f x x x =+-. （1）若()3f x =-，求tan x ；（2）若5,612ππθ??

∈?

???

， ()35f θ=，求sin2θ的值.

【答案】（1）tan x =（2.

所以226

2

x k π

π

π+

=-

， k Z ∈所以3

x k π

π=-

， k Z ∈解得tan x =（2）因为()32sin 2165f πθθ??

=+

-= ??

?，所以4sin 265πθ??+= ??

?，

因为5,612ππθ??∈?

???，所以2,62ππθπ??+∈????，所以3cos 265πθ?

?+=- ??

?，

∴sin2sin 26

6π

πθθ?

?

=+

-

= ?

?

? sin 2cos 2sin 666πππθθ?

???++= ? ????? 4313525210+???--?= ???

. 例9．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知向量()2,sin m α=， ()cos ,1n α=-，其中

0,2

πα??

∈ ??

?

，且m n ⊥.

（1）求sin2α和cos2α的值；（2）若()sin αβ-=，且0,2πβ??

∈ ???

，求角β. 【答案】（1）4sin25α=

， 3cos25α=-；（2）4

π

β=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22

cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由

二倍角公式即可得解；

（2）由()sin sin βααβ??=--??利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：（1）∵m n ⊥，∴2cos sin 0αα-=，即sin 2cos αα=. 代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且0,

2πα?

?

∈ ??

?

，

又()sin αβ-=

，∴()cos αβ-=.

∴()sin sin βααβ??=--=?? ()()sin cos cos sin ααβααβ---=

5105102

-?=

. 因0,

2πβ?

?

∈ ??

?

，得4

π

β=

.

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 例10.在ABC ?中， 1tan 3A =

， 1

tan 2

C =．

（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设B αβ+=（0α>， 0β>）sin αβ-的取值范围．

【答案】（Ⅰ）34B π=

; （Ⅱ）2??

- ? ???

.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得tanB 的值，然后结合特殊角的三角函数值求得B ∠ 的值即可；》

(2)利用题意将三角函数式化简问只含有一个角的三角函数式，然后利用三角函数的性质即可求得取值范围.

又B αβ+=（0α>， 0β>），则30,

4

πα?

?

∈ ?

?

?

， ,442πππα??-∈- ???，

∴sin 4πα???

?-∈ ? ? ?????sin αβ-的范围是?? ? ???

．

【精选精练】

1．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十四次考试】已知，则

（ ）

A. 2

B.

C. -2

D. -【答案】D

【解析】分析：先将条件化简，然后把所求式子再化简，可得结果．

详解：由题意得，∴．

点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用．

2．【2018届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断】若，则的值为（ ）

A. B. C.

D.

【答案】D

【解析】由题意，根据二倍角公式，两角差的余弦公式，得，即，两边

平方得，所以.故选D.

3．【2018届广东省佛山市普通高中高三检测（二）】若，则__________．【答案】或

所以或.

4．【2018届重庆市江津中学校高三4月月考】已知向量，且

，则等于__________．【答案】

即；故答案为．

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，其中解题的关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．

5．【2018年【衡水金卷】】已知，，则__________．【答案】

【解析】=,故=，因为

，故=，故，故.故答案为：.

6．【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非

负半轴重合，终边过点，则__________，__________．【答案】 0 【解析】∵角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边过点，

7．【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中联考】已知

()3sin 32sin 2ππαα??+=+ ???

，则2sin sin2αα+=__________.【答案】85

8．【2018届北京西城161高三上期中】已知α为锐角，且πtan 24α??

+=

???

．

（I ）求tan α的值．（Ⅱ）求

sin2cos sin cos2αααα-的值．【答案】（1）1tan 3α=（2

【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式及条件得到关于tan α的方程，解方程即可；（2）化简得

sin2cos sin sin cos2a αααα-=，由1t a n =3α可得cos 3sin αα=，结合22

sin cos 1αα+=可求得sin α=

试题解析：（Ⅰ）∵ π1tan tan 241tan α

αα

+??+==

?-??，∴1tan =22tan αα+-，∴1tan 3α=．

（Ⅱ）

(

)2sin 2cos 1

sin2cos sin 2sin cos sin sin cos2cos2cos2a ααααααα

ααα

α

---==

=．

∵1tan =

3α，∴cos 3sin αα=．∵22

sin cos 1αα+=，∴21sin 10α=，又α为锐角，∴sin α=

∴

sin2cos sin sin cos2ααααα-==

． 9．【2018届河南省南阳一中高三上学期第三次考试】已知tan 2α=. （1）求tan 4πα??

+ ??

?

的值； （2）求

2

sin2sin sin cos cos21

α

αααα+--的值. 【答案】（1）-3（2）1

（2）原式

()

2222222sin cos sin sin cos 2cos 11

2sin cos sin sin cos 2cos 2tan 221tan tan 2222αα

ααααααααααααα=

+---=

+-?===+-+- 10．【2018届重庆市铜梁县第一中学高三上学期第一次月考】已知，

.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(1)

；(2)

.

【解析】解答： 试题分析：(1) 由 ，得到2sinxcosx=

，进而得到(sinx ?cosx)2

=1?2sinxcosx= ，所

以sinx ?cosx=

；(2)由(1)得：sinx=

,cosx=,tanx=

，

利用商数关系化弦为切，带入即可

.

所以sinx ?cosx<0,(sinx ?cosx)2

=1?2sinxcosx=，所以sinx ?cosx=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,sinx+cosx=，sinx ?cosx=

,解得sinx=,cosx=,tanx=

4sinxcosx ?cos2x=

==

点睛：1．利用sin 2＋cos 2

＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan 可以实现角的弦切互

化．

2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin ＋cos ，sin cos ，sin －cos 这三个式子，利用(sin ±cos )2

＝1±2sin cos ，可以知一求二．

3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2

＋cos 2

，sin 2

＝1－cos 2

，cos 2

＝1－sin 2

. 11．已知02π

αβπ<<

<<， 1cos 43πβ?

?-= ??

?， ()4sin 5αβ+=．

（1）求sin2β的值；（2）求cos 4πα?

?

+

??

?

的值．

【答案】（1）79-；（2）3

15

.

（2）因为02

π

αβπ<<

<<，所以

32

2π

παβ<+<

，所以sin 04πβ?

?-> ??

?， ()cos 0αβ+<，

因为1

cos 43πβ?

?-

= ??

?， ()4sin 5αβ+=，所以sin 43πβ?

?-= ??

?， ()3cos 5αβ+=-， 所以()cos cos 44ππααββ???

?

??+

=+-- ? ????

????

? ()cos ?cos 4παββ??=+- ??? ()sin sin 4παββ?

?++- ???

3143

535

315??=-?+?=

???． 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可. 12．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 2sin 24C A B π??

-=-

???

．

（1）求sin cos A B 的值；（2）若

a b =

，求B ．

【答案】（Ⅰ）

1

sin cos

2

A B=；（Ⅱ）

6

B

π

=或

3

π

.

【解析】【试题分析】（１）先用二倍角的余弦公式对等式的右边进行化简，再用两角和的正弦公式分析求

高中数学函数、三角函数、三角恒等变换公式

函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a .

人教版高中数学必修四三角恒等变换题库

（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<

三角恒等变换、正余弦定理及应用5—7讲

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 【2013年高考会这样考】 1．考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值． 2．利用三角公式考查角的变换、角的范围． 【复习指导】 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等． 基础梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β； (6)T (α－β)：tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

高中数学必修四导学案：3.2.2三角恒等变换---化简、求值、应用

3．2．2三角恒等变换---化简、求值、应用 【学习目标】 1．能够进行基本的三角函数式的化简、求值，初步掌握三角变换的内容、思路和方法。并应用三角变换解决某些实际问题。 2．进一步认识三角变换的特点，提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力，提高解题中化简、推理、运算能力。 【新知自学】 知识回顾： 1、三角变换的基本特点：①注意式子的结构特征；②注意角之间的变换。 2、同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和差倍角公式。 新知梳理： 1、化简要求： (1)能求出值的就求出值； (2)使三角函数种数尽量少； (3)使项数尽量少； (4)尽量使分母不含三角函数； (5)尽量使被开方数不含三角函数． 2．化简常用方法： (1)能直接使用公式时就用公式(包括正用、逆用、变形用)； (2)常用切化弦、异名化同名、异角化同角等． 3、化简常用技巧：、 (1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质； (3)注意利用角与角之间隐含关系； (4)注意利用“1”的恒等变形． 4．灵活运用角的变形和公式变形，如2α=(α+β)+(α-β)， tanα±tanβ=tan(α±β)(1 tanαtanβ)等．

5．要重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论． 6．形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(?ω+x )的函数，使问题得到简化． 对点练习： 1、已知cos α-cos β=21，sin α-sin β=3 1，则cos(α-β)= ． 2、设－3π＜α＜－2π5，化简2) πcos(1--α． 【合作探究】

高中数学三角函数与三角恒等变换(知识点)

三角函数与三角恒等变换（知识点） 1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1180 π =弧度，1弧度180 ( )π ='5718≈. ⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211 ||22 S R Rl α= =. 2．三角函数定义： ⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的 余弦，记作cos α； y x 叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则： sin ,cos ,y x r r αα==tan y x α=. 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线： 正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4 六组诱导公式统一为“()2 k Z α±∈” ，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos α αα =（商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切：① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ② cos()cos cos sin sin αβαβ αβ±=； ③ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=； ② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα= -=-=-； ③ 2 2tan tan 21tan α αα =-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2 α α+=. （降次公式） 8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ?+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T π ω = ，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ω π = = ，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ω?+为相位；?为初相.

高一数学三角恒等变换

高一数学 三角恒等变换 一、考点、热点回顾 1、诱导公试:奇变偶不变,符号瞧象限 2、同角三角函数得基本关系式: 22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ θ cos sin ,tan 1cot θθ?= 3、与差角公式: ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ○3β αβ αβαtan tan 1tan an )tan(?±=± t 4、倍角公式: ①θ θθθ2 tan 2cos sin 22sin ==②2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=- 5、降次升角公式: ○121cos 2sin 2 θ θ-= ○22 2cos 1cos 2θθ+= ○31 sin cos sin 22θθθ= 6、万能公式: ○122tan sin 21tan θ θθ = + ○2 221tan cos21tan θ θθ -= + 7、半角公式:(符号得选择由2 θ 所在得象限确定) ①2cos 12sin θθ-±= ○22cos 12cos θθ+±= ○3sin 1cos tan 2 1cos sin θ θθ θθ -== + 8、辅助角公式: sin cos a b αα±)α?±,(tan b a ?= )、 ), tan )a b αγγ=（、 二、典型例题 1.已知角α得终边过点p(－5,12),则cos α= ,tan α= . 2.若cos θtan θ＞0,则θ就是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一、二象限角 D.第二、三象限角 3.sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2 225°得值就是 ( ) A. 14 B. 34 C. 114 D. 94 4.已知sin(π+α)=－3 5 ,则 ( ) A.cos α= 45 B.tan α= 34 C.cos α= －45 D.sin(π－α)= 3 5

高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)

3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；

因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，

三角恒等变换讲义

《三角恒等变换》 广州卓越教育集团教育学院2011级第三期数学班沈荣春 开心哈哈 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割。 制胜装备 （1）和与差的三角函数公式 （a）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； （b）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式； （c）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系； （2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换； 战前动员 失之毫厘，谬以千里 1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。 在电视上，观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象。他面带微笑叮嘱女儿说：“你学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点……” 即使是一个小数点的错误，也会导致永远无法弥补的悲壮告别。 古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中，重大事件常常就是小事所造成的后果。” 换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘，谬以千里”吧。

战况分析 扫清障碍 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan α αα = -。 3．半角公式 2cos 12 sin αα -± = 2c o s 12c o s αα+±= αααc o s 1c o s 12t a n +-±= （α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -=+= ） 4．三角函数式的化简 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 ααα2sin 21cos sin = ；22cos 1sin 2αα-=；2 2cos 1cos 2 αα+=。

三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结

三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用

考查角度2三角恒等变换与解三角形的综合应用 分类透析一三角恒等变换及应用 在△ABC中,AC=6,cos B=,C=. (1)求AB的长; (2)求cos-的值. 先利用同角三角函数关系式求出sin B,再用正弦定理求. (2)先利用A+B+C=π和两角和公式求出cos A,再求出sin A,最后用两角差公式求解. 因为cos B=,0

在如图所示的△ABC中,已知点D在BC的边上,且 AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,BD=. (1)求AD的长; cos C. 由余弦定理求得关于AD的一元二次方程,进而求出AD (2)先由cos∠BAD求得sin∠BAD,再根据正弦定理求出sin∠ADB,最后利用∠ADB=+∠C的关系求出cos C. 解析 (1)因为AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin+∠BAD=cos∠BAD,所以cos∠BAD=. 在△ABD中,由余弦定理可知, BD2=AB2+AD2-2AB AD cos∠BAD,即AD2-8AD+15=0, 解得AD=5或AD=3.由于AB>AD,所以AD=3. (2)在△ABD中,由正弦定理可知=. 又由cos∠BAD=,可知sin∠BAD=, 所以sin∠ADB==. 因为∠ADB=∠DAC+∠C=+∠C,所以cos C=. 解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未 余弦定理,注意角的范围与三角函数符号之间的联系. 分类透析三三角恒等变换与解三角形的综合应用 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 -=,D是AC边上的一点. (1)求cos B的值; (2)若AB=2,AD=2DC,BD=,求△ABC的面积. 先化简已知等式,再根据角的范围求出cos B. (2)设AD=2DC=2x,利用∠CDB=π-∠ADB和余弦定理建立方程组求出a,再由cos B求出sin B,代入S=ac sin B中,进而求出△ABC 的面积.

三角恒等变换-高考理科数学试题

（二十二） 三角恒等变换 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 三角函数的求值 1．(2017·山东高考)已知cos x ＝3 4，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18 解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝1 8 . 2．(2018·太原一模)若cos ????α－π6＝－3 3，则cos ????α－π3＋cos α＝( ) A ．－ 22 3 B ．±223 C ．－1 D ．±1 解析：选C 由cos ????α－π3＋cos α＝12cos α＋3 2sin α＋cos α＝3cos ????α－π6＝－1，故选C. 3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝ sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1 2 . 4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ???? π3－x ＝cos 2????x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.1 2 B ．－2 C.22 D. 2

解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ????x ＋π2＋12，即32cos x －1 2sin x ＝ －12sin x ＋12，所以cos x ＝3 3 .因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ????α＋π4＝3 5，则cos 2α＝( ) A.24 25 B.725 C ．－ 2425 D ．±2425 解析：选A ∵0<α<π2，cos ????α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π 2，∴sin ????α＋π4＝45，∴sin α＝sin ????????α＋π4－π4＝sin ????α＋π4cos π4－cos ????α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝2 10，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2× ????2102＝2425 .故选A. 6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ????α＋π6＝35，则sin ????α－π 12＝( ) A ．－210 B.210 C.2 2 D.45 解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π 3，因此sin ????α＋π6>0，所以sin ??? ?α＋π 6＝ 1－cos 2??? ?α＋π 6＝ 1－????352＝45.所以sin ????α－π12＝sin ??? ?????α＋π6－π4＝sin ????α＋π6cos π4－cos ????α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝2 10 . 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________. 解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12 . 答案：1 2 8．(2018·洛阳一模)已知sin ????α－π3＝14，则cos ????π 3＋2α＝________. 解析：cos ????π3＋2α＝cos ????π－2π3＋2α＝－cos 2????α－π3＝2sin 2????α－π3－1＝－7 8. 答案：－7 8

三角函数与三角恒等变换(附答案)

三角函数与三角恒等变换（A) 一、填空题（本大题共14小题,每题5分,共70分、不需写出解答过程,请把答案写在指定位置上） 1、半径就就是r,圆心角就就是α（弧度)得扇形得面积为_＿_＿＿___、 2、若,则tan(π+α)=___＿_＿__、 ３、若α就就是第四象限得角,则π－α就就是第_＿__＿__＿象限得角、 ４、适合得实数m得取值范围就就是____＿___＿、 5、若tanα=3,则ｃos2α+3ｓin2α=_____＿＿___、 6、函数得图象得一个对称轴方程就就是__＿__＿_＿___、(答案不唯一) ７、把函数得图象向左平移个单位,所得得图象对应得函数为偶函数,则得最小正值为_＿__＿_＿__＿_、 8、若方程sｉn2x+ｃos x+k＝０有解，则常数ｋ得取值范围就就是______＿＿＿_、 ９、1－sｉｎ10°·sin ３０°·sin 5０°·ｓiｎ70°＝____＿____＿、 10、角α得终边过点(４,3),角β得终边过点(-7,1),则si n(α＋β)＝______＿___、 １1、函数得递减区间就就是_＿________＿、 １2、已知函数f(x)就就是以4为周期得奇函数,且f(－1)=1,那么_＿__＿_＿＿__、 13、若函数ｙ=siｎ（x+)+cos(x+)就就是偶函数,则满足条件得为＿____＿_、 14、ｔａn3、tａn４、tan5得大小顺序就就是__＿____＿、 二、解答题(本大题共6小题，共9０分、解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤） １5、(本小题满分1４分)已知，求得值、 １6、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2si nx(ｓｉnx+c oｓx)、 (１) 求函数ｆ(x)得最小正周期与最大值; (２) 在给出得直角坐标系中,画出函数y=ｆ（x）在区间上得图象、 17、(本小题满分14分)求函数ｙ＝4si n2ｘ＋６ｃos x-6()得值域、 18、（本小题满分1６分）已知函数得图象如图所示、 (1) 求该函数得解析式； (2) 求该函数得单调递增区间、 19、(本小题满分1６分)设函数(x∈R)、 (1) 求函数f（ｘ)得值域; (2) 若对任意ｘ∈,都有|f(x）-m｜<2成立，求实数ｍ得取值范围、 20、(本小题满分1６分)已知奇函数ｆ(x）得定义域为实数集,且f(x)在[0，＋∞)上就就是增函数、当时,就就是否存在这样得实数m,使对所有得均成立?若存在,求出所有适合条件得实数m;若不存在,请说明理由、 第五章三角函数与三角恒等变换(B) 一、填空题(本大题共1４小题,每题5分,共70分、不需写出解答过程,请把答案写在指定位置上） 1、____＿_、 2、_____＿＿、 ３、已知,则得值为_____＿___、 4、已知，则________、 5、将函数ｙ＝sｉn２ｘ得图象向左平移个单位, 再向上平移１个单位,所得图象得函数解析式就就是

高一数学必修一三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。

知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】

专题20三角恒等变换与求值

专题20 三角恒等变换与求值 【热点聚焦与扩展】 高考对于三角恒等变换的考查，主要以公式的基本运用、计算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查,主要是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中sin ,cos ,tan θθθ知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. 1、与三角函数计算相关的公式： （1）同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝1(α∈R )．②商数关系：tan α＝ sin αcos α? ?? ??α≠k π＋π2，k ∈Z . （2）六组诱导公式 对于角“ k π 2 ±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指 “当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” （3）两角和差的正余弦，正切公式： ① ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ② ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ③ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ④ ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+

高一数学三角恒等变换-名校试题(答案)

三角恒等变换习题详解 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B [解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2 α 2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝1 3，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．± 17 3 B ．－ 173 C.13 D. 173 [答案] D

[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－8 9<0，∴x ∈????π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝17 9 且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝ 17 3 ，故选D. 5．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y D ．x ＞y [答案] D [解析] ∵π>A ＋B ＞π 2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选 D. 6．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π 2个单位长度 B ．向左平移π 4个单位长度 C ．向右平移π 2个单位长度 D ．向右平移π 4个单位长度 [答案] D [解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ， 将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π 4个单位得，sin2????x －π4＝sin ????2x －π2＝－sin ??? ?π 2－2x ＝－cos2x ，故选D. 7．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( ) A ．－2cos α 2 B ．2cos α 2 C ．－2sin α 2 D ．2sin α 2 [答案] C [解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π 4. ∴1＋sin α＋1－sin α

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）

A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．