2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(16 随机变量及其分布)
（ （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξ = 1 ”表示第 k 类电
2018 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（16 概率、随机变量及其分布 正态分布）
一、选择题
1．（2018 浙江）设 0
）
ξ 0 1 2 P
1 - p 2
1 2 p 2
则当 p 在（0，1）内增大 时， A ．D （ξ）减小
C ．
D （ξ）先减小后增大
1．.答案：D
B ．D （ξ）增大
D ．D （ξ）先增大后减小
解答： E (x ) = 0? 1- p 1 p 1
1? 2? p + ，
2 2 2 2
1- p 1 1 1 p 3
D(x ) = ? ( p )2 + ? ( p )2 + ? ( p )2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
= - p 2 + p + = - ( p - )2 + ，
4 2 2
所以当 p 在 (0,1)内增大时， D(x) 先增大后减小，故选 D.
2．（2018 全国新课标Ⅲ理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，
设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， DX = 2.4 ， P (X = 4) < P (X = 6) ，则 p = （
）
A ．0.7
B ．0.6
C ．0.4
D ．0.3
2．答案：B
解答：由 X ~ B(10, p ) ，∴ DX = 10 p (1- p ) = 2.4 ，∴10 p 2 - 10 p + 2.4 = 0 ，解之得
p = 0.4, p = 0.6 ，由 P( X = 4) < P( X = 6) ，有 p = 0.6 .
1 2
二、填空
三、解答题
1． 2018 北京理）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类
第六类
电影部数 好评率 140 50 300 200 800 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2
510
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；
k
影得到人们喜欢，“ ξ = 0 ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差 D ξ ，
k
1
第四类电影中获得好评的电影部数是 200 ? 0． = 50 ．故所求概率为 = 0． ． ． （35 = P (AB )+ P 25 2 ．25 75 2 35 k + 1? + 2 ? + 3 ? = ．
所以，事件 A 发生的概率为 ．
D ξ ， D ξ ， D ξ ， D ξ ， D ξ 的大小关系．
2
3 4 5 6
1．【答案】（1）概率为 0 025 ；（2）概率估计为 0． ； 3） D ξ > D ξ > D ξ = D ξ > D ξ > D ξ ．
1 4
2 5
3 6
【解析】（1）由题知，样本中电影的总部数是140 + 50 + 300 + 200 + 800 + 510 = 2000 ，
50
25 025
2000
（2）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为 P (
AB
+ AB ) (AB )
= P (A )(1 - P (B ))+ (1 - P (A ))P (B ) ． 由题意知， P (A ) 估计为 0． ， P (B ) 估计为 0．． 故所求概率估计为 0． ? 08 + 0． ? 0．= 0． ．
（3） D ξ > D ξ > D ξ = D ξ > D ξ > D ξ ．
1
4 2
5 3 6
2．（2018 天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16. 现采用分层抽样的方法从 中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.
（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. （i ）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；
（ii ）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工” 求事件 A 发生的概 率.
2．【答案】（1）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人．
（2）①答案见解析；② ．
【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人． （2）（1）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3．
P (X = k ) = C 4 ? C 3-k
(k = 0,1,2,3 ) ．
C 3 7
所以，随机变量 X 的分布列为
X
P
1 35 1
12 35 2
18 35 3
4 35
随机变量 X 的数学期望 E (X ) = 0 ? 1 12 18 4 12
35 35 35 35 7
（2）设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”； 事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”， 则 A = B C ，且 B 与 C 互斥，
由（1）知， P (B ) = P (X = 2) ， P (C ) = P (X = 1)，
故 P (A ) = P(B C ) = P (X = 2) + P (X = 1) = 6 ． 7
6
7