2018年中考数学方法技巧：专题五-转化思想训练(含答案)
2．[2016·扬州]已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为()
方法技巧专题五转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．
一、选择题
1．[2015·山西]我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而
得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x
1
＝0，x
2
＝2.这种解法体现的数学思想是() A．转化思想B．函数思想
C．数形结合思想D．公理化思想
27
99
A．M＜N B．M＝N
C．M＞N D．不能确定
3．[2016·十堰]如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是()
A．140m B．150m
C．160m D．240m
图F5－1
4．[2016·徐州]图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是()
图F5－2
A．1或9B．3或5
C．4或6D．3或6
二、填空题
5．[2017·烟台]运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
图F5－3
2．A
[解析] ∵N －M ＝a 2
－ a －( a －1)＝a 2－a ＋1＝(a － )2＋ ＞0，∴M ＜N .故选 A .
6．[2016·达州] 如图 F 5－4，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结
BQ .若 PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形 APBQ 的面积为________．
图 F 5－4
7．[2016·宿迁] 如图 F 5－5，在矩形 ABCD 中，AD ＝4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的
点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为________．
图 F 5－5
三、解答题
8．如图 F 5－6①，点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点．分别延长 O D 到点 G ，OC 到点 E ，使 OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，
然后以 OG 、OE 为邻边作正方形 OEFG ，连结 AG ，DE .
(1)求证：DE ⊥AG ；
(2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0°＜α ＜360°)得到正方形 OE ′F ′G ′，如图②.
①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求 α 的度数；
②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF ′长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果，不必说明理
由．
图 F 5－6
参考答案
1．A
7 2 1 3
9 9 2 4
注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负．
3．B [解析] ∵多边形的外角和为 360°，这里每一个外角都为 24°，∴多边形的边数为 360°÷24°＝15.
D
∴小华一共走的路程＝15×10＝150(m)．故选B.
注：把问题转化为正多边形的周长．
4．[解析]如图，把原图形扩充成矩形，则图中两个阴影部分的面积相等，于是可列方程x(9－x)＝6×(9－6)．整
理，得x2－9x＋18＝0，解得x
1
＝3，x
2
＝6.故选D.
注：此题体现了转化思想(把不规则图形转化为规则图形)和方程思想．
5．x＜8[解析]由题意，得3x－6<18，解得x＜8.
6．24＋93[解析]如图，连结△P Q，则APQ为等边三角形．
∴PQ＝AP＝△6.易知APC≌△AQB，∴QB＝PC＝10.由勾股定理的逆定理，可知∠BPQ＝90°.
13
∴S
四边形APBQ
＝
△
S
BPQ
＋
△
S
APQ
＝
2
×6×8
＋
4
×62＝24＋9 3.故答案为24＋9 3.
注：此题体现了分散向集中转化，即通过旋转把PA，PB，PC集中到△PBQ中．
7．4或23[解析]设AD的中点为P
1
，无论AB多长，△P
1
BC都是等腰三角形，即点P
1
始终是符合条件的一个点．
(1)如图①，当以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆与直线AD相切时，符合条件的点有3个，
此时AB＝BC＝4；
(2)如图②，分别以点B(或点C)为圆心，以BC为半径的圆经过点P
1
时，符合条件的点也有3个．此时BP
1
＝BC＝4，AB＝2 3.
综上所述，BA的长为4或2 3.
注：将等腰三角形的个数转化为直线与圆的交点个数．
8．解：(1)证明：如图，延长ED交AG于点H.
∵O为正方形ABCD对角线的交点，
∴OA＝OD，∠AOG＝∠DOE＝90°，
∵四边形OEFG为正方形，∴OG＝OE，
(i)α由0°增大到90°的过程中，当∠OAG′为直角时，∵OA＝OD＝OG＝OG′，
OG′2
②AF′长的最大值是2＋
2
，此时α＝315°.
∴AC＝BD＝2，AO＝OD＝
2
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO＝∠DEO.
∵∠AGO＋∠GAO＝90°，
∴∠DEO＋∠GAO＝90°.
∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有以下两种情况：
11
22
∴在△R t OAG′中，sin∠AG′O＝
OA1
＝，
∴∠AG′O＝30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′.
∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.
(ii)α由90°增大到180°的过程中，当∠OAG′为直角时，同理可求得∠BOG′＝30°，所以α＝180°－30°＝150°.
综上，当∠OAG′为直角时，α＝30°或150°.
2
理由：当AF′的长最大时，点F′在直线AC上，如图所示．
∵AB＝BC＝CD＝AD＝1，
2
.
∴OE′＝E′F′＝2OD＝ 2.
∴OF′＝（2）2＋（2）2＝2.
∴AF′＝AO＋OF′＝
2
2
＋2.
∵∠DOG′＝45°，
∴旋转角α＝360°－45°＝315°.