2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)PF
2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．某人走过一桥的速度为4km ·h -1，同时一船在此人底下以8 km ·h -1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则
d d s s t ===
且
120
d 8.16d t s
t ==≈ (km ·h －1)
2．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1)
2
1
n n nx
∞
+=∑；
(2) 22
21n n x n +∞
=+∑；
解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞
+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，2
1
n n nx ∞
+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)． 记 ()2
3
1
1
1
n n n n S nx
x
nx
x ∞
∞
+-====∑∑易知
1
1
n n nx
∞
-=∑的收敛域为(-1,1)，记()1
11
n n S nx
x ∞
-==
∑
则
()10
1
1x
n n x
S x x x
∞===
-∑?
于是()()
12
111x S x x x '
??== ?-??-，所以()()()3211x S x x x =<-
(2)由242
2221lim 23n n n x n x n x
++→∞
+=?+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞
∞====++∑∑，易知级数21
021
n n x n +∞
=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞
==+∑，则()2120
11n n S x x x ∞
='==-∑， 故
()10
11d ln
21x
x S x x x +'=
-?
即()()1111ln 021x
S S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x x S xS x x x x
+==
<-
3．若2
lim n n n U →∞
存在，证明：级数
1
n
n U
∞
=∑收敛．
证：∵2
lim n n n U →∞
存在，∴?M >0，使|n 2U n |≤M ，
即n 2|U n |≤M ，|U n |≤
2M n
而21n M
n ∞
=∑收敛，故1
n n U ∞
=∑绝对收敛．
4．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
(1)1+； (2)
()()
1
1
11ln 1n n n ∞
-=-+∑；
(3) 234
11111111
53535353?-
?+?-?+
；
(4)()2
11
21!n n n n ∞
-=-∑；
(5)
()()1
1
1
1n n R n α
α∞
-=∈-∑；
(6) ()
11111123n
n n
n ∞
=??-+++
+ ?
?
?∑． 解：(1)(
)
1
1n n U -=-，级数1
n
n U ∞
=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又1
1
1
2
1n
n n U
n
∞
∞
===∑∑
是P <1的P 级数，所以
1
n
n U
∞
=∑发散，故
原级数条件收敛． (2)()
()
1
11ln 1n n U n -=-+，
()()
1
1
11ln 1n n n ∞
---+∑为交错级数，且
()
()11ln ln 12n n >
++，
()
1lim
0ln 1n n →∞
=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()
1
1ln 1
1n U n n =
≥++ 所以，
1
n
n U
∞
=∑发散，所以原级数条件收敛．
(3)()1
1
153n n n
U -=-?民，显然11111153
53n n n n n n U ∞∞∞=====?∑∑∑，而113n n ∞
=∑是收敛的等比级数，故
1
n
n U
∞
=∑收敛，所以原级数绝对收敛．
(4)因为21
12lim lim 1n n n n n
U U n ++→∞→∞==+∞+．
故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞
≠，