克里格插值法

克里格法（Kriging）——有公式版

二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。

克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。

应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数

一、区域化变量

当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。

区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X 与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。

二、协方差函数

协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为：

区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即

区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。

设Z(x) 为区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数Z(x) 的空间分布规律不因位移而改变，h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，Z(xi) 为Z(x) 在空间位置xi 处

的实测值，Z(xi[size=2]+h[/size]) 是Z(x) 在xi 处距离偏离h 的实测值，根据协方差函数的定义公式，可得到协方差函数的计算公式为：

在上面的公式中，N(h)是分隔距离为h时的样本点对的总数，和分

别为和的样本平均数，即

在公式中N为样本单元数。一般情况下（特殊情况下可以认为近似相等）。若（常数），协方差函数可改写为如下：

式中，m为样本平均数，可由一般算术平均数公式求得，即

三、变异函数

变异函数又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。在一维条件下变异函数定义为，当空间点x 在一维x 轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h 处的值Z(x) 与

Z(x+h) 差的方差的一半为区域化变量Z(x) 在x轴方向上的变异函数，记为，即

在二阶平稳假设条件下，对任意的h有，

因此上式可以改写为：

从上式可知，变异函数依赖于两个自变量x 和h ，当变异函数仅仅依赖于距离h 而与位置x 无关时，可改写成，即

设Z(x)是系统某属性Z在空间位置x处的值，Z(x)为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi) 和Z(xi+h)分别是区域化变量在空间位置xi 和

xi+h 处的实测值[i=1,2,...,N(h)] ，那么根据上式的定义，变异函数的离散公式为：

变异函数揭示了在整个尺度上的空间变异格局，而且变异函数只有在最大间隔距离1/2处才有意义。

四、克里格估计量

假设x是所研究区域内任一点，Z(x)是该点的测量值，在所研究的区域内总共有n个实测点，即x1,x2,...,xn ，那么，对于任意待估点或待估块段V的实测值Zv(x) ，其估计值

是通过该待估点或待估块段影响范围内的n个有效样本值的线性组合来表示，即

式中，为权重系数，是各已知样本在Z(xi) 在估计时影响大小的系数，而估

计的好坏主要取决于怎样计算或选择权重系数。

在求取权重系数时必须满足两个条件，一是使的估计是无偏的，即偏差的数学期

望为零；二是最优的，即使估计值和实际值Zv(x)之差的平方和最小，在数学上，这两个条件可表示为

五、普通克里格分析方法

设Z(x)为区域化变量，满足二阶平稳和本征假设，其数学期望为m ，协方差函数c(h) 及变异函数λ(h)存在。即

对于中心位于x0 的块段为V ，其平均值为Zv(x0) 的估计值以

进行估计。

在待估区段V 的邻域内，有一组n个已知样本，其实测值为

。克里格方法的目标是求一组权重系数，使得加权平均值：

成为待估块段V 的平均值Zv(x0) 的线性、无偏最优估计量，即克里格估计量。为此，要满足以下两个条件：

1、无偏性。要使成为Zv(x) 的无偏估计量，即，当时，

也就是当时，则有：

这时，是的无偏估计量。

2、最优性。在满足无偏性条件下，估计方差为

由方差估计可知

为使估计方差最小，根据拉格朗日乘数原理，令估计方差的公式为：

求以上公式对和的偏导数，并令其为0，得克里格方程组

整理后得：

解上述n+1阶线性方程组，求出权重系数λi 和拉格朗日乘数μ，并带入公式，经过

计算可得克里格估计方差，即：

以上三个公式都是用协方差函数表示的普通克里格方程组和普通克里格方差。

克里格法

二、克里格法（Kriging） 克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为： 区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即

基于ArcGIS克里格插值的水下地形制图应用

基于ArcGIS克里格插值的水下地形制图应用 摘要：本文在水下测量得到的水深数据的基础上，利用ArcGIS的不规则三角网和克里格插值功能，生成能反映水下真实地形的DEM模型，通过对插值后的水深数据进行精度评定，结果表明其精度完全能满足测量误差要求。然后通过空间分析模块生成山体阴影，进一步利用ArcGIS制图功能根据需求将水深数据分成不同的水深区间，用不同颜色标明，最终得到具有3D效果的水下地形图。 关键字：ArcGIS 水深数据；不规则三角网；克里格插值DEM；精度评定；水下地形图 1 引言 在航道疏浚工程中，一份高精度、可视化的水下航道地形图是工程进度控制和质量控制的有效保障。目前在水下测图数据处理中广泛用到的CAD软件只能对离散的测量数据进行编辑，无法得到直观的、三维可视化的水下地形图，而通过ArcGIS的功能应用能有效解决上述问题。 2 构建DEM模型 2.1 测点数据导入 在水下测量中我们通常用单波束测深仪获取水深数据，用信标机或GPS获取平面坐标，结合潮位数据，利用数据处理软件解算得到测点平面坐标和高程数据。将水深测量数据用电子表格编辑，测点X、Y、Z值按点文件的格式保存为excel表格。应用Tools->add xy data导入数据，最后将数据转化成矢量点文件。本实例中用到的是秦皇岛某海港航道水下测量数据，选择120度带高斯克吕格投影的北京54坐标系统。 2.2 空间插值 空间插值就是指通过临近的实测样点的高程数据，建立DEM以估计无值区域或待插值点的高程。空间插值的性质随着物体距离的增加而减少，越是靠近的两个物体，那么相似性越大。估算空间插值的常见的方法有反距离加权插值、自然邻点插值、最近邻点插值、克里格插值等。 地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究空间分布数据的结构性和随机性、空间相关性和依赖性、空间格局与变异，还可以对空间数据进行最优无偏内插，以及模拟空间数据的离散性及波动性。克里格插值方法就是在地统计学的基础上建立起来的。与其他空间插值不同的是，克里格插值法不仅考虑了待插值点与临近实测样点的空间关系，还对临近实测样点彼此间的位置关系，因此，能够得到更加准确的统空间插值。

克里格法插值法

克里格法插值法 克里格法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。其特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。相对于其他插值方法。主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以计算速度较慢。而那些趋势面法，样条函数法等。虽然较快，但是逼近程度和适用范围都大受限制。 克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，折取克里格插值等。 克里格插值的变异函数有球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。 克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里格方法。如与分形的结合，发展了分形克里格法；与三角函数的结合，发展了三角克里格法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里格法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数。 它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。 按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里格插值分为普通克里格和泛克里格，其中普通克里格(Ordinar y Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。 利用克里格法插值时变异函数的确定是其关键。当区域化变量不满足二阶平稳假设存在漂移时，漂移的形式、残余（Ｒｅｓｉｄｕａｌ）变异函数参数的估计比较困难。有人提出利用多元逐步回归法确定漂移的次数；采用矩法和最大似然法相结合估计残余变异函数参数；当区域内数据点个数比较多时，在三角网格剖分过程中一次确定三角形与其内数据点的包含关系，用于快速检索待插点邻域内的数据点。 对于同一个区域化变量，有些人认为满足二阶平稳假设，而另一些人则认为带有漂移，没有一个判定准则。实际应用中，漂移次数的确定可借鉴利用多元逐步回归法确定。 克里格插值一般步骤： 1）计算被估点坐标（网格节点坐标） （2）根据搜索策略选择满足条件的参估点 （3）根据变差函数参数建立方程组 （4）解方程组，求权系数 （5）求被估点的值 （6）重复（1）-（5）步，直到网格节点全部求出； 由上可见，克里格插值其实也是对已知值赋权重计算未知值，但是它不仅考虑了距离插值点的距离远近的影响，还考虑了己知点的位置和属性值整体的空间分布和格局。这个权重使用半方差函数模型（生成的表

克里格插值

在克里格插值过程中，需注意以下几点： （1）数据应符合前提假设 （2）数据应尽量充分，样本数尽量大于80，每一种距离间隔分类中的样本对数尽量多于10对（3）在具体建模过程中，很多参数是可调的，且每个参数对结果的影响不同。如：块金值：误差随块金值的增大而增大；基台值：对结果影响不大；变程：存在最佳变程值；拟合函数：存在最佳拟合函数（4）当数据足够多时，各种插值方法的效果相差不大。 3. 克里格方法的分类 目前，克里格方法主要有以下几种类型：普通克里格（Ordinary Kriging）；简单克里格（Simple Kriging）；泛克里格（Universal Kriging）；协同克里格（Co-Kriging）；对数正态克里格（Logistic Normal Kriging）；指示克里格（Indicator Kriging）；概率克里格（Probability Kriging）；析取克里格（Disjunctive Kriging）等。下面简要介绍一下ArcGIS中常用的几种克里格方法的适用条件，其具体的算法、原理可查阅相关文献资料。 不同的方法有其适用的条件，按照以上流程图所示步骤，当数据不服从正态分布时，若服从对数正态分布，则选用对数正态克里格；若不服从简单分布时，选用析取克里格。当数据存在主导趋势时，选用泛克里格。当只需了解属性值是否超过某一阈值时，选用指示克里格。当同一事物的两种属性存在相关关系，且一种属性不易获取时，可选用协同克里格方法，借助另一属性实现该属性的空间内插。当假设属性值的期望值为某一已知常数时，选用简单克里格。当假设属性值的期望值是未知的，选用普通克里格。

克里格插值基础arcgis

克里格插值基础 来源：互联网 1. 克里格方法概述 克里格方法（Kriging）又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础， 在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一。南非矿产工程师D.R.Krige（1951年）在寻找金矿时首次运用这种方法，法国著名统计学家G.Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging，即克里格方法。 克里格方法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里格方法进行内插或外推；否则，是不可行的。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计。无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小。也就是说，克里格方法是根据未知样点有限邻域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间位置关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 克里格方法与反距离权插值方法类似的是，两者都通过对已知样本点赋权重来求得未知样点的值，可统一表示为： 式中，Z(x 0 )为未知样点的值，Z(x i )为未知样点周围的已知样本点的值，为第i个已知样本点对未知样点的权重，n为已知样本点的个数。 不同的是，在赋权重时，反距离权插值方法只考虑已知样本点与未知样点的距离远近，而克里格方法不仅考虑距离，而且通过变异函数和结构分析，考虑了已知样本点的空间分布及与未知样点的空间方位关系。 2. 克里格方法的具体步骤 用克里格方法进行插值的主要步骤如图1所示：

克里格插值

0x 克里格（Kringing ）插值法是建立在统计学理论基础上，实际上是利用区域化变量的原始数据和半方差数据的结构特征，对位采样点的区域化变量的取值进行线性最优无偏估计的一种方法，也就是根据待估样点有限领域内若干已经择定的测定的样点数据，在认真考虑了阳电的形状、大小和相互空间位置之间的关系，以及他们与待估样点见相互位置关系和编译函数提供的结构信息之后，对待估样点间相互位置关系的编译函数提供的结构信息之后，对待估样点值进行的一种线性最优无偏估计。 下图为运用克里格法计算未知点的值的一般步骤： 其插值原理如下： 设在某一研究内未知点0x 的属性为)(0x Z ，其周围相关范围内有n 个已知已测点),,2,1(n i x i ?=。通过n 个测定值的线性组合求其估计值)(0x Z ： ) ()(10i n i i x Z x Z ∑==λ 式中i λ为)(i x Z 位置有关的加权系数，并且∑==n i i 1 1λ 克里格插值法是根据无偏估计和方差最小的要求来确定上式中的系数i λ。 1.构造半变异系数：设j x 和i x 的距离问为h 。设n 个样点中mh 对样点的距 离为h ，以他们的含量差)(-)(i j x Z x Z 构造的半变异函数为： 2 ))()((21 )(∑=--=h x x i j i j x Z x Z m h a 2.拟合得出变异系数：将n 个样点的含量带入公式，使用直线函数进行拟合 3.构造矩阵和向量：求出任意两个已知点的半变异函数值，构造矩阵A: ????? ?? ? ???????????=011110101021221112n n n n a a a a a a A 取任意一个已知点i x ，求出与未知点0x 的距离并代入求出该点与未知点0x 的半变异函数值0i a ，得到向量B: )1,,,,(02010n a a a B ?= 方程AX=B 的姐的前n 个分量即为公式（）的权重系数i λ

克里金(克里格)(Corigine)算法

克里格，或者说克里金插值Kriging。法国krige名字来的。 特点是线性，无偏，方差小，适用于空间分析。所以很适合地质学、气象学、地理学、制图学等。 相对于其他插值方法。主要缺点：由于他要依次考虑（这也是克里格插值的一般顺序）计算影响范围，考虑各向异性否，选择变异函数模型，计算变异函数值，求解权重系数矩阵，拟合待估计点值，所以反映速度很慢。（当然也看你算法设计和电脑反应速度了呵呵）。而那些趋势面法，样条函数法等。虽然较快，但是毕竟程度和适合用范围都大受限制。 具体 对比如下： 方法外推能力逼近程度运算能力适用范围 距离反比加权法分布均匀时好差快分布均匀 最近邻点插值法不高强很快分布均匀 三角网线性插值高差慢分布均匀 样条函数高 强快分布密集时候 克里金插值高强慢均可 克里格插值又分为：简单，普通，块，对数，指示性，泛，离析克里金插值等。 克里金插值的变异函数球形模型，指数模型，高斯模型，纯块金模型，幂函数模型，迪维生模型等。 以下结合我的绘制等值线（等高线）的程序和高斯迭代解矩阵方程方法以及多元线性回归方法（此两方法实现另补充）说明克里格方法的实现：

注：选择变异函数模型为球形模型，选择插值方法为普通克里金，我为了简化问题，考虑为各向同性，变差距离为固定。 int i,j,i0,i1,j0,j1,k,l,m,n,p,h;//循环变量 double *r1Matrix;//系数矩阵 double *r0Matrix;//已知向量 double *langtaMatrix;//待求解向量 double *x0;//已知点横坐标 double *y0;//已知点纵坐标 double * densgridz;//存储每次小方格内的已知值。 double densgridz0;//待求值 int N1=0;//统计有多少个已知值 double r[71],r0[71]; int N[70]; for(i=0;i<100;i++) { for(j=0;j<100;j++) { if(bdataprotected[i*100+j]) continue;//原值点不需要插值 //1.遍历所有非保护网格。确定每一个待插值点的r(h) //每一个网格又从横向和纵向进行搜索，也就是说正方形相关，正方形的边长以R，格子长度为50；中心距离为25 //首先计算起循环的起始点。 //横向 if(i-25>=0) i0=i-25; else i0=0; if(i+25<=100) i1=i+25; else i1=100; //纵向 if(j-25>=0) j0=j-25; else j0=0; if(j+25<=100) j1=j+25; else j1=100; //Hmax=int(50*2^.5)=70 根据对称性，所有的r(h)除以2即为所得值。 //先待插值点的编程小方格内统计有几个已知点，如果个数小于4，则不能拟合。

克里格插值

克里格插值 什么是克里格插值？ 距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。 而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。 克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。 其中， Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N 是已知点（已测得值的点）的数目。 在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。 然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。因此，运用普通克里格插值（Ordinary Kriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。 利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。（2）进行预测。要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。（2）预测未知点的值。因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。 变异估计（Variography） 变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下： 半变异函数（距离h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ] 用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。公式用于计算一点对的差值的平方。下面的示意图显示了一点对中的一点（红色点）的位置和其它所有已测点位置的相应关系。这样步骤延伸了每一个已测点。

GS+7.0地统计和ARCGIS克里格插值过程

由于是初学地统计和克里格插值，现将自己处理数据的过程和步骤列出，中间有几个问题很是迷惑，还请相关的专家们给点指导，或者同行们讨论一下，对我处理的过程有什么不合理的地方，还请指出，谢谢！！ 1、在GS+7.0中进行地统计分析，将经纬度坐标转换成平面坐标，Z值为土壤盐分数据，导入到软件中，重计算后如下图1： 2、查看数据的分布，发现进行log变换后数据的分布状态还不如元数据，所以未进行变换（图2）： 3、接下来进行半方差分析，初始界面如图3： 4、进行计算（图4）： 5、查看模型信息，显示最优模型为高斯模型，以及各种参数，这里有点不明白的是那个RSS值怎么会那么大？图5： 6、然后再ARCGIS中进行克里格插值，初始界面如图6： 7、选择普通克里格，数据不进行变换，图7： 8、下一步，图8显示的是ARCGIS自动给出的各个参数和模型 9、根据GS+7.0中的参数对图8进行修改，修改后的界面为图9，主要修改了块金值、变程、偏基台值、模型类型以及lag size： 10、下一步，没做改动图10： 11、下一步显示交互验证结果，图11： 12、最终的出图显示，图12： 我最后将交叉验证的属性表导出来之后，计算各点的真实值和预测值的相关系数，仅为0.2多，这算是好吗？ 还有就是，我分别按照GS+中给出的其他模型的参数输入到ARCGIS插值过程中，最后得到的交叉验证结果为下图13和14，图13为指数模型，图14为球状模型，比较三者，发现指数模型的交叉验证结果最好，但是指数模型中真实值和预测值的相关系数仅为0.19啊，这都怎么回事啊？ 最后我用ARCGIS默认的各个参数进行插值，得出的交叉验证结果为图15，比指数模型的效果差，而且相关系数为0.14，都是那么低啊。 指数模型、球状模型和ARCGIS默认参数的最终效果为图16、17、18 就是这样了，请大家积极讨论啊，相互学习！！！

地球物理计算常用的插值方法-克里格法

克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为： 区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即 区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。< 设Z(x) 为区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数Z(x)的空间分布规律不因位移而改变，h为两样本点空间分隔距离

普通克里格插值汇总

2012-2013第一学期九年级历史上册月考检测试题 一、选择题（每小题2分，共50分） 1、古代埃及、巴比伦、印度、中国被称为四大文明古国的最主要原因是（） A、人类最早居住的地区 B、创造了人类最早的文字 C、最先由原始社会进入奴隶社会 D、对世界文化贡献最大 2、现在世界上通用的字母是（） A、腓尼基字母 B、阿拉伯数字 C、拉丁字母 D、汉字 3、现在伊拉克地区曾孕育的亚非文明古国是（） A、古中国 B、古埃及 C、古印度 D、古巴比伦王国 4、西欧封建社会时期最大的土地所有者是（） A、国王 B、骑士 C、教会和教皇 D、农奴 5、2008年第二十八届夏季奥运会将在我国首都北京举行。其中的长跑项目马拉松源自（） A、布匿战争 B、亚历山大东征 C、特洛伊战争 D、希波战争 6、西欧奴隶社会结束的标志是（） A．斯巴达克起义 B日耳曼人入侵 C．罗马帝国分裂 D．西罗马帝国灭亡 7、与现在世界通用的公元纪年有很大关系的宗教是（） A、佛教 B、基督教 C、伊斯兰教 D、道教 8、文艺复兴时期被誉为旧时代的最后一个诗人，同时又是新时代的最初一个诗人是指（） A、盲诗人荷马 B、莎士比亚 C、达芬奇 D、但丁 9、发生在14～16世纪的文艺复兴运动，极大的改变了世界面貌。文艺复兴运动的实质（） A、古代希腊文化的复兴 B、古代罗马文化的复兴 C、资产阶级文化的兴起 D、新教反对教皇的运动 10、西欧城市取得自治的方式主要有（） ①选举②用金钱赎买③和封建主进行谈判④通过武力斗争 A、①③ B、②③ C、③④ D、②④ 11、历史上有很多的概念由于误解往往名不符实，下列名称不属于这一类的是（） A、三角贸易 B、印第安人 C、阿拉伯数字 D、文艺复兴 12、最先使人类直接参加劳动的“手”被解放出来的发明是：（） A、蒸汽机 B、珍妮机 C、电动机 D、内燃机

普通克里格插值

普通克里格插值 普通克里格（Ordinary Kriging）是区域化变量的线性估计，它假设数据变化成正态分布，认为区域化变量Z的期望值是未知的。插值过程类似于加权滑动平均，权重值的确定来自于空间数据分析。 ArcGIS中普通克里格插值包括4部分功能：创建预测图（Prediction Map）、创建分位数图（Quantile Map）、创建概率图（Probability Map）、创建标准误差预测图（Prediction Standard Error Map）。 1. 创建预测图（Prediction Map） 其在ArcGIS 中的实现步骤为： （1）在ArcMap 中加载jsGDP _training 和jsGDP _test。 （2）右击工具栏，启动地理统计模块Geostatistical Analyst。 （3）单击Geostatistical Analyst模块的下拉箭头点击Geostatistical Wizard命令（4）在弹出的对话框（如图10.51)中，在Dataset 选择训练数据jsGDP_test_training 及其属性GDP，在V alidation 中选择检验数据jsGDP_test_test 及其属性GDP，选择Kriging 内插方法，最后点击Next 按钮。 图1 输入数据和方法选择对话框 （5）在弹出的对话框（如图2)中，展开普通克里格（Ordinary Kriging），在下面的选项中点击预测（Prediction），在DataSet1 里的Transformation 里选择log 变换方式，点击Next 按钮。

图2 统计内插方法选择对话框 （6）在弹出的Semivariogram/Covariance Modeling 对话框（如图3)中，选中Show Search Direction 选项，移动左图中的搜索方向，然后点击Next 按钮。 图3 半变异/协方差模型对话框 （7）在弹出的Searching Neighborhood 对话框（如图4)，点击Next 按钮。 （8）在弹出的Cross V alidation 对话框（如图5)中，列出对上述参数的训练数据模型精度评价。在对不同参数得到模型的比较中，可参考Prediction Error中的几个指标。符合以下标准的模型是最优的：标准平均值（Mean Standardized）最接近于0，均方根预测误差（Root-Mean-Square）最小，平均标准误差（A verage Mean Error）最接近于均方根预测误差（R oot-Mean-Square），标准均方根（Root-Mean-Square Standardized）最接近于1。点击Next 按钮。

克里格法Kriging——有公式版

克里格法（Kriging）——有公式版 二、克里格法（Kriging）克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。 克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。 应用克里格法首先要明确三个重要的概念。一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数 一、区域化变量 当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量反映了空间某种属性的分布特征。矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。 区域化变量具有两个重要的特征。一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X 与偏离空间距离为h的点X＋h处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。 二、协方差函数 协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。在概率理论中，随机向量X与Y的协方差被定义为： 区域化变量在空间点x 和x+h处的两个随机变量Z(x) 和Z(x+h) 的二阶混合中心矩定义为Z(x) 的自协方差函数，即 区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。 设Z(x) 为区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，即随机函数Z(x) 的空间分布规律不因位移而改变，h为两样本点空间分隔距离或距离滞后，Z(xi) 为Z(x) 在空间位置xi 处 的实测值，Z(xi[size=2]+h[/size]) 是Z(x) 在xi 处距离偏离h 的实测值，根据协方差函数的定义公式，可得到协方差函数的计算公式为： 在上面的公式中，N(h)是分隔距离为h时的样本点对的总数，和分

GS+7.0地统计和ARCGIS克里格插值过程doc资料

G S+7.0地统计和 A R C G I S克里格插值过 程

由于是初学地统计和克里格插值，现将自己处理数据的过程和步骤列出，中间有几个问题很是迷惑，还请相关的专家们给点指导，或者同行们讨论一下，对我处理的过程有什么不合理的地方，还请指出，谢谢！！ 1、在GS+7.0中进行地统计分析，将经纬度坐标转换成平面坐标，Z值为土壤盐分数据，导入到软件中，重计算后如下图1： 2、查看数据的分布，发现进行log变换后数据的分布状态还不如元数据，所以未进行变换（图2）： 3、接下来进行半方差分析，初始界面如图3： 4、进行计算（图4）： 5、查看模型信息，显示最优模型为高斯模型，以及各种参数，这里有点不明白的是那个RSS值怎么会那么大？图5： 6、然后再ARCGIS中进行克里格插值，初始界面如图6： 7、选择普通克里格，数据不进行变换，图7： 8、下一步，图8显示的是ARCGIS自动给出的各个参数和模型 9、根据GS+7.0中的参数对图8进行修改，修改后的界面为图9，主要修改了块金值、变程、偏基台值、模型类型以及lag size： 10、下一步，没做改动图10： 11、下一步显示交互验证结果，图11： 12、最终的出图显示，图12： 我最后将交叉验证的属性表导出来之后，计算各点的真实值和预测值的相关系数，仅为0.2多，这算是好吗？

还有就是，我分别按照GS+中给出的其他模型的参数输入到ARCGIS插值过程中，最后得到的交叉验证结果为下图13和14，图13为指数模型，图14为球状模型，比较三者，发现指数模型的交叉验证结果最好，但是指数模型中真实值和预测值的相关系数仅为0.19啊，这都怎么回事啊？ 最后我用ARCGIS默认的各个参数进行插值，得出的交叉验证结果为图15，比指数模型的效果差，而且相关系数为0.14，都是那么低啊。 指数模型、球状模型和ARCGIS默认参数的最终效果为图16、17、18 就是这样了，请大家积极讨论啊，相互学习！！！ 1.jpg

克里金插值法(参考内容)

克里金插值法 克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师D. Matheron 于1951年在寻找金矿时首次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克里金插值法。 1 克里金插值法原理 克里金插值法的适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行内插或外推。其实质是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平方和最小[1]。因此，克里金插值法是根据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进行的一种线性无偏最优估计。 假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克里金插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即： )()(10* i n i i x Z x Z ∑==λ （1） 式中i λ是待定权重系数。 其中Z(x i )之间存在一定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“区域化变量” 针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数 i λ (i=1，2，……， n)满足关系式： 11=∑=n i i λ （2） 以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i λ的方程组：

ArcGIS_6 克里格方法内插生成高程曲面

???д6?????????????? 1ˊ?? ???????????????????????????????????????ˊ???????? 2ˊ?? ?????Ё???????????????????ˊ?????????????д?c????ˊ??????????ˊ?????????????Ё?????3ˊ?? ??????????????????????????????????????????г??????????????????????????????4ˊ?? ??????????jyg.shp?? 5ˊ???? 1??ArcMapЁ??jyg.shp? 2??????????????Geostatistical Analyst? 3???Geostatistical Analyst??????????Create Subsets??? 4????????Ё?Input?-???????▊???jyp???Next???5??????????▊????▊?????Output Personal GeodatabaseЁ???▊?????????????????6-1?? ?6-1 ?????▊???????? 6????Ёjyg_training??????Geostatistical Analyst?????????Explore DataЁ?Histogram??????Geostatistical Analyst?????????Explore Data Ё?Normal QQPlot?????????6-2?????6-2?????????????????????????????

插值方法总结

克里格插值方法：克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。考虑待估点位置与已知数据位置的相互关系，而且还考虑变量的空间相关性。 通过无偏估计和估计值和实际值的插值的方差最小这两个约束条件来求得权重，进而插值。不足：计算步骤繁琐，插值速度慢。 反距离权重法：IDW的适用于呈均匀分布且密集程度足以反映局部差异的样点数据集； 优点:简便易行；可为变量值变化很大的数据集提供一个合理的插值结果；不会出现无意义的插值结果而无法解释; 优点：综合了泰森多边形的自然邻近法和多元回归渐变法的长处，在插值时为待估点为邻近区域内所有数据点的距离加权平均值，当有各向异性时，还要考虑方向权重。是一种精确的插值法，即插值生成的表面中预测的样点值与实测样点值完全相等。 不足:对权重函数的选择十分敏感；易受数据点集群的影响，结果常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式； 距离反比很少有预测的特点，内插得到的插值点数据在样点数据取值范围内。 最邻近法（泰森多边形插值法）： 特征：用泰森多边形插值方法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的。适用于较小的区域内，变量空间变异性也不很明显的情况，同时只有少数缺失值时，对缺失值进行填补。 优点：不需其他前提条件，方法简单，效率高； 缺点:受样本点的影响较大，只考虑距离因素，对其他空间因素和变量所固有的某些规律没有过多地考虑。实际应用中，效果常不十分理想。 自然邻近法： 本质上是对最邻近插值法的一种改进，它对研究区域内各点都赋予一个权重系数，插值时使用邻点的权重平均值决定待估点的权重。每完成一次估值就将新值纳入原样点数据集重新计算泰松多边形并重新赋权重，再对下一待估点进行估值运算。对于由样点数据展面生成栅格数据而言，通过设置栅格大小（cell size)来决定自然邻近插值中的泰森多边形的运行次数n，即，设整个研究区域的面积area，则有：n=area/cell size

空间插值方法

7．空间插值 7．1空间插值的概念和理论 空间插值常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，以便与其它空间现象的分布模式进行比较，它包括了空间内插和外推两种算法。空间内插算法是一种通过已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计算方法；空间外推算法则是通过已知区域的数据，推求其它区域数据的方法。在以下几种情况下必须作空间插值： 1）现有的离散曲面的分辨率，象元大小或方向与所要求的不符，需要重新插值。例如将一个扫描影象（航空像片、遥感影象）从一种分辨率或方向转换到另一种分辨率或方向的影象。 2）现有的连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符，需要重新插值。如将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式，从TIN到栅格、栅格到TIN或矢量多边形到栅格。 3）现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围，需要插值。如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面。 空间插值的理论假设是空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值；而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。然而，还有另外一种特殊的插值方法——分类，它不考虑不同类别测量值之间的空间联系，只考虑分类意义上的平均值或中值，为同类地物赋属性值。它主要用于地质、土壤、植被或土地利用的等值区域图或专题地图的处理，在“景观单元”或图斑内部是均匀和同质的，通常被赋给一个均一的属性值，变化发生在边界上。 7．2空间插值的数据源 连续表面空间插值的数据源包括： ●摄影测量得到的正射航片或卫星影象； ●卫星或航天飞机的扫描影象； ●野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线）； ●数字化的多边形图、等值线图； 空间插值的数据通常是复杂空间变化有限的采样点的测量数据，这些已知的测量数据称

综述指示克里格方法的原理与应用

综述指示克里格方法的原理与应用 学号：2013301610318 姓名： 在土壤质量评价、大气污染物浓度分布评估等研究中，克里格空间插值方法是一个有力的工具。但是观测数据中往往存在一些特异值，观测数据不成(对数)正态分布，影响了变异函数的稳健性。如果用参数地质统计学方法, 则必须剔除这些特异值或者对观测值进行非线性转换，以使观测值的概率分布满足正态，但这会影响变量空间变异的真实信息。非参数地质统计学中的指示克里格法是处理有偏数据的有效方法，它能在不必去除重要而实际存在的特异值的条件下处理不同的现象，并能抑制特异值对变异函数的稳健型的影响。指示克立格法是一种最常用的非参数地质统计学方法,它是因把对区域化变量的研究转换为对其指示函数的研究而得名.有关指示克里格方法的研究与应用，国内外学者已经做了很多工作，但是大部分研究都是单元指示克里格在单一尺度下的应用。本文将主要讨论指示克里格方法的基本原理，指示克里格的应用方法(比如多尺度指示克里格、多元指示克里格等)以及指示克里格法的限制和不足。 1 基本原理 克里格(Kriging)插值法是空间统计分析方法的重要内容之一，它是建立在半变异函数理论分析基础上的，是对有限区域内的区域化变量取值进行无偏最优估计的一种方法。基于这种方法进行插值时，不仅考虑了待预测点与邻近样点数据的空间距离关系，还考虑了各参与预测的样点之间的位置关系，充分利用了各样点数据的空间分布结构特征，使其估计结果比传统方法更精确，更符合实际，更有效避免了系统误差的出现。 在空间统计分析方法中，可以通过选择阈值，将一个连续的变量转换成一个值为0或1的二进制变量。比如在研究区域D内,Z(X)表示采样点X上的采样值,设Z为研究区域D上的一个临界值(阈值),则在D上的每点X∈D上定义一个Z 的指示函数如下:

实验四IDW和Spline空间插值对比与克里格方法内插生成曲面

实验四IDW和Spline空间插值对比与克里格方法 内插生成曲面 IDW和Spline空间插值对比 实验目的： 通过练习熟练掌握如何利用IDW内插方法和Spline内插方法进行GDP空间分布特征的分析，以及两种插值方法的适用条件，并以此来加强对空间插值的认识。 实验内容： 用IDW法和Spline法内插生成GDP曲面 实验数据与要求： 数据：GDP为某地区的统计GDP数据，bound为该地区的边界数据。 要求：1)经济发展具有一定的连带效应和辐射作用。以该地区各区域年GDP数据为依据，采用IDW和Spline内插方法创建该地区GDP空间分异栅格图。 2）分析每种插值方法中主要参数的变化对内插结果的影响。 IDW：P=2和P=5。 Spline：规则样条法，Weight = 0和Weight = 0.01；张力样条法，Weight = 0和Weight =5。 3）分析两种内插方法生成的GDP空间分布图的差异性，简单说明形成差异的主要原因。实验过程与步骤： （1）运行ArcMap，点击Tools菜单下的Extensions，选择Spatial Analyst，点击Close 按钮 （2）单击File菜单下的Open命令，选择E:\Chp8\Ex4\GDP.mxd （3）打开Options对话框中的General选项卡，设置默认工作路径为：“E:\Chp8\Ex4\result\”并设置Analysis mask为bound

（4）在Spatial Analyst下拉菜单中选择Interpolate to Raster, 在弹出的下一级菜单中点击Inverse Distance Weighted，弹出如下图所示的对话框，设置Z value field为GDP；设置Power为2；设置Output cell size为500；其他参数不变，点击OK，进行计算Power=2时，生成的结果 将Power值改为5，重复上述步骤。下图为Power=5时，生成的结果