(学生)专题：基本不等式

专题：基本不等式

—、知识要点：

1. 基本不等式（均值不等式）： _______________________

2. 几个重要的不等式：

a 2+

b 2^ ______ （a, Z?GR ）；彳+￡$_（“，b 同号）.

a~\~b a+b a 2+b 2

ab_ （一^-应，/?eR ）； （-y-）2_—一（a, Z?GR ）.

技巧1：凑系数、拆项、添项

例1 （1）已知OVx<|,求函数y=x （l-3x ）的最大值； （2）求函数y=x+丄的值域.

x

练习：1. （2011-fi 庆）若函数；（力=卄士（Q2）在尸“处取最小值，贝lja=（）

A. 1+辺

B. 1+羽

C. 3

D. 4

2.已知0<\<1,则A （3-3A ）取得最大值时x 的值为

（）

4

B.1

c.|

4

4

3?求f （x ）=3+lgx+——的最小值（0

~ Igx 3 8

4.当x<-时，求函数戶x+ ----------- 的最大值.

2 2%-

3 技巧二：利用“1”的代换

1 9

例2. C 知x>0,y>0,且一+ —= 1,求x+y 的最小值。 x y 解:??? x > 0, y > 0 , - + —= 1 f ?

x y

I 4

练习：5. （2011隹庆高考）已知6/>0, b>0, a+b=2.则〉=方+乙的最小值是（）

(x+y) mm

B ?4

c.|

D. 5

1 9

x+y= 一 + — (x +

y)>2 lx y)

=12

6.（2012-杭州模拟）若正实数d, b满足a+b=l,贝％）

A.^+|有最大值4

B. ab有最小值扌

C.&+书有最大值迈

D. cr+b1有最小值芈

技巧三：分离系数（分母看作整体，分子向分母看齐）

例3.求>■=工+7"+1°（x>-1）的值域。

X+1

x?—4r +1

练习：7.已知A>0,贝ij y= ----------- ----- 的最小值为 ________ ?

人

8.函数）匸甘Q1）的最小值是（）

A. 2羽+ 2

B. 2^3-2

C. 2审

D. 2

例4.若实数x、y满足Y+/+xy= 1,则x+y的最大值是_______________ .

练习：9.若正实数x, y满足2x + y+6 = xy,则xy的最小值是______________ .

10.已知8, b为正实数，2Z>+aZ>+a=30,求函数y=寺的最小值.

应用二：利用均值不等式证明不等式

例6:已知a、b、ce/?+ ,且a+b+c = l。求证：（十一"（十一1注―1卜8

分析:不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个"2"连乘，

yl-l = —= —，可由此变形入手。

a a a a

应用三：均值定理在比较大小中的应用

例8 :若a>h>\,P = JlgalgA e = l（lg? + lg/7）,/? = lg（上学），则P, Q, R的大小关系是____ .

三?巩固练习

1.已知加>0, n>0,且zz?n=81,则m+n的最小值为（）

已知等比数列伽｝的各项均为正数，公比qHl,设P=*（logoM5 + logo.5a7）, Q = log0.5空尹，则P 与0的大小关系是（）

2 3

6. （2012-福州模拟）设⑺满足2? + 3/? = 6, a>0, b>0,贝才的最小值为（）

7. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件,

X

则平均仓储时间为§天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产 品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

A. 60 件

B. 80 件

C. 100 件

D. 120 件

8. _________________________________________________________ 已知x, y 为正实数，且满足4x+3y=12，则q 的最大值为 _______________________ .

2. A. 3? A. 4. A. 18 B. 36 C. 81 D. 243

在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是

4

y=—x —;

B ? y=lg x-\-

去 C.尸时+古

已知/(A )=X +~2(A <0),则沧)有()

最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为一4 D. D. y=x-2x+3

最小值为一4

设⑺b 是实数，且a+b=3,则2a +2b 的最小值是（

B. 4^/2

C. 2& A. 6

D. 8

5. A. P2Q

B. PQ

25

A ?

8

B -3

11

D. 4

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创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅 当b a =时取“=”） （4）若 R b a ∈,，则 2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （ 5 ） 若 * ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab +≤+≤≤+ （ 1 ） 若 ,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+) 22212) n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等

专题：基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

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双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

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基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则2 2 2 2 2 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 222 222 2 1 2311 23112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 2 3 3 22-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 1、求下列函数的值域 （1）2 2 21 3x x y += （2）)4(x x y -=

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

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2 8 基本不等式专题辅导 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数 的和为定植时，它们的积有最小值； a b 6、柯西不等式 （1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(柑 b ? b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s ) (3) 设a 1,a 2, ,a n 与 db, ,b 是两组实数，则有 2 2 2 p22 2 佝 a 2 a . )(0 b 2 b n )(日山 a 2b 2 a n b n ) 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 (1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二 (2)右 a, b R ，则 ab a,b,c 为两两不相等的实数， (2)若 a, b R ,则 ab b 2 ab bc ca 4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等” 5、常用结论 1 (1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”) x 1 (2)若 x 0,则 X - 2 （当且仅当 x 1时取 “=”) X (3)若 ab 0,则-- 2 （当且仅当 a b 时取 “=”) b a 2 2 (4)若 a, b R ，则 ab （ 旦 b)2 a b 2 2 (5)若 a, b R ，贝U 1 . a ab b a 2 b 2 v ------ 1 1 2 2 (1 已知a a,b,c a )(1 1, 求证: b)(1 c) 8abc a, b, c R

基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值

【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果

基本不等式练习题(带答案)

《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<

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学习必备 欢迎下载 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,abc d R ∈，则22222 () ()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 2 2 2 (a a a ++???+)2 2 2 )b b b ++???+(2 ()a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：222 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： a b c c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证： 1111118a b c ?????? ---≥ ???????????

基本不等式专题复习(优.选)

基本不等式专题复习 [基础知识] 1.(1)若R a ∈,则2 a 0， a 222 b a + 2)2 (b a + (3)222c b a ++ ac bc ab ++ (4)若a>b>0,m>0则a b m a m b ++ (5)若a,b 同号且a>b 则a 1 b 1 (6)R b a ∈,,则22b a + ab 2 变形 2．均值不等式: 两个正数的均值不等式： ab b a ≥+2 变形 ， 3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由 （1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,2 2 S xy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。 4．)0(>+=a x a x y 的草图： [典型例析] 例1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 . 变式 （1）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 . （2）已知lg lg 1x y +=，则52 x y +的最小值是 . 例2 （1）已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值. （2）求函数1 4 2 2++=x x y 的最小值 （3）求22 2 42 y x x =--+的最大值. （4） 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22 x y x y +-的最小值是 . （5）已知0＜x ＜3 1 ，求函数y=x(1-3x)的最大值 （6）求函数y=1 3 3224+++x x x 的最小值.

基本不等式专题分类解析

基本不等式专题分类解析 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22?? ? ??+≤b a ab 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ???????????

高中数学专题-基本不等式

高中数学专题-基本不等式（第1课时）32 **学习目标** 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. **要点精讲** 1．基本不等式： 2 a b ab +3 (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。 2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）2 0,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2 222(,)a b ab ab a b R +吵?； （3）22 (,)2 a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄； （5）2 ( )(,)2 a b ab a b R ++Ｎ。 4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212n n n a a a a a a n ++鬃?鬃祝(n>1,n ?N)； **范例分析** 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2 a b ab +3 ， 你能解释2 a b ab +≤（,a b R + ∈）的几何意义吗？

2020高考一轮复习基本不等式专题练习

高三一轮复习 基本不等式专题练习 1、已知正数x ，y 满足 2223x y xy x y -= +，那么y 的最大值为 2、已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则1 2x ＋x y ＋1的最小值为____________ 3、若x ，y ，z 均为正实数，且x 2+y 2+z 2=1，则的最小值为 4、若为的三个内角，则的最小值为 .． 5、已知正实数a ，b ，c 满足 +=1，+ +=1，则实数 c 的取值范围是 . 6、若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则 x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2 的最大值为__________ 7、设实数x ，y 满足x 2 4－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是__________． 8、若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x y 的 值为________ 9、设，求 的最小值为____________ 10、若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋1 2y 的最大值为__________ 11、已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab + -+ 的最小值为 . 12、在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a ，b)，D(c ，d)，若不等式CD → 2≥(m －2)OC →·OD →＋m(OC →·OB →)·(OD →·OA →)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是__________ 13、已知x 、y∈R ，满足2≤y≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2 xy －x ＋y －1的最大值为 __________ 14、已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则a 2＋2a ＋b 2 b ＋1的最小值为____________ 15、若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2 x －y 的最小值为 __________ 16、已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则 ab 3a ＋b 的最大值为____________ 17、已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9y y －1的最小值为____________ 18、已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c ≠0，则 b a －2c 的取值范围为_________ 19、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________ 20、已知实数x 、y 满足x>y>0，且x ＋y≤2，则2 x ＋3y ＋1x －y 的最小值为______ 21、已知x ，y 为正实数，则 4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为________ 22、已知正实数x ，y 满足x ＋2 x ＋3y ＋4 y ＝10，则xy 的取值范围为________ 23、已知函数f(x)＝3x ＋a 与函数g(x)＝3x ＋2a 在区间(b ，c)上都有零点，则 a 2＋2a b ＋2a c ＋4bc b 2－2b c ＋c 2的最小值为________． 24、设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R ，2 (1)2z xyz +,,A B C ABC ?41 A B C ++1a 1b 1a b 1bc 1 ca ,,a b c R +∈938432a b c b c c a a b ++ +++

专题：基本不等式常见题型归纳

专题函数常见题型归纳 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且 7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b + =，解得1 log 2 a b =或 log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b = ，即2a b =．211 1111 a a b a +=-++-- 13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>， 且22log log 1x y +=，则22 x y x y +-的最小值为 ． 解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+ y x -4≥2y x y x -?-4 )(=4，当且仅当（x －y ）=y x -4，即x=3+1，y=3－1

高中数学必修五《基本不等式》培优专题

高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用

培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________

7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9

基本不等式练习题(带答案)

基本不等式 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2()3a b c ++≥ C ． 11123a b c ++≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数21y x x =-的最大值为 .

基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)

基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；

基本不等式专题复习

基本不等式专题复习 【例1】已知,0x y >，且21x y +=，求11 x y +的最小值. 【变式1】已知,0x y >，且21x y +=，求1x x y +的最小值. 【变式2】已知,0x y >，且1x y +=，求4912 x y +++的最小值. 【变式3】已知,0x y >，且2x y +=，求21 3x y x y ++-的最小值. 【变式4】已知,0x y >，求22x y x y x y +++的最大值及22x y x y x y +++的最小值. 【例2】已知,0x y >，且24xy x y ++=，求x y +的最小值. 【变式1】已知,0x y >，且26x y xy ++=，求xy 的最小值. 【变式2】已知,0x y >，且228x y xy ++=，求2x y +的最小值. 【变式3】已知实数,x y 满足2 2 41x y xy ++=，求2x y +的最小值.

【变式4】已知实数,x y 满足22 1x y xy ++=，求x y +的最大值. 【例3】已知,,0a b c >，且()bc 4a a b c +++=，求2a b c ++的最小值. 【变式1】已知,,0a b c >，且2 22412a ab ac bc +++=，求a b c ++的最小值. 【例4】已知,,0x y z >，且230x y z -+=，求2 y xz 的最小值. 【变式1】已知,,0x y z >，且2 2 2 1x y z ++=，求12z S xyz +=的最小值. 【变式2】已知,,0x y z >，且2 2 2 1x y z ++=，求2 1 2S xyz =的最小值. 【例5】已知,,0x y z >，求222 xy yz x y z +++的最大值. 【变式1】已知,,0x y z >，求222 2x y z xy yz +++的最小值.

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基本不等式专题辅导 若 a,b R * ，则 a b 2 ab 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R * ，则 a b 2 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中， 当且仅当 a b 时取“=” 4、求最值的条件： “一二定，三相 5、常用结论 1 （1）若 x 0 ，则 x 2 （ 当且仅当 x 1时取 “ =”） x 1 （2）若 x 0，则 x 1 2 （ 当且仅当 x 1时取 “=”） x （3）若ab 0，则 a b 2 （ 当且仅当 a b 时取 “ =”） ba 2 2 （ 4）若 a,b R ，则 ab ( a b )2 a b 2 ) 2 （5）若 a,b R * ，则 1 a ab b a 2 b 2 1 1 2 2 ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“ =” 6、柯西不等式 （1）若 a,b,c,d R ，则 （a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ） 2 2、已 知 a,b,c 为两两不 相等 的实数，求 证： 222 a b c ab bc ca 2 2 2 1 3、已知 a b c 1，求证： a 2 b 2 c 2 3 4、已 知 a,b,c R ， 且 a b c 1 ， 求 证 ： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc 5、 (2)若 a 1,a 2,a 3,b 1,b 2 ,b 3 R ，则有： 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a 3 )(1 b 1 b 2 b 3 ) (a 1b 1 a 2 b 2 a 3 b 3) (3)设 a 1,a 2, , a n 与b 1 ,b 2, ,b n 是两组实数，则有 2 2 2 2 2 2 2 (a 1 a 2 a n )(b 1 b 2 b n ) (a 1b 1 a 2b 2 a n b n )2 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1)若 a,b R ，则 a 2 b 2 2ab 2 b 2 2 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 2)若 a,b R ，则 ab 1、设a,b 均为正数，证明不等式 : ab ≥1 1 ab ab 2 ab 2 2)若 a,b R * ，则 ab 6、已 知 a,b,c R 且 a b c 1 ， 求 证 ：