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人教版必修二高中数学笔记讲义

第1讲第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽

1.下列说法错误的是（

）

A.多面体至少有四个面

B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱

D.三棱柱的侧面为三角形

分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误. 答案：D

2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm.

分析：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：12

3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥

第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征

¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.

¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得

梯形腰长为R +r = 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图

¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图

所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型.

¤知识要点：

1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 2

2. 画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来

¤例题精讲：

【例1

】画出下列各几何体的三视图：

解：这两个几何体的三视图如下图所示.

【例2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓. 如下图所示.

【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm ），所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.

解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体. 图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.

从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示. 第

第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图

¤学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图. 了解空间

图形的不同表示形式.

¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，得到直角坐标系xoy ，直观图中画成斜坐标系'''x o y ，两轴夹角为45?.

（2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ’或y ’轴的线段.

（3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y

轴的线段，长度为原来的一半. ¤例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示. 【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm 的正方体的直观图. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，在已知的直角三角形ABC 中取直角边CB 所在的直线为x 轴，与BC 垂直的直线为y 轴，画出对应的x '轴和y '轴，使45x O y '''∠=.

第二步，在x '轴上取''O C BC =，过'C 作'y 轴的平行线，取1''2

C A

. 第三步，连接

O ，即得到该直角三角形的直观图.

（2）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使

45,BAD ∠=4,2A B c m A D c m

==. 第二步，过A 作z '轴，使90BAz '∠=. 分别过点,,B C D 作z '轴的平行线，在z '轴及这组平行线上分别截取4AA BB CC DD cm ''''====.

第三步，连接,,,A B B C C D D A ''''''''，所得图形就是正方体的直观图.

点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线.

第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和

c 直截面周长

S +

解：设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为2

S ππ=?=上，圆台的上底面面积为2

525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上.又圆台的侧面积

(25)7S l l ππ=+=侧，于是725l ππ=，即29

l =

为所求. 【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积. 解：由三视图知正三棱柱的高为2mm .

由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为. 设底面边长为a = ∴ 4a =. ∴正三棱柱的表面积为21

23422424)2

S S S mm =+=??+?

??=+侧底. 【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01 m 2）

解，

其侧面积为15

S π=?下部分圆柱体的侧面积为 15 1.8S π=??.

所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为

115

5 1.850.052

S S S ππ=+=??

?≈（m 2）.

点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是体积计算. 第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积

¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算

h 高

S h 底高

'S S ++图2-3-12

12m 18m

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 4

2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系：

13V S h =锥 '0S =←??

? 1(')3V S S h =台 'S S

=???→ V S h =柱. ¤例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为,,a b c ，则2,3,6ab ac bc ===，

三式相乘得2

()

36abc =.所以，长方体的体积为6.

【例2】一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V

与x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm .

在Rt EOF ?中，1

5,2

EF cm OF xcm ==,

所以EO =于是

13V x =依题意函数的定义域为{|010}x x <<.

【例36，现将该容器盛满水，然后平

稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的

时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 . 解：容器中水的体积为22

618V r l πππ==??=

流出水的体积为5

'(1)36V V π=-=，如图，22''2V l r π===. 设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则tan α=

=，解得60α=?. 所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.

点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角.

第7讲 §1.3.2球的体积和表面积

¤学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决

有关实际问题.

¤知识要点：1. 表面积：2

4S R π=球面（R ：球的半径）. 2. 体积：3

V R π=球面. ¤例题精讲：

【例1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5cm ，求它的内径（钢的密度为2

7.9/g cm ，精确到0.1cm ）．解：设空心球内径(直径)为2x cm ，则钢球质量为

33454

7.9[()]142323

x ππ???-=，

∴3

351423(

)11.327.94 3.14

x ?=-≈??， ∴ 2.24x ≈， ∴直径2 4.5x

≈，即空心钢球的内径约为4.5cm

【例2】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.

解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵2

4324R ππ=，∴9R =，∴AC ==，∴8a =

，

∴6423214576S =?

+?=表.

【例3】（04年辽宁卷

.10）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，

AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.

A ．

B ．

C ．

．【解】由已知可得，A 、B 、C 、D 在球的一个小圆上.

∵ AB

BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径r =

由2

R r h =+

得2

22(

()22

R =+

，解得R ∴

球的体积3344

V R ππ===. 所以选A.

点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质222

R r h =+，体积和表面积公式.

第8讲 §2.1.1 平面

¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图

形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.

¤知识要点：

1. 点A 在直线上,记作A a ∈；点A 在平面α内,记作A α∈；直线a 在平面α内,记作a α?.

l l β=∈ 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲：

【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P 56

A 组5题）

解

：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理

1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.

【例2】空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点. （同P 58 B 组3题）

解：∵P ∈EF ，EF ?面ABC ，∴P ∈面ABC . 同理P ∈面ADC . ∵ P 在面ABC 与面ADC 的交线上，

又 ∵面ABC ∩面ADC =AC ， ∴P ∈AC ，即EF 、HG 、AC 三线共点. 【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B C ，求证：直线,,AB BC CA 共面.

证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α．因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α. 所以AB ，BC ，CA 三直线共面．

点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.

【例4】在正方体1111ABCD A B C D -中，

（1）1AA 与1CC 是否在同一平面内？（2）点

1,,B C D 是否在同一平面内？（3）画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线. 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，

∵11//AA CC ， ∴由公理2的推论可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ， ∴1AA 与1CC 在同一平面内.

（2）∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ，∴ 点1,,B C D 在同一平面内. （3）∵AC

BD O =，11D C DC E =， ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ，

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 6

又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ， ∴ 平面1AC 平面1BC D 1OC =，

同理平面1

ACD 平面1BDC OE =．

点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练.

第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，

掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.

¤知识要点：

1. 空间两条直线的位置关系：????

???

?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2. 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）. ,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90]?，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a b ⊥. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.

¤例题精讲：

【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（）.

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条

解：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.

记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成30°的直线．过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b '所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l 和l '，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.

【例2】如图正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A 1C 1与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；

（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵ 正方体1111ABCD A B C D -中，1BB //1DD ，∴BD //11B D .

又 ∵ 111B D C 中，E 、F 为中点，

∴ EF //111

B D . ∴ //EF BD , 即D 、B 、F 、E 四点共面. （2）∵ 1Q A

C ∈平面，Q BE ∈平面，1P AC ∈平面，P BE ∈平面，

∴ 1AC BE PQ =平面平面.

又 1

AC BE R =平面， ∴ 1R AC ∈平面，R BE ∈平面， ∴ R PQ ∈. 即P 、Q 、R 三点共线

【例3】已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面. 证明：因为a //b ，由公理2的推论，存在平面α，使得,a b αα??. 又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α?. 假设c α?，则c C α=, 在平面α内过点C 作//c b '，因为b //c ，则//c c '，此与c c C '=矛盾. 故直线c α?.

综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.

点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此

例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.

【例4】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点. （1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC 1 ，

∵DC 1∥AB 1，

E 1

A 1

C A

∴ DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角. ∵ ∠CC 1D =45°， ∴ AB 1 和CC 1所成的角是45°. （2）如图，连结DA 1、A 1C 1，

∵ EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴ ∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角.

∵ΔA 1DC 1是等边三角形， ∴ ∠A 1DC 1=60o，即直线AB 1和EF 所成的角是60o.

点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.

第10讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系

¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.

¤知识要点：

1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l α?；l P α=；//l α.

2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作//αβ；l αβ=.

¤例题精讲：

【例1】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和CD 所成的角的大小.

解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N 连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角（如图所示）.

连结MN 、DN ，设AB =2， ∴PM =PN =1.

而AN =DN

=MN ⊥AD ，AM =1，得MN

∴MN 2=MP +NP 2，∴∠MPN =90°.∴异面直线AB 、CD 成90°角.

【例2】在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ?BD =b ，求22EG FH +.

解：四边形EFGH 是平行四边形，

22EG FH +=222()EF FG +=222

1()(2)2

AC BD a b +=-. 【例3】已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G

分别是BC 、CD 上的点，且2

CF CG CB CD ==.

求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.

证明：（1）在△ABD 和△CBD 中，

∵ E 、H 分别是AB 和CD 的中点， ∴ EH //1

BD . 又 ∵

23CF CG CB CD ==， ∴ FG //2

BD . ∴ EH ∥FG . 所以，E 、F 、G 、H 四点共面.

第11讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定

¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行?线面平行”.

¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：,,////a b a b a ααα???. 图形如右图所示. ¤例题精讲：

【例1】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC

证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG .

∵ F 为PD 中点， ∴ GF ∥CD 且GF =

CD . ∵ AB ∥CD ， AB =CD ， E 为AB 中点，

∴ GF ∥AE ， GF =AE ，四边形AEGF 为平行四边形.

A B

D E

O ∴EG∥AF，

又∵AF?平面PEC，EG?平面PEC，∴AF∥平面PEC.

【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：

EF∥平面BB1D1D.

证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=

DC.

∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，

∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形. ∴EF∥D1O.

又∵EF?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.

【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC

的中点，求证：AM∥平面EFG.

证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，

在BCD

?中，G、F分别是BD、CD中点，∴//

GF BC，

∵G为BD中点，∴O为MD中点，

在AMD

?中，∵E、O为AD、MD中点，∴//

EO AM，

又∵AM?平面EFG，EO?平面EFG，∴AM∥平面EFG.

点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就

可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.

【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、

PC的中点

（1）求证：MN//平面P AD；（2）若4

MN BC

==，PA=P A与MN所成的角的大小.

解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，

∴NH//=

DC. 由M是AB的中点，∴NH//=AM，

即AMNH为平行四边形. ∴//

MN AH.

由,

MN PAD AH PAD

平面平面，∴//

MN PAD

平面.

（2）连接A C并取其中点为O，连接OM、ON，

∴OM//=

BC，ON//=

P A，所以ONM

∠就是异面直线P A与MN所成的

角，且MO⊥NO. 由4

MN BC

==，PA=得OM=2，ON=

所以0

ONM

∠=，即异面直线P A与MN成30°的角

点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，

方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.

第12讲§2.2.2 平面与平面平行的判定

¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.

¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面

平行．用符号表示为：

//,//

a b a b P

a b

ββ

βα

αα

??=?

¤例题精讲：

【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1

的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，∴PN∥BD.

又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.

同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.

【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

证明：（1）由B1B//=DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．

同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴

（2）由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE

∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ． ∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．【例3】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD .

求证：平面MNQ ∥平面PBC .

证明： PM ：MA =BN ：N D=PQ

：QD . ∴ MQ //AD ，NQ //BP ，而BP ?

平面PBC ，NQ ?平面PBC , ∴ NQ //平面PBC . 又ABCD 为平行四边形，BC //AD

， ∴ MQ //BC ，

而BC ?平面PBC ，MQ ?平面PBC , ∴ MQ //平面PBC .

由MQ NQ =Q ，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ ∥平面PBC .

点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

第13讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质

¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面

平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.

¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的

平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：////a a a b b αβαβ??

????=?

¤例题精讲：

【例1】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B 证明：∵ 11111111//,,AA BB AA BEE B BB BEE B ??平面平面，

∴ 111//AA BEE B 平面. 又 11111111AA ADD A ADD A BEE B EE ?=平面，平面平面， ∴ 11//AA EE .

则111111//////AA BB BB EE AA EE ?

???

. 【例2】如图，//AB α，//AC BD ，C α∈，D α∈，求证：AC BD =. 证明：连结CD ，

∵//AC BD ，

∴直线AC 和BD 可以确定一个平面，记为β， ∵,C D α∈，,C D β∈，∴CD αβ=，

∵//AB α，AB β?，CD αβ=

∴//AB CD ，又∵//AC BD ，

∴ 四边形ACDB 为平行四边形， ∴AC BD =.

第14讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质

¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的

性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.

¤知识要点：

1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==?.

2. 其它性质：①//,//l l αβαβ??； ②//,l l αβαβ⊥?⊥；

③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN ∥α.

A β a α

b β

αE

N M

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 10

证明：连接BC ，取BC 的中点E ，分别连接ME 、NE ，

则ME ∥AC ，∴ ME ∥平面α，又 NE ∥BD ， ∴ NE ∥β，

又M E ∩NE =E ，∴平面MEN ∥平面α，∵ MN ?平面MEN ，∴MN ∥α.

【例2】如图，A ，B ，C ，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点，在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形．

证明：∵ A ，B ，C ，D 四点在β内的射影A 2，B 2，C 2，D 2在一条直线上， ∴A ，B ，C ，D 四点共面．

又A ，B ，C ，D 四点在α内的射影A 1，B 1，C 1，D 1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1．

∴AB ，CD 是平面ABCD 与平面ABB 1A 1，平面CDD 1C 1的交线．

∴AB ∥CD ．同理AD ∥BC ． ∴四边形ABCD 是平行四边形．

第15讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定

¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.

¤知识要点：

1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）

2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ?α，n ?α，则l ⊥α

3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.

¤例题精讲：

【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，

且EF AC =

，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .

证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12

//AC =

，12

//FG BD =. 又,AC BD =∴12FG AC =

，∴在EFG ?中，22221

EG FG AC EF +==， ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =， ∴BD ⊥平面ACD .

【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成

的角的正弦值.

解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO .

由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求. 在Rt EOA ?

中，11122EO EF A D =

，AE =

sin EO EAO AE ∠=

. 所以直线AE 与平面11ABC D

. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，

求证：O 为底面△ABC 的垂心.

证明：连接OA 、OB 、OC ，∵ PO ⊥平面ABC ， ∴ ,PO BC PO AC ⊥⊥.

又 ∵ PA BC PB AC ⊥⊥，

， ∴ BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，

平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，, ∴

O 为底面△

ABC

的垂心.

点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ⊥⊥，，求证PC AB ⊥”

，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ⊥后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.

第16讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定

¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.

¤知识要点：

1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）

2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 范围：0180θ?<

3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.

4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直） ¤例题精讲：

【例1】已知正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC 、CD 的中点E 、F ，连结AE 、EF 、AF ，以AE 、EF 、F A 为折痕，折叠使点B 、C 、D 重合于一点P .

（1）求证：AP ⊥EF ；（2）求证：平面APE ⊥平面APF . 证明：（1）如右图，∵∠APE =∠APF =90°，PE ∩PF =P ， ∴ P A ⊥平面PEF . ∵EF ?平面PEF ，∴P A ⊥EF .

（2）∵∠APE =∠EPF =90°，AP ∩PF =P ，∴PE ⊥平面APF . 又PE ?平面P AE ，∴平面APE ⊥平面APF .

【例2】如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA ==

,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .

证明：,AB BC G =为AC 中点，所以AC BG ⊥. 同理可证,AC DG ⊥ ∴ AC ⊥面BGD . 又易知EF //AC ，则EF ⊥面BGD .

又因为EF ?面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BGD .

第17讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质

¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中

线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用. ¤知识要点：

1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）

2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若αβ⊥，l αβ=，a α?，a l ⊥，则a β⊥.（面面垂直→线面垂直）

¤例题精讲：【例1】把直角三角板ABC 的直角边BC 放置于桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？解：

注：若BC 与a 垂直，同理可得AB 与a 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”.

【例2】如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，P A ⊥平面ABC . （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

解：（1）证明：∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径， ∴

BC ⊥

AC . 又P A ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，

????

?⊥ααa AC ???

???=⊥⊥A AB AC AB a AC

a BC a ABC BC ABC a ⊥??

?⊥平面平面

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 12

∴BC ⊥P A ，从而BC ⊥平面P AC .

∵ BC ?平面PBC ， ∴平面P AC ⊥平面PBC .

（2）平面P AC ⊥平面ABCD ；平面P AC ⊥平面PBC ；平面P AD ⊥平面PBD ；平面P AB ⊥平面ABCD ；平面P AD ⊥平面ABCD .

第18讲第3章 §3.1.1 倾斜角与斜率

¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线

斜率的计算公式.

¤知识要点：

1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点

1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21

y y k x x -=

-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不

存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

¤例题精讲：

【例1】如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

解：60AD BC αα==?，0AB DC αα==?，30AC α=?

，120BD α=?.

AD BC k k ==0AB CD

k k ==

，AC k =

BD k =. 【例2】已知过两点22

(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.

解： ∵ 202

32tan 4512(3)

m m

m m m --==+---， ∴2320m m ++=，解得 1m =-或2-. 但当1m =-时，A 、B 重合，舍去． ∴2m =-．【例3】已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．解: 725

33AB k a a

--， 7(9)793(2)5BC a a k --+==--. ∵ A 、B 、C 三点在一条直线上， ∴ AB BC k k =，即

57935a a +=

-，解得2a =或2

a =. 第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

¤学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线

斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

¤知识要点：

1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：

（1）12//l l ?12k k =；（2）12l l ⊥?121k k ?=-.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. ¤例题精讲

：

【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,2A +

、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD

的形状.

解：AB

边所在直线的斜率2(2222AB k -+

==--，CD

边所在直线的斜率2(2422

CD k --

-, BC

边所在直线的斜率(2202BC

k --=

=-DA

边所在直线的斜率(2224

DA k +-==-∵ ,AB CD BC DA k k k k ==，

∴

AB //CD ，BC //DA ，即四边形ABCD 为平行四边形.

又 ∵

(12

AB BC k k =

?=-，∴ AB ⊥BC ，即四边形ABCD 为矩形. 【例2】已知ABC ?的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．解：设顶点A 的坐标为(,)x y ．

∵ ,AC BH AB CH ⊥⊥，∴ 11AC BH

AB CH

k k k k ?=-??

?=-?，即 31()165

11()123y x y x -??-=-??+?-??-=-?-?

，

化简为53335y x y x =+??=-?，解之得：19

62x y =-??=-?

. ∴ A 的坐标为(19,62)--.

【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，5

），试判断1l 与2l 是否平行？

（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？

解：（1） ∵MN k =

0(6)1

3(15)2

--=---，531220(2)2

k -==--. ∴ 1l //2l ．（2） ∵ 1tan 451k =?=，26(1)

13(2)

k ---==---， 121k k =-， ∴1l ⊥2l ．

点评：当1l 与2l 的斜率存在时，1212//k k l l =?，12121k k l l =-?⊥. 斜率不存在时，进行具体的分析. 由此先计算出斜率，根据斜率的相等或互为负倒数，从而判别平行或垂直.

第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程

¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式、斜截式，体会斜截式与一次

函数的关系.

¤知识要点：

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.

2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.

4. 注意：

y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.

¤例题精讲：

【例1】写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.

解：（1）

54(3)y x -=-（2）tan tan

30k α==?=

所以直线的点斜式方程为：13)y x +=-. 【例2】已知直线31y kx k =++.

（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.

解：（1）由(3)1y k x =++，易知3x =-时，1y =，所以直线恒经过的定点(3,1)-.

（2）由题意得(3)3103310

k k k k -++>??++>?，解得16k >-.

【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.

解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上，同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，

∴k 2A B =

+--=－2. 故所求直线方程为y －6=－2（x +2），即2x +y －2=0.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 14

点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.

【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．

解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．

∵直线l 经过点(5,4)P --，∴ 可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y k x +=+. 则直线l 在x 轴上的截距为4

-，在y 轴上的截距为54k -. 根据题意得

|5||54|52k k

--=，即2(54)10||k k -=. 当0k >时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得1228

,55

k k ==；

当0k <时，原方程可化为2

(54)10k k -=-，此方程无实数解.

故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或8

4(5)5

y x +=+.即25100x y --=或85200x y -+=.

点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程

¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式. 明白直线的点斜式、

斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性.

¤知识要点：

1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为

2121y y x x y y x x --=

--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x y

a b

+=.

3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.

4. 线段12

P P 中点坐标公式1212

(,)22

x x y y ++. ¤例题精讲：

【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程. 解：求出AC 中点D 的坐标(4,4)D ，则直线BD 即为所求，由直线方程的两点式得

4044

y x -+=

-+，即240x y -+=. 【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.

解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示. 根据菱形的对角线互相垂

直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称.

所以A (－４，0)，C （４，0），B （0，3），D （0，－3）. 由截距式，得

直线AB 的方程：

43x y +-＝1，即3x －４y ＋12＝0；直线BC 的方程：43x y

+＝1, 即3x ＋４y －12＝0；直线AD 方程：43x y +

--＝1, 即3 x ＋４y ＋12＝0；直线CD 方程：43

x y

+-＝1即3 x －４y －12＝0. 第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程

¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程

形式之间的关系.

¤知识要点：

1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、

B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By

C B ++=≠化为斜截式

方程A C y x B B =-

-，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C

-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直

的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.

经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=；经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.

3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222

:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）1212120l l A A B B ⊥?+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ?-=-≠；

（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ?-=-=；（4）1l 与2l 相交12210A B A B ?-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ?

=≠

；1l 与2l 重合111222A B C A B C ?==；1l 与2l 相交1122

A B

A B ?≠. ¤例题精讲：

【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .

解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ?+?=，解得m ＝0.

（2）12//l l 时，

122

11m m m m

--=≠

--, 解得m ＝1. 【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=. （2）由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=.

【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为3

-，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为34-

，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34

-，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：3

3(1)4

y x -=-+，即3490x y +-=.

点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即

3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.

第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标

¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点

与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=??++=?. 若方程组有

惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程111222

()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.

¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.

（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0；（2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.

解：（1）解方程组231003420x y x y -+=??+-=? ，得2

2x y =-??=?. 所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）.

（2）解方程组1

2nx y n ny x n

-=-??-=?，消y 得 22(1)n x n n -=+.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 16

当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l .

当1n =-时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合. 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =

-，211

n y n -=-， l 1与l 2相交. ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21

(

,)11

n n n n ---. 【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程. 解：设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=. ∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+?---?=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.

第24讲 §3.3.2 两点间的距离

¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到

特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.

¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y

，则两点间的距离为：12||PP 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，

1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+

上时，1212|||PP

x x =-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.

¤例题精讲：

【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程. 解：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，

根据两点的距离公式得 22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即, 解得3225a a ==

或，∴3264

(2,4)(,)55

P 或． ∴ 直线PM 的方程为

8585

6432482585

y x y x ----==----或，即4340247640x y x y -+=--=或.

【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.

解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则

214

41240

b a a b +??=-??-?+-??--=??，解得01a b =??

=?，

所以线段|'|A B 【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy . 设点A (a ,b)、B (-c ,0)、C (c ,0),

由两点间距离公式得：

|AB

|AC

|AO

， |OC |=c .

∴ |AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++， |AO |2＋|OC |2=222a b c ++. ∴ |AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.

第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离

¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学

思想，培养研究探索的能力.

¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=

的距离公式为d .

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间

的距离公式

d =

，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即

002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =

¤例题精讲：

【例1】求过直线1110

:33

l y x =-+

和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.

解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=, 整理得(31)(3)100x y λλ++--=.

由点到直线的距离公式可知，

1d =

=, 解得3λ=±. 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或.

【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离. 解：直线方程化为450x y --=. 设2(,4)P a a , 则点P 到直线的距离为

222

d =

当12a =

时，点1

(,1)2

P 【例3】求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3.

解：由点线距离公式，得

d =.

假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=. ∵ 248417361400?=-??=-<， ∴ 21748360m m ++=无实根.

∴ 3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.

点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.

另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，

得(4)260x y m x y --+--=.

由

{

40260x y x y --=--=，解得{

x y ==-. 所以直线L 恒过定点(2,2)Q -.

点P 到直线L 取最大距离时, PQ ⊥L ，即最大距离是PQ .

∵

<3， ∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.

点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是

1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大.

第26讲第4章 §4.1.1 圆的标准方程

¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、

几何法求圆的标准方程.

¤知识要点：

1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.

2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲：【例1】（01年全国卷.文）过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4

解：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件, 再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 18

满足条件. 所以，选C.

另解：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r , 因为圆心C 在直线x +y －2=0上, ∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1. 因此，所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4. 选C. 【例2】求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --

解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则

222(23)(02)r --++=，解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=.

（2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，

圆心为(2,3)-

，半径r ∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=. 【例3】推导以点(,)A a b 为圆心，r 为半径的圆的方程.

解：设圆上任意一点(,)M x y ，则||MA r =.

r . 化简即得圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=

第27讲 §4.1.2 圆的一般方程

¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法

求圆的一般方程.

¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是

(,)

22D E -

-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式. ¤例题精讲：

【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则

442202595309130D E F D E F D E F ++++=??++++=??++-+=?，解得8212D E F =-??=-??=?

. ∴ 圆的方程为22

82120x y x y +--+=. 【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.

解：配方得[]2

(3)(14)16x m y m m ??-++--=+??，该方程表示圆，则有

160m +>，得1

(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2

314x m y m

=+??=-?，消去m ，得24(3)1y x =--，由1

(,)6

m ∈-+∞得x =m +317(

,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17

(,)6

x ∈+∞ 第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系

¤学习目标：能根据给定直线、圆的方程，

判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决简单问题.

¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定：方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；

方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =

，比较d 与r 的大小.

（1）相交d r ?

?>；（2）相切d r ?=?0?=；（3）相离d r ?>?0?<.

2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也

要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x ＋y －2x ＝0相切，则a 的值为 . 解：将圆x 2＋y 2－2x ＝

0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1

＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离1d =， ∴ a ＝－1.

【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长. （P 144 练习1题）

解：由题意，列出方程组22

220(3)9x y x y --=??-+=?

，消y 得2

51440x x -+=，得12145x x +=，1245x x =. 设直线220x y --=与圆22(3)9x y -+=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则

21|||AB x x -

另解：圆心C 的坐标是(3,0)，半径长3r =. 圆心到直线220x y --=的距离

d ==

所以，直线220x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长是=. 第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系

¤学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关

系或求交点坐标.

¤知识要点：两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ?-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ?=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ?=-；

¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.

解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =2C 的圆心为（0，2），半径为2r =

又12||C C =12||r r -＜12||C C <12r r +， ∴圆1C 与2C 相交. （2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.

【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.

解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即

22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=, 则所求圆的圆心为33

(,)11λλλ

-++. ∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得1

λ=-.

∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=

第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用 ¤学习目标：能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数

方法处理几何问题的思想.

¤知识要点：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题

¤例题精讲：

【例1】有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A 地的运费是B 地运费的3倍．已知A 、B 两地相距10千米，顾客购物的标准是总费用较低，求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．

解：建立使A (－5，0)、B (5，0)的直角坐标系，设单位距离的运费是a 元. 若在A 地购货费用较低，则：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费

即 3∵ a ＞0，∴ 8x 2＋8y 2＋100x ＋200y ≤0.得 (x ＋

254)2＋y 2≤(154

. ∴ 两地购物区域的分界线是以点C (－254，0)为圆心，15

为半径的圆.

所以，在圆C 内的居民从A 地购物便宜，圆C 外的居民从B 地购物便宜，

圆C 上的居民从A 、B 两地购物总费用相等．

【例2】自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆224470x y x y +--+=相切, 求光线l 所在的直线方程.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 20

解：由已知可得圆C ：22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴对称的圆C ‘

的方程为22(2)(2)1x y -++=，其圆心

C ‘

（2，-2），易知l 与圆C ’相切.

设l : y -3=k (x +3), 即kx -y +3k +3=0.

1=，整理得12k 2+ 25k +12=0, 解得34k =-或4

3k =-.

所以，所求直线方程为y -3=34- (x +3)或 y -3=4

- (x +3)，即3x +4y -3=0或4x +3y +3=0.

点评：关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法.

如果由方程组思想，通过“0?=”求切线方程也可, 但过程要复杂些.

第31讲 §4.3.1 空间直角坐标系

¤学习目标：通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐

标系刻画点的位置.

¤知识要点：1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O -xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.

2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出M 点在三条坐标轴Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，则把有序实数组(x , y , z )叫做M 点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x , y , z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.

4. 在xOy 平面上的点的竖坐标都是零，在yOz 平面上的点的横坐标都是零，在zOx 平面上的点的纵坐标都是零；在Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零

¤例题精讲：【例1】在空间直角坐标系中，作出点M (6，－2, 4).

解：点M 的位置可按如下步骤作出：

先在x 轴上作出横坐标是6的点1M ，再将1M 沿与y 轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M ，然后将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动4个单位即得点M . M 点的位置如图所示.

【例2】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12，AD =8，1AA =5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

解：以A 为原点，射线AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，

则A (0,0,0)、B (12,0,0)、C (12,8,0)、D (0,8,0)、 1A (0,0,5)、1B (12,0,5)、1C (12,8,5)、1D (0,8,5).

【例3】已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

分析：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系.

解：正四棱锥P -ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，

∴正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为

A (2,-2,0)、

B (2,2,0)、

C (-2,2,0)、

D (-2,-2,0)、P

(0,0,点评：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标.

第32讲 §4.3.2 空间两点间的距离公式

¤学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距

离公式.

¤知识要点：

1. 空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z

间的距离公式：12||PP

高中数学试卷必修二基础100题

高中数学试卷必修二基础50题一、单选题（共15题；共30分） 1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③不是棱锥 D. ④是棱柱 2.直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为（） A. y＝－2x＋1 B. y＝2x－1 C. y＝－2x－1 D. y＝－x－1 3.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 4.若点到直线的距离为1，则的值为（） A. B. C. 或 D. 或 5.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（） A. 1：2, B. 1：4, C. 1：8, D. 1：16。 6.已知直线，则直线l的倾斜角为（） A. B. C. D. 7.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（） A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 8.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（） A. 棱台 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 都不对 9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（） A. B. 3 C. ﹣3 D. 11.已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（） A. B. C. D. 12.椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（） A. x﹣2y=0 B. x+2y﹣8=0 C. 2x+3y﹣14=0 D. x+2y﹣4=0 13.在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，，下列判断正确的是（） A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则∥ C. 若，∥，则 D. 若，，∥，则∥ 14.在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（） A. 5 B. 8 C. 10 D. 6 15.若两直线，的斜率分别是，，倾角分别是，，且满足，则（） A. B. C. D. 二、填空题（共20题；共24分） 16.曲线在点处的切线方程为________．

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

人教版高中数学必修二全册知识点归纳总结

人教版高中数学必修二全册知识点归纳总结必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=3 1锥体； () h S S S S V 下下上上台体+?+=31 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

高中数学必修2《概率》知识点讲义

第三章概率一．随机事件的概率 1、基本概念： ????????不可能事件确定事件事件必然事件随机事件（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。 2、概率与频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值 A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。二．概率的基本性质 1、各种事件的关系：（1）并（和）事件（2）交（积）事件（3）互斥事件（4）对立事件 2、概率的基本性质：（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；（2）P(E)=1(E 为必然事件）；（3）P(F)=0(F 为必然事件）；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；（5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

2019年人教版高中数学必修二综合测试题(含答案)

必修2综合测试题一、选择题 1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ． 2 1 B ． 2 3 C ． 2 2 D ． 2 2 3 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 3．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋ 2 1 y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x ＋y －1＝0 5．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )． A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台（4 （3 （1 （2

6．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置关系( )． A．相离B．相切 C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心 7．过点P(a，5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线长为3 2，则a等于( )．A．－1 B．－2 C．－3 D．0 8．圆A : x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B : x2＋y2―2x―6y＋1＝0的位置关系是( )．A．相交B．相离C．相切D．内含 9．已知点A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|＝( )． A．6B．26C．2D．22 10．如果一个正四面体的体积为9 dm3，则其表面积S的值为( )． A．183dm2B．18 dm2C．123dm2D．12 dm2 11．正六棱锥底面边长为a，体积为 2 3a3，则侧棱与底面所成的角为( ) A．30°B．45°C．60°D．75° 12．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的 2 3，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)，则旋转体的体积为( )．A．2 B． 32 ＋ 4C． 32 ＋ 5D． 3 7 二、填空题 13．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是______． 14．若圆B : x2＋y2＋b＝0与圆C : x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则b的取值范围是________________． 15．已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1(1，2)，P2(4，3)和P3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．

新课标高中数学必修二基础练习卷(答案)

高一数学必修二基础练习卷班别 ____ 姓名________ 座号_____ 一、选择题 1 .用符号表示点A在直线I上，I在平面G外”正确的是（） A. A I,丨二匚 B. A l,l「 C. A 丨，丨二： D. A I ,l「 2、正棱柱L长方体?=（） A. ■正棱柱｝ B.长方体1 C. ■正方体｝ D.不确定 3、已知平面a内有无数条直线都与平面B平行，那么（） A . all 3 B. a与B相交 C . a与3重合 D . al 3或a与3相交 4、在空间四边形ABCD各边AB BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与EF、GH能相交于点P，那么 A、点P不在直线AC上 B、点P必在直线BD上 C、点P必在平面ABC内 D、点P必在平面ABC外 5、已知正方体的ABC^A1B1C1D1棱长为1，则三棱锥C -BC i D的体积是（） 1 1 A. 1 B. C.— 3 2 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 A.24 n 捅12 n cn3 B.15 n c n i 12 n cn3 C.24 n cn, 36 n cn3 D.以上都不正确 1 D.— 6 cm）,则该几何体的表面积和体积为：（ 7. 利用斜二测画法，一个平面图形的直观图是边长为（） A .3 B 2 C 2.2 8. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ 1的正方形，如图所示.则这个平面图形的面积为 A .仝二R3 24 B. 乜二R3 8 C .乜二R3 24

9.用与球心距离为1的平面去截面面积为二，则球的体积为（） 2 2 18 .圆x y -2y -1 = 0的半径为 () A.1 B.2 C. 3 D. 2 19、直线 3x+4y-13=0 与圆（x -2）2，（ y - 3）2 =1 的位置关系是：（） A.相离； B.相交； C.相切； D.无法判定. 20 .圆：x 2 y 2 -2x -2y ? 1 =0上的点到直线x - y =2的距离最大值是（ f — A 、2 B 、12 C 、1 - D 、12.2 232-： A. B. 3 10. 已知m, n 是两条不同直线，:■ A .若m IN- ,n II 〉,则m II n C .若mil :■ ,m | ,则:-I : 11. 已知点 A(1,2)、B (-2, 3)、C (4, 1 A . - B . 1 2 12. 直线x -3y T =0的倾斜角是( A. 300 B. 600 C. 1200 - C. D. 3 ,'-,是三个不同平面，下列命题中正确的是 B .若口丄？，B 丄？,则a II P D .若m 丨r , n 丨-,则m I n y ）在同一条直线上，贝U y 的值为（ 3 C. - D . -1 2 ）. D. 1500 13. 直线I 经过两点A1,2、B 3,4，那么直线I 的斜率是 A. -1 B. -3 C. 1 D. 3 14. 过点P （T,3）且垂直于直线x 「2y ，3 = 0的直线方程为（） A . 2x y-1=0 B . 2x y-5=0 C. x 2y-5=0 D . x-2y 7=0 k A . (0,0) B . (0,1) C . (3,1) D . (2,1) 16 .两直线3x ? y -3 =0与6x my ^0平行，则它们之间的距离为（ A . 4 B . ■— 13 17 .下列方程中表示圆的是( A . x 2 + y 2 + 3x + 4y + 7=0 C . 2x ?+ 2y 2— 3x — 4y — C . D . — 26 20 ) B . x 2+ 2y 2— 2x + 5y + 9=0 D . x 2— y 2— 4x — 2y +

人教版必修二高中数学笔记讲义

第1讲第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽 1.下列说法错误的是（） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误. 答案：D 2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm. 分析：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：12 3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. ¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R +r = 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图 ¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型. ¤知识要点： 1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.

高中数学必修二知识点、考点及典型例题

必修二第一章空间几何体知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：3 3 4　R V π= ，球的表面积公式：2 4　R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=3 1，锥体截面积比： 2 2 212 1h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章直线与方程知识点： 1、倾斜角与斜率：1 212tan x x y y k --==α 2、直线方程： ⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：1211 21 y y y y x x x x --=--

高中数学必修二讲义专题3.2 直线的方程

一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的，简称 . 当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是 00y y -=,或0y y =. 当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =. 深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程. （2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线. 2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得

y y k x x - = - (1),即 00 () y y k x x -=-(2). 注意方程(1) 与方程(2)的差异：点 P的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点 P不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l的方程. 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点 P,斜率为k的直线l的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l与y轴交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的. 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为(0) y b k x -=-，即叫做直线的，简称. 当b=0时，y kx =表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，y b =表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，0 y=表示与x轴重合的直线. 深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时. （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示. 2．直线的斜截式方程的推导已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0) y b k x -=-,

高二数学必修二综合测试题有答案

班级 ________________ 姓名 ________________________________ 一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分） 1.下面四个命题： ① 分别在两个平面内的两直线是异面直线； ② 若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; ③ 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④ 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确的命题是（） A .①② B .②④ C .①③ D .②③ cos F 1PF 2 等于( C . 5. 已知空间两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 A .若 m// ,n ,则m//n B .若 m,m n,则n C .若 m// ,n// ,则m//n D .若m// ,m , I n,则m//n 6. 圆x 2 + y 2— 2x + 4y — 20= 0截直线5x — 12y + c = 0所得的弦长为 8,则c 的值是（） A . 10 B . 10 或—68 C . 5 或—34 D . — 68 7. 已知ab 0,bc 0 ,则直线ax by c 通过（） A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第一、三、四象限 D .第二、三、四象限 & 正方体 ABC —A 1BC 1D 1中，E 、F 分别是AA 与CC 的中点，则直线 ED 与DF 所成角的数学必修综合测试题总分： _________________ 2. 过点P （ 1,3）且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程为（ A . 2x y 1 0 B . 2x y 5 C . x 2y 5 D . x 2y 7 3. 4. 圆（x — 1）2+ y 2= 1的圆心到直线 2 2 y 1的左右焦点, 5 B . 2 x 已知F, F 2是椭圆石 C . P 为椭圆上一个点, 且 PF 1 : PF 1:2，则 B . ，则下列命题中正确的是（）

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人教版高中数学必修2 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标 1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）实物模型、投影仪。四、教学过程（一）创设情景，揭示课题 1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个） 2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？

3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。（二）、研探新知空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台；旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。 1、棱柱的结构特征：（1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片，思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？（学生讨论）（2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）： ①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。（3）棱柱的表示法及分类：

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第二章直线与平面的位置关系 §2.1.1 平面一、教学目标： 1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。难点：平面基本性质的掌握与运用。三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。（二）研探新知 1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D C B A α

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2015-2016学年度第一学期高一数学期末考试试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟 12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只、下图（1）所示的圆锥的俯视图为（）．已知直线l的方程为1 y x =+，则该直线l的倾斜角为（）． 30 (B) 60 (C) 45 (D)135 、边长为a正四面体的表面积是（） A3；B3；C2；D2。、对于直线:360 l x y -+=的截距，下列说法正确的是（） A、在y轴上的截距是6； B、在x轴上的截距是6； C、在x轴上的截距是3； D、在y轴上的截距是3-。、已知, a b αα ? //，则直线a与直线b的位置关系是（） A、平行； B、相交或异面； C、异面； D、平行或异面。、已知两条直线 12 :210,:40 l x ay l x y +-=-=，且 12 l l//，则满足条件a的值为（） A、 1 2 -；B、 1 2 ；C、2 -；D、2。 7.已知点(,1,2) A x B 和点(2,3,4),且AB=,则实数x的值是（）． (A) 6或-2 (B)–6或2 (C)3或-4 (D) -3或4 8、已知圆22 :260 C x y x y +-+=，则圆心P及半径r分别为（） A、圆心() 1,3 P，半径10 r=；B、圆心() 1,3 P，半径r=； C、圆心() 1,3 P-，半径10 r=；D、圆心() 1,3 P-，半径r=。 9、若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（）（A）只有一条（B）无数条（C）是平面α内的所有直线（D）不存在 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（） A、两条平行直线； B、一点和一条直线； C、两条相交直线； D、两个点。 11.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为（） A、2 a πB、22a πC、32a πD、a π2 4 12.直线 3 y2 x= - - 与圆 9 )3 y( )2 x(2 2= + + - 交于E、F两点，则 ?EOF（O是原点）的面积为（）． A． 5 2 B．4 3 C．2 3 D． 5 5 6（B 第 1 页共5 页

高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当[ ) 90,0∈α 时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0

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第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点、难点重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平

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