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北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 2020. 01

本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5A =,{}2,3,4B =,则集合U A B I e是 (A ){1,3,5,6}

(B ){1,3,5} (C ){1,3} (D ){1,5}

(2)抛物线2

4y x =的焦点坐标为 (A )(0,1)

(B )(10,) (C )(0,1-) (D )(1,0)-

(3)下列直线与圆22

(1)(1)2x y -+-=相切的是

(A )y x =- (B )y x =

(C )2y x =- (D )2y x =

(4)已知,a b R ?,且a b >,则 (A )

11a

b <

(B )sin sin a b >

(C )1

1

()()33

a

b

<

(D )22a b >

(5)在5

1

()x x

-的展开式中,3

x 的系数为

(A )5- (B )5 (C )10- (D )10

(6)已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ,且||||||1===a b c ,则?a b 的值为

(A )12

-

(B )

12

(C )32

-

(D )

32

(7)已知α, β, γ是三个不同的平面,且=m αγI ,=n βγI ,则“m n ∥”是“αβ∥”的

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件

(D )既不充分也不必要条件

(8)已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上,且BD CD >,7AD =下列结论中错误

的是

(A )2BD

CD

= (B )

2ABD

ACD

S S ??= (C )

cos 2cos BAD

CAD

∠=∠ (D )

sin 2sin BAD CAD ∠=∠

(9)声音的等级()f x (单位:dB )与声音强度x (单位:2W/m )满足12

()10lg

110x f x -=??.

喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB ;一般说话时,声音的等级约为60dB ,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 (A )610倍

(B )810倍

(C )1010倍

(D )1210倍

(10)若点N 为点M 在平面a 上的正投影,则记()N f M a =.

如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,记平面

11AB C D 为b ,平面ABCD 为g ,点P 是棱1CC 上一动点(与

C ,1C 不重合),1[()]Q f f P g b =,2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论:

①线段2PQ 长度的取值范围是12

[2;

②存在点P 使得1PQ ∥平面b ; ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中,所有正确结论的序号是 (A )①②③

(B )②③

(C )①③

(D )①②

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(11)在等差数列{}n a 中, 25a =,52a =,则7a =_________. (12)若复数1i i

z +=

,则||z =_________.

(13)已知点A 3),点B ,C 分别为双曲线

222

13

x y a -

= (0)a >的左、右顶点. 若△ABC

为正三角形,则该双曲线的离心率为_________. (14)已知函数()a f x x x

=+

在区间(1,4)上存在最小值,则实数a 的取值范围是_________.

(15)用“五点法”作函数()sin()f x A x ω?=+的图象时,列表如下:

A 1

B 1

C 1

B

C

D

则(1)f -=_________,1

(0)()2

f f +-=_________.

(16)已知曲线C :44221x y mx y ++=(m 为常数).

(i )给出下列结论:

①曲线C 为中心对称图形; ②曲线C 为轴对称图形;

③当1m =-时,若点(,)P x y 在曲线C 上,则||1x ≥或||1y ≥.

其中,所有正确结论的序号是 . (ii )当2m >-时,若曲线C 所围成的区域的面积小于π,则m 的值可以是 .(写出一个即可)

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (17)(本小题共13分)

已知函数2

1()cos 3cos 2

f x x x x =+-.

(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间;

(Ⅱ)若()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1,求m 的最小值.

(18)(本小题共13分)

如图,在三棱锥V ABC -中,平面VAC ⊥平面ABC ,△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形,AB BC =,2AC CV ==,M ,N 分别为VA , VB 的中点. (Ⅰ)求证:AB //平面CMN ; (Ⅱ)求证:AB VC ⊥;

(Ⅲ)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.

(19)(本小题共13分)

某市《城市总体规划(2016—2035年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系,并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小

x 14-

12 54 2

114

x ω?+

0 2

π

π

32

π 2π ()f x

2

2-

N

M

区划分为:优质小区(指数为0.6~1)、良好小区(指数为0.4~0.6)、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0 ~0.2)4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据:

小区

指标值 权重 A 小区 B 小区 C 小区 教育与文化(0.20) 0.7 0.9 0.1 医疗与养老(0.20) 0.7 0.6 0.3 交通与购物(0.32) 0.5 0.7 0.2 休闲与健身(0.28)

0.5

0.6

0.1

注:每个小区“15分钟社区生活圈”指数11

223344T wT w T w T w T =+++,其中1234,,,w w w w 为该小区四个方面的权重,1234,,,T T T T 为该小区四个方面的指标值(小区

每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值).

现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据,整理得到如下频数分布表: 分组 [0,0.2) [0.2,0.4) [0.4,0.6) [0.6,0.8) [0.8,1] 频数

10

20

30

30

10

(Ⅰ)分别判断A ,B ,C 三个小区是否是优质小区,并说明理由;

(Ⅱ)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样,

抽取10个小区进行调查,若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查,记这2个小区中为优质小区的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.

(20)(本小题共14分)

已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的右顶点()2,0A 3.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设O 为原点,过点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ,Q ,直线AP 和AQ 分别与

直线4x =交于点M ,N .求△APQ 与△AMN 面积之和的最小值.

(21)(本小题共13分)

已知函数2

()e (1)(0)x

f x ax a =+>.

(Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;

(Ⅱ)若函数()f x 有极小值,求证:()f x 的极小值小于1.

(22)(本小题共14分)

给定整数(2)n n ≥,数列211221,,,n n A x x x ++L :每项均为整数,在21n A +中去掉一项k x , 并将剩下的数分成个数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为k m (1,2,,21)k n =+L . 将1221,,,n m m m +L 中的最小值称为数列21n A +的特征值. (Ⅰ)已知数列5:1,2,3,3,3A ,写出123,,m m m 的值及5A 的特征值;

(Ⅱ)若1221n x x x +≤≤≤L ,当[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥,其中,{1,2,,21}i j n ∈+L 且

i j ≠ 时,判断||i j m m -与||i j x x -的大小关系,并说明理由;

(Ⅲ)已知数列21n A +的特征值为1n -,求

121

||i j i j n x x ≤<≤+-∑

的最小值.

北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案

数 学 2020.01

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

D

B

A

C

A

A

B

C

B

D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 题号 11 12

13 14

15

16

答案

2

2

(1,16)

2-;0

① ②③;2m >均可

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (17)解:(Ⅰ)1cos 231

()2222x f x x +=

+- 31

sin 2cos 222

x x =

+ π

sin(2)6

x =+.

因为sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ??

-

+∈???

?

Z , 令πππ22π,2π()622x k k k ??

+

∈-+∈????

Z , 得πππ,π()36x k k k ?

?

∈-

+∈???

?

Z . 所以()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ?

?

-+∈???

?

Z . (Ⅱ)方法1:因为[0,]x m ∈,

所以πππ

2[,2]666

x m +

∈+.

又因为[0,]x m ∈,()f x πsin(2)6

x =+的最大值为1,

所以ππ

262m +

≥. 解得π

6

m ≥.

所以m 的最小值为π

6

.

方法2:由(Ⅰ)知: 当且仅当π

=π()6

x k k +

∈Z 时,()f x 取得最大值1. 因为()f x 在区间[0,]m 上的最大值为1,

所以π

6

m ≥

. 所以m 的最小值为π

6

.

(18)解:(Ⅰ)在△VAB 中,M ,N 分别为VA ,VB 的中点,

所以MN 为中位线. 所以//MN AB .

又因为AB ?平面CMN ,MN ?平面CMN , 所以AB //平面CMN .

(Ⅱ)在等腰直角三角形△VAC 中,AC CV =,

所以VC AC ⊥.

因为平面VAC ⊥平面ABC ,平面VAC I 平面

ABC AC =, VC ?平面VAC ,

所以VC ⊥平面ABC . 又因为AB ?平面ABC , 所以AB VC ⊥.

(Ⅲ)在平面ABC 内过点C 做CH 垂直于AC ,

由(Ⅱ)知,VC ⊥平面ABC , 因为CH

?平面ABC ,

所以VC CH ⊥. 如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.

A

B C

V

M

N

H

y

x

则(0,0,0)C ,(0,0,2)V ,(1,1,0)B ,(1,0,1)M ,11

(,

,1)22

N . (1,1,2)VB =-u u r ,(1,0,1)CM =u u u u r ,11

(,,1)22

CN =u u u r .

设平面CMN 的法向量为(,,)x y z =n ,

则0,

0.

CM CN ??=???=??u u u u r u u u

r n n 即0,11

0.22

x z x y z +=???++=?? 令1x =则1y =,1z =-,

所以(1,1,1)=-n . 直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ,

22

sin |cos ,|||||

VB VB VB θ?=<>==u u r

u u r u u r n n n 所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为

22

3

. (19)解:(Ⅰ)方法1:

A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =?+?+?+?=, 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;

B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =?+?+?+?=, 0.6920.60>,所以B 小区是优质小区;

C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =?+?+?+?=, 0.1720.60<,所以C 小区不是优质小区. 方法2:

A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =?+?+?+?= 0.580.60<,所以A 小区不是优质小区;

B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.28T =?+?+?+?

0.60.20.60.20.60.320.60.280.6>?+?+?+?=.

B 小区是优质小区;

C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.28T =?+?+?+?

0.60.20.60.20.60.320.60.280.6

C 小区不是优质小区.

(在对A 、B 、C 小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分,计算和说明理由1分)

(Ⅱ)依题意,抽取10个小区中,共有优质小区3010

104100

+?

=个,其它小区1046-=个.

依题意ξ的所有可能取值为0,1,2.

26210C 151

(0)C 453P ξ====;

1146210C C 248

(1)C 4515

P ξ====;

24210C 62

(2)C 4515

P ξ====.

则ξ的分布列为:

ξ 0

1

2

P

13

815

215

1824

012315155E ξ=?+?+?=

.

(20)解:(Ⅰ)解:依题意,得222(0)2,32.a b a c

a

c a b >>=??

?=???=-?

解得,2,

1.a b =??

=?

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

(Ⅱ)设点00(,)Q x y ,依题意,点P 坐标为00(,)x y --,

满足2

20014

x y +=(022x -<<且00y ≠),

直线QA 的方程为0

0(2)2

y y x x =

-- 令4x =,得0022

y y x =

-,即0

02(4,

)2y N x -. 直线PA 的方程为00(2)2y y x x =

-+ ,同理可得0

02(4,)2

y M x +. 设B 为4x =与x 轴的交点.

11

||||||||22

APQ AMN P Q M N S S OA y y AB y y ??+=??-+??-

000002211

2|2|2||2222

y y y x x =??+??--+

000011

2||2|||

|22y y x x =+?--+ 00204

2||2|||

|4

y y x =+?-.

又因为22

0044x y +=,00y ≠,

所以002012||2||APQ AMN S S y y y ??+=+?

002=2||4||

y y +≥. 当且仅当01y =±取等号,所以APQ AMN S S ??+的最小值为4.

(21)解:(Ⅰ)由已知得2()e (21)x f x ax ax '=++,

因为(0)1f = ,(0)1f ¢=, 所以直线l 的方程为1y x =+.

(Ⅱ)(i )当01a

所以2()e (21)0x f x ax ax '=++≥(当且仅当1a =且1x =-时,等号成立). 所以()f x 在R 上是单调递增函数. 所以()f x 在R 上无极小值.

(ii )当1a >时,一元二次方程2210ax ax ++=的判别式4(1)0a a ?=->, 记12,x x 是方程的两个根,不妨设12x x <.

则121220,1

0.x x x x a +=-??

所以120x x <<.

此时()f x ',()f x 随x 的变化如下:

x 1(,)x -?

1x

12(,)x x

2x 2(,)x +?

()f x '

+

0 -

+

()f x

极大值

极小值

所以()f x 的极小值为2()f x . 又因为()f x 在2[,0]x 单调递增, 所以2()(0)1f x f <=. 所以()f x 的极小值为小于1.

22. 解:(Ⅰ)由题知:

1(33)(23)1m =+-+=; 2(33)(31)2m =+-+=; 33m =. 5A 的特征值为1.

(Ⅱ)||=i j m m -||i j x x -.

理由如下:

由于[(1)][(1)]0i n j n -+-+≥,可分下列两种情况讨论:

1当,{1,2,,1}i j n ∈+L 时, 根据定义可知:

212211()()i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L

212211 =()()n n n n n i x x x x x x x ++++++-++++L L

同理可得:212211=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++++++-++++L L 所以i j i j m m x x -=-.

所以||=||i j i j m m x x --.

2当,{1,2,,21}i j n n n ∈+++L 时,同○1理可得: 212111()()i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L 212111 =()()n n n n n i x x x x x x x ++-+++-+++-L L 212111=()()j n n n n n j m x x x x x x x ++-+++-+++-L L

所以i j j i m m x x -=-.

所以||=||i j i j m m x x --. 综上有:||=i j m m -||i j x x -. (Ⅲ)不妨设1221n x x x +≤≤≤L , 121

||i j i j n x x ≤<≤+-∑

=

212211

2(22)2022n n n n n nx n x x x x nx ++++-+++?---L L 2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ,

显然,211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L , 212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++L L

121221()()n n n n x x x x x m ++≥++-+++=L L .

当且仅当121n n x x ++=时取等号;

212211()n n n n n x x x x x x ++-+++-+++L L 2212311()()n n n x x x x x m +++≥++-+++=L L

当且仅当11n x x +=时取等号;

由(Ⅱ)可知121,n m m +的较小值为1n -,

所以212211()1n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L . 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号,

此时数列21n A +为常数列,其特征值为0,不符合题意,则必有 212211()n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L . 下证:若0p q ≥≥,2k

n ≤≤,总有(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++.

证明:(22)(1)()n k p kq n p q +-+-++ =(1)(1)n k p n k q +--+- (1)()

n k p q =+--0≥.

所以(22)(1)()n k p kq n p q +-+≥++.

因此

121

||i j i j n x x ≤<≤+-∑

2112222()(22)()2()n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L 212211(1)()n n n n n n x x x x x x ++-≥++++----L L

(1)n n ≥+.

当0,1,

1,121,

k k n x n k n ≤≤?=?

+≤≤+?时,

121

||i j i j n x x ≤<≤+-∑

可取到最小值(1)n n +,符合题意.

所以121

||i j i j n x x ≤<≤+-∑

的最小值为(1)n n +.