线性代数习题及答案(复旦版)1
线性代数习题及答案
习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2.
【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n
1)=
(1)
2
n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n
1).
2. 略.见教材习题参考答案.
3. 略.见教材习题参考答案.
4. 本行列式4512312
123122x x x D x x
x
=
的展开式中包含3x 和4
x 的项.
解： 设 123412341234
()
41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ
=
-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素
的行下标，则4D 展开式中含3
x 项有
(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=-
4D 展开式中含4x 项有
(1234)4(1)2210x x x x x τ-????=.
5. 用定义计算下列各行列式.
(1)
0200
001030000004
； (2)1230
0020
30450001
.
【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.
6. 计算下列各行列式.
(1)
2
141312112325
62
-----； (2) ab
ac ae bd
cd de bf
cf
ef
-------； (3)
100110
0110
1
a b c d ---； (4) 1234
2341
34124123
. 【解】(1) 12
50623121012325
62
r r D
+---=--;
(2) 111
4111111
D abcdef abcdef --==------;
21
011
111(3)(1)1
1
101100
101
1;
b c D a a b cd c c d d d d
abcd ab ad cd --?--?
=+-=+++--????=++++ 32122113314214
41
2102341023410234
1034101130113
(4)160.104120222004410
1
2
301110
004
r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=
==
=-------
7. 证明下列各式.
(1) 22
222()111
a a
b b a a b b a b +=-；
(2) 2222
2
222
2
222
2
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++； (3) 2
322
32232
111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++
(4) 20000()000
n n a b a b D ad bc c d c
d
=
=-O
N
N O
；
(5)
1
211111
1111111
1n
n i i i i n
a a a a a ==++??=+ ???+∑∏L L M M M . 【证明】(1)
13
23
2
23()()()2()2001
()()()()()2()21
c c c c a b a b b a b b a b a b b
a b a b b a b a b b
a b a b a b a b --+--=--+--+=
=-=-=--左端右端.
(2) 3221
3142
41
2
222-2-2
2
32
2
21446921262144692126021
44
69
2126214469
2126
c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c
c c c c
c d d d d d d ---++++++++=
=
==++++++++左端右端.
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
23
2
3
232
3
11()()()()()()()(*)11x
x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c =
=------
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为
2
22
1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c
c ++---=++
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故
2
3112
32
3
1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得
22(1)2(1)2(1)00000
00
(),
n n n n a b a
b
a b a b D a
b
c d
c d
c d c d d c ad D bc D ad bc D ---=-=?-?=-O
N O
N
N O
N
O
据此递推下去，可得
222(1)2(2)
112()()()()()()n n n n n n
D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-L 2().n n D ad bc ∴
=-
(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.
当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.
按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：
11
221
1211111011111110111111101
1
1
1
1
1
1
.
n n n
n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=
++=+L L L
L
L
L L L L L L L L L L L
L
L
但由归纳假设
1112111
1,n n n i i
D a a a a ---=??+= ???
∑
L 从而有
11211211121111
111111.
n n n n n i i n n n
n n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===??
+=+ ?
??
?
???++== ? ?????∑∑∑∏L L L
8. 计算下列n 阶行列式.
(1) 11
11
11n x x D x
=
L
L M M M
L
(2) 1222222222322
22n D n
=L L L L
L L L L L
； (3)0000
00
000000n x y x y D x y y x
=L L L
L L L L L L L . (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-=L ； (5)210001210001200
0002100012
n D =
L
L L
M M M
M M L L
. 【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n 1),得
11111
[(1)]
,11n x D x n x
=+-L L M M M L 将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得
11
11
110
[(1)]
(1)(1).0
1
n n x D x n x n x x --=+-=+---L
L M M M L
(2) 21311
1222210000
101001002010002
n r r n r r r r D n ---=
-M
L
L L L M M M M M L
按第二行展开22220
100
2(2)!.0
0200002
n n =---L L L M M M M L
(3) 行列式按第一列展开后，得
1(1)(1)(1)10000000000000(1)0
000000
00
0(1)(1).
n n n n n n n n x y y x y x y D x y x y x y y x
x
y
x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+-L L L L M M M M M M L L M M M
M M L
L
(4)由题意，知
1112121222120121101221031230
n n
n n n nn
n a a a n a a a D n a a a n n n --=
=----L L L L
L M M M
M M M
M L
L
1
2
21
1111111111
111111
1
1
1
1
n n ------------L
L L
M M M
M M L L
后一行减去前一行
自第三行起后一行减去前一行
01221122111111200002000020000000002
2
n n n n --------=-L L L L
L L
M M M M M M M
M M L L
L
按第一列展开
112200
020
1(1)(1)
(1)(1)2002
n n n n n n -----=---L
L M M M L
按第列展开. (5) 21000200000100012100121001210001200012000120000021000210002100012
00012
00012n D =
=
+
L L L L
L L L L
L
M M M M M M M M M M M M M
M M
L L L L
L
L
122n n D D --=-.
即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=L 由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=-L 得 11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.
1
2
121
2111n n
n n
a a a a a a D a a a ++=
+L
L M M M L
【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1
1n
i
i a
=+
∑，得
232
32
312
3
1
11111,11n n n
n i n i n
a a a a a a D a a a a a a a =+??
=++ ???
+∑L L
L
M M M
M L
将第一行乘（1）后加到其余各行，得
2
311101
011.00100
1
n n
n
n i i i i a a a D a a ==??
=+=+ ???
∑∑L L
L
M M M
M L
10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠=L ）.
1111123222211
22
33
22221122
331
11
1123n n n n n n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n
a a a a a
b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=L L M
M M M L L
. 【解】行列式的各列提取因子1
(1,2,,)n j a j n -=L ,然后应用范德蒙行列式.
3121
232
2
2
2
3121
121231
1113121231
1211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i
j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ?????????
???????? ? ? ? ???
??
??
??
??-= ???∏L L
L L L L L L L
L 11. 已知4阶行列式
412343344
15671122
D =
;
试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】
41424142234134
(1)(1)3912.344344567167
A A +++=-+-=+=
同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.
(1) 1231234
1
234234 5,2 1, 2 2, 23 3.
x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=? (2) 12123234345
4556 1,
56 0,
56 0, 560, 5 1.
x x x x x x x x x x x x x +=??++=??++=??++=?+=??
【解】方程组的系数行列式为
1110
1110131131
21110131180;121052*********
2
3
14
0123
1
23
D -------=
=
===≠-----
1234511015101111
2111
18;36;2211121131230323115011152111
2111
36;18.122112120
13
3
12
3
D D D D --=
==
=---=
==
=--
故原方程组有惟一解，为
312412341,2,2, 1.D D D D
x x x x D D D D
=
=======- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212
,,,,.
66513335133665
D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
1231231
230,
0,20
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=? 有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
11
0,111
21
λμμ= 即
(1)0.μλ-=
故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组
12341234
123412340,20,30,0
x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=??+++=??
+-+=??+++=? 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？
【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足
1111211
0,113111
a
a b
=-
即(a +1)2=4b .
15. 求三次多项式23
0123()f x a a x a x a x =+++，使得
(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====
【解】根据题意，得
0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.
f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=
这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于
012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=
故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为
23()752f x x x =-+
16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为
ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)
按题设有
11223
30,0,0,
ax by c ax by c ax by c ++=??
++=??++=? 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
11223
31101
x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.
习题 二
1. 计算下列矩阵的乘积.
（1）[]11321023????
-??-??????=； （2）
500103120213????????-????????????
； （3） []32123410????
????????
； （4）
()11
121311
2
321
2223231
32333a a a x x x x a a a x a a a x ????
????????????????； （5） 11
121321222331
32
33100011001a a a a a a a a a ????
????????????????
； （6） 1
2101
3
10101012100210
0230
0030003????
????-???
?????
-???
?
-????
. 【解】
(1) 32103210;6420963
0-??
??--?
???
-?
?-??
(2)531??
??-????-??; (3) (10);
(4) 33
222
111
222
333
12211213311323322311
()()()ij i
j
i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x
==++++++++=
∑∑
(5)111212132122222331
32
3233a a a a a a a a a a a a +??
??+????+??
; (6) 1
25201
2
400430
009????-????
-??
-??
.
2. 设111111111????=-????-??A ，121131214????=-??????
B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 2
2
()()-=-A+B A B A B 吗?
【解】(1) 2422;400024????-=??????AB A (2) 440;531311??
??-=--????--??
AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A B )≠A 2B 2.
3. 举例说明下列命题是错误的.
(1) 若2
=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ； (3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y . 【解】
(1) 以三阶矩阵为例，取2
001,000000????==??????0A A ,但A ≠0
(2) 令110000001-??
??=??????A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110????????????=≠=????????????-??????
A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y .
4. 设101A λ????=
-??????
, 求A 2，A 3，…，A k .
【解】2312131,,,.010101k
k λλλ??????===?
?????
??????
A A A L 5. 100100λλλ??????????
A =， 求23
A ,A 并证明：
1
21(1)2
000
k
k k k k
k k k k k k λλλλλλ----??
???
??????
?
A =.
【解】2
3222
3322321330
2,03.00
00λλ
λλλλλλλλλ????
?
????????????
???
A =A =
今归纳假设
1
21(1)2
000
k
k k k k
k k k k k k λλλλλλ----?????
???
???
?
A =
那么
11
21
111
1(1)102
010000
(1)(1)2
,
0(1)0
0k k k k k k
k k k k
k k k k k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-??
?????????
???????????
+??+????=+??
????
A A A
= 所以，对于一切自然数k ,都有
1
21(1)2
.000
k
k k k k
k k k k k k λλλλλλ----??
???
???
???
?
A =
6. 已知AP =PB ，其中
100100000210001211????
????-????
????-????
B =,P =
求A 及5
A .
【解】因为|P |= 1≠0,故由AP =PB ,得
1100200,611-??
??==??
??--??
A PBP
而
51551
()()100100100100210000210200.211001411611--==????????
????????=--==????????????????----????????
A PBP P
B P A
7. 设a b
c d b
a d c c d a
b d
c
b
a ????--?
???--??--??
A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为
22222222()
()a b c
d b a d c a b c d a b c d c d a b d
c
b
a *???
?--??-+++=-+++??--??--??
A =A 又因为*A A =A E ，所以有