1、证明由二叉树的中序序列和后序序列,也可以唯一确定一棵二叉树。
当n=1时,只有一个根结点,由中序序列和后序序列可以确定这棵二叉树。
设当n=m-1时结论成立,现证明当n=m时结论成立。
设中序序列为S1,S2,…,Sm,后序序列是P1,P2,…,Pm。因后序序列最后一个元素Pm是根,则在中序序列中可找到与Pm相等的结点(设二叉树中各结点互不相同)Si(1≤i≤m),因中序序列是由中序遍历而得,所以Si是根结点,S1,S2,…,Si-1是左子树的中序序列,而Si+1,Si+2,…,Sm是右子树的中序序列。
若i=1,则S1是根,这时二叉树的左子树为空,右子树的结点数是m-1,则{S2,S3,…,Sm}和{P1,P2,…,Pm-1}可以唯一确定右子树,从而也确定了二叉树。
若i=m,则Sm是根,这时二叉树的右子树为空,左子树的结点数是m-1,则{S1,S2,…,Sm-1}和{P1,P2,…,Pm-1}唯一确定左子树,从而也确定了二叉树。
最后,当1
可唯一确定二叉树的左子树,由{Si+1,Si+2,…,Sm}和
{Pi,Pi+1,…,Pm-1}可唯一确定二叉树的右子树。
2、约瑟夫环问题(Josephus问题)是指编号为1、2、…,n的n(n>0)个人按顺时针方向围坐成一圈,现从第s个人开始按顺时针方向报数,数到第m个人出列,然后从出列的下一个人重新开始报数,数到第m的人又出列,…,如此重复直到所有的人全部出列为止。现要求采用循环链表结构设计一个算法,模拟此过程。
#include
typedef int datatype;
typedef struct node
{datatype data;
struct node *next;
}listnode;
typedef listnode *linklist;
void jose(linklist head,int s,int m)
{linklist k1,pre,p;
int count=1;
pre=NULL;
k1=head; /*k1为报数的起点*/
while (count!=s) /*找初始报数起点*/
{pre=k1;
k1=k1->next;
count++;
}
while(k1->next!=k1) /*当循环链表中的结点个数大于1时*/
{ p=k1; /*从k1开始报数*/
count=1;
while (count!=m) /*连续数m个结点*/
{ pre=p;
p=p->next;
count++;
}
pre->next=p->next; /*输出该结点,并删除该结点*/
printf("%4d",p->data);
free(p);
k1=pre->next; /*新的报数起点*/
}
printf("%4d",k1->data); /*输出最后一个结点*/
free(k1);
}
main()
{linklist head,p,r;
int n,s,m,i;
printf("n=");
scanf("%d",&n);
printf("s=");
scanf("%d",&s);
printf("m=",&m);
scanf("%d",&m);
if (n<1) printf("n<0");
else
{/*建表*/
head=(linklist)malloc(sizeof(listnode)); /*建第一个结点*/
head->data=n;
r=head;
for (i=n-1;i>0;i--) /*建立剩余n-1个结点*/
{ p=(linklist)malloc(sizeof(listnode));
p->data=i;
p->next=head;
head=p;
}
r->next=head; /*生成循环链表*/
jose(head,s,m); /*调用函数*/
}
}
3、根据二叉排序树中序遍历所得结点值为增序的性质,在遍历中将当前遍历结点与其前驱结点值比较,即可得出结论,为此设全局指针变量pre(初值为null)和全局变量flag,初值为true。若非二叉排序树,则置flag为false。
#define true 1
#define false 0
typedef struct node
{datatype data; struct node *llink,*rlink;} *BTree;
void JudgeBST(BTree t,int flag)
// 判断二叉树是否是二叉排序树,本算法结束后,在调用程序中由flag得出结论。
{ if(t!=null && flag)
{ Judgebst(t->llink,flag);// 中序遍历左子树
if(pre==null)pre=t;// 中序遍历的第一个结点不必判断
else if(pre->data
else{flag=flase;} //不是完全二叉树
Judgebst (t->rlink,flag);// 中序遍历右子树
}//JudgeBST算法结束
4、有一种简单的排序算法,叫做计数排序(count sorting)。这种排序算法对一个待排序的表(用数组表示)进行排序,并将排序结果存放到另一个新的表中。必须注意的是,表中所有待排序的关键码互不相同,计数排序算法针对表中的每个记录,扫描待排序的表一趟,统计表中有多少个记录的关键码比该记录的关键码小,假设针对某一个记录,统计出的计数值为c,那么,这个记录在新的有序表中的合适的存放位置即为c。
(1) (3分)给出适用于计数排序的数据表定义;
(2) (7分)使用Pascal或C语言编写实现计数排序的算法;
(3) (4分)对于有n个记录的表,关键码比较次数是多少?
(4) (3分)与简单选择排序相比较,这种方法是否更好?为什么?
5、两棵空二叉树或仅有根结点的二叉树相似;对非空二叉树,可判左右子树是否相似,采用递归算法。
int Similar(BiTree p,q) //判断二叉树p和q是否相似
{if(p==null && q==null) return (1);
else if(!p && q || p && !q) return (0);
else return(Similar(p->lchild,q->lchild) && Similar(p->rchild,q->rchild)) }//结束Similar
6、若第n件物品能放入背包,则问题变为能否再从n-1件物品中选出若干件放入背包(这时背包可放入物品的重量变为s-w[n])。若第n件物品不能放入背包,则考虑从n-1件物品选若干件放入背包(这时背包可放入物品仍为s)。若最终s=0,则有一解;否则,若s<0或虽然s>0但物品数n<1,则无解。
(1)s-w[n],n-1 //Knap(s-w[n],n-1)=true
(2)s,n-1 // Knap←Knap(s,n-1)
7、将顶点放在两个集合V1和V2。对每个顶点,检查其和邻接点是否在同一个集合中,如是,则为非二部图。为此,用整数1和2表示两个集合。再用一队列结构存放图中访问的顶点。 int BPGraph (AdjMatrix g)
//判断以邻接矩阵表示的图g是否是二部图。
{int s[]; //顶点向量,元素值表示其属于那个集合(值1和2表示两个集合)
int Q[];//Q为队列,元素为图的顶点,这里设顶点信息就是顶点编号。
int f=0,r,visited[]; //f和r分别是队列的头尾指针,visited[]是访问数组
for (i=1;i<=n;i++) {visited[i]=0;s[i]=0;} //初始化,各顶点未确定属于那个集合
Q[1]=1; r=1; s[1]=1;//顶点1放入集合S1
while(f {v=Q[++f]; if (s[v]==1) jh=2; else jh=1;//准备v的邻接点的集合号 if (!visited[v]) {visited[v]=1; //确保对每一个顶点,都要检查与其邻接点不应在一个集合中 for (j=1,j<=n;j++) if (g[v][j]==1){if (!s[j]) {s[j]=jh; Q[++r]=j;} //邻接点入队列 else if (s[j]==s[v]) return(0);} //非二部图 }//if (!visited[v]) }//while return(1); }//是二部图 [算法讨论] 题目给的是连通无向图,若非连通,则算法要修改。 8、我们用l代表最长平台的长度,用k指示最长平台在数组b中的起始位置(下标)。用j 记住局部平台的起始位置,用i指示扫描b数组的下标,i从0开始,依次和后续元素比较,若局部平台长度(i-j)大于l时,则修改最长平台的长度k(l=i-j)和其在b中的起始位置(k=j),直到b数组结束,l即为所求。 void Platform (int b[ ], int N) //求具有N个元素的整型数组b中最长平台的长度。 {l=1;k=0;j=0;i=0; while(i {while(i if(i-j+1>l) {l=i-j+1;k=j;} //局部最长平台 i++; j=i; } //新平台起点 printf(“最长平台长度%d,在b数组中起始下标为%d”,l,k); }// Platform 9、将顶点放在两个集合V1和V2。对每个顶点,检查其和邻接点是否在同一个集合中,如是,则为非二部图。为此,用整数1和2表示两个集合。再用一队列结构存放图中访问的顶点。 int BPGraph (AdjMatrix g) //判断以邻接矩阵表示的图g是否是二部图。 {int s[]; //顶点向量,元素值表示其属于那个集合(值1和2表示两个集合) int Q[];//Q为队列,元素为图的顶点,这里设顶点信息就是顶点编号。 int f=0,r,visited[]; //f和r分别是队列的头尾指针,visited[]是访问数组 for (i=1;i<=n;i++) {visited[i]=0;s[i]=0;} //初始化,各顶点未确定属于那个集合 Q[1]=1; r=1; s[1]=1;//顶点1放入集合S1 while(f {v=Q[++f]; if (s[v]==1) jh=2; else jh=1;//准备v的邻接点的集合号 if (!visited[v]) {visited[v]=1; //确保对每一个顶点,都要检查与其邻接点不应在一个集合中 for (j=1,j<=n;j++) if (g[v][j]==1){if (!s[j]) {s[j]=jh; Q[++r]=j;} //邻接点入队列 else if (s[j]==s[v]) return(0);} //非二部图 }//if (!visited[v]) }//while return(1); }//是二部图 [算法讨论] 题目给的是连通无向图,若非连通,则算法要修改。 10、有一个带头结点的单链表,每个结点包括两个域,一个是整型域info,另一个是指向下一个结点的指针域next。假设单链表已建立,设计算法删除单链表中所有重复出现的结点,使得info域相等的结点只保留一个。 #include typedef char datatype; typedef struct node{ datatype data; struct node * next; } listnode; typedef listnode* linklist; /*--------------------------------------------*/ /* 删除单链表中重复的结点 */ /*--------------------------------------------*/ linklist deletelist(linklist head) { listnode *p,*s,*q; p=head->next; while(p) {s=p; q=p->next; while(q) if(q->data==p->data) {s->next=q->next;free(q); q=s->next;} else { s=q; /*找与P结点值相同的结点*/ q=q->next; } p=p->next; } return head; } 11、给出折半查找的递归算法,并给出算法时间复杂度性分析。 12、连通图的生成树包括图中的全部n个顶点和足以使图连通的n-1条边,最小生成树是边上权值之和最小的生成树。故可按权值从大到小对边进行排序,然后从大到小将边删除。每删除一条当前权值最大的边后,就去测试图是否仍连通,若不再连通,则将该边恢复。若仍连通,继续向下删;直到剩n-1条边为止。 void SpnTree (AdjList g) //用“破圈法”求解带权连通无向图的一棵最小代价生成树。 {typedef struct {int i,j,w}node; //设顶点信息就是顶点编号,权是整型数 node edge[]; scanf( "%d%d",&e,&n) ; //输入边数和顶点数。 for (i=1;i<=e;i++) //输入e条边:顶点,权值。 scanf("%d%d%d" ,&edge[i].i ,&edge[i].j ,&edge[i].w); for (i=2;i<=e;i++) //按边上的权值大小,对边进行逆序排序。 {edge[0]=edge[i]; j=i-1; while (edge[j].w edge[j+1]=edge[0]; }//for k=1; eg=e; while (eg>=n) //破圈,直到边数e=n-1. {if (connect(k)) //删除第k条边若仍连通。 {edge[k].w=0; eg--; }//测试下一条边edge[k],权值置0表示该边被删除k++; //下条边 }//while }//算法结束。 connect()是测试图是否连通的函数,可用图的遍历实现, 13、请编写一个判别给定二叉树是否为二叉排序树的算法,设二叉树用llink-rlink法存储。 14、在有向图G中,如果r到G中的每个结点都有路径可达,则称结点r为G的根结点。编写一个算法完成下列功能: (1).建立有向图G的邻接表存储结构; (2).判断有向图G是否有根,若有,则打印出所有根结点的值。 15、我们用l代表最长平台的长度,用k指示最长平台在数组b中的起始位置(下标)。用j 记住局部平台的起始位置,用i指示扫描b数组的下标,i从0开始,依次和后续元素比较,若局部平台长度(i-j)大于l时,则修改最长平台的长度k(l=i-j)和其在b中的起始位置(k=j),直到b数组结束,l即为所求。 void Platform (int b[ ], int N) //求具有N个元素的整型数组b中最长平台的长度。 {l=1;k=0;j=0;i=0; while(i {while(i if(i-j+1>l) {l=i-j+1;k=j;} //局部最长平台 i++; j=i; } //新平台起点 printf(“最长平台长度%d,在b数组中起始下标为%d”,l,k); }// Platform