中考数学压轴题专题：动点问题

2012年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

专题01 :动点问题

25. (2012 吉林长春10 分)如图，在Rt △KBC 中，/ACB=90 °,AC=8cm , BC=4cm ,

D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE,点P从点A出发，沿折线AD —DE —EB运动，到点B停止.点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE—EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A 不重合时，过点P作

PQ丄AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN ,使点M落在线段AC 上.设点P的运动时间为t(s).

(1 )当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为___________ cm,(用含t的代数式表示).

(2)当点N落在AB边上时，求t的值.

(3)当正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S (cm2), 求S与t的函数关系式.

(4)连结CD?当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围.

【答案】解：(1) t —2。

(2)当点N落在AB边上时，有两种情况:

①如图(2) a ,当点N 与点D 重合时，此时点P 在DE 上，DP=2=EC ,

即 t — 2=2 , t=4。

②如图(2) b ，此时点P 位于线段EB 上.

???DE=1 2 AC=4 ,???点P 在DE 段的运动时间为 4s , ???PE=t -6 ,「.PB=BE-PE=8-t , PC=PE+CE=t-4 。

???PN //AC ,

???

△NP s/BAC 。???PN : AC = PB : BC=2 , /-PN=2PB=16-2t 。

由PN=PC ，得 20

16-2t=t-4 ，解得 t=

。

3 综上所述，当点 20 N 洛在AB 边上时，t=

4 或t=

3

(3)当正方形PQMN 与/ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况:

DP=t-2 , PQ=2 , .-.CQ=PE=DE-DP=4- (t-2 ) =6-t , AQ=AC-CQ=2+t AM=AQ-MQ=t

VMN //BC ,./\FM S /ABC °.FM : BC = AM : AC=1 : 2，即 FM :

AM=BC : AC=1 : 2。

①当2 v t v 4时，如图(3) a 所示。

1 2

t 2 2t(2 < t < 4)

4

5t 2

22t 84(20

4

3

（4）在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围是:

或t=5或 6

【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形 的面积。

【分析】（1厂??在 Rt △ABC 中，/ ACB=90 °,AC=8cm , BC=4cm ，?由勾股定理得 AB= 4 5 cm 。

??D 为边AB 的中点，? AD= 2 5 cm 。

又??点P 在AD 上以 5cm/s 的速度运动，?点P 在AD 上运动的时间为 2s 。 ?当点P 在线段DE 上运动时，在线段 DP 上的运动的时间为t - 2s 。 又??点P 在DE 上以1cm/s 的速度运动，?线段 DP 的长为t - 2 cm 。

1 1 /?FM= AM= t .

2

2

?S S 梯形 AQPD S

AMF

-(DP AQ )

2

1

c O 2) 2 20

②当 v t v 8时,

3

(2 t)] 2

1 PQ AM

2 1 2 t 2 2t 4

FM

如图（3） b 所示。

PE=t-6 , ???PC=CM=PE+CE=t -4 ,AM=AC-CM=12-t

,PB=BE-PE=8-t ,

1 ???FM= AM=6-

2

1

2t ，PG =2P B=16-2t ， ?S S 梯形 AQPD

S AMF - (PG AC ) PC

2 -[16 2t ) 2

8] (t 4)

1

(12 2

t )(6

1 AM 2

1 t ) 2

FM

5 t 2

22t

4

84。

综上所述，S 与t 的关系式为:

14

t=

3

（2 ）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间

的数量关系求出时间t的值。

(3 )当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图(3) 所示，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用S S梯形AQPD S AMF求出面积S的表达式。

(4 )本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动

过程：依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：

1{4) a 圏［斗)b

①当4 v t v 6时，此时点P在线段DE上运动，如图(4) a所示。

此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5 X2=5cm，而MN=2 , 则此阶段中，点H将有

两次机会落在线段CD 上:

第一次：此时点H由M T H运动时间为(t -4 ) S,运动距离MH=2.5 (t —

4),

???NH=2 —MH=12 —2.5t。

又DP=t-2 , DN=DP —2=t — 4 ,

14

由DN=2NH 得到：t —4=2 (12 — 2.5t ),解得t= 一。

3

2

第二次：此时点H由N T H运动时间为t — 4 —= (t — 4.8) S,运动距离

2.5

NH=2.5 (t —4.8 ) =2.5t —12 ,

又DP=t-2 , DN=DP —2=t — 4 ,

由DN=2NH 得到：t —4=2 (2.5t —12 ),解得t=5。

②当6 w t W8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4 ）b所示。

1

由图可知，在此阶段，始终有MH= MC，即MN与CD的交点始终为线段

2

MN的中点，即点H。

综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围

14

是：t=—或t=5 或 6

3

26. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4 交x轴于点A,交y

轴于点B,四边形ABCO是平行四边形，直线y= —x+m经过点C,交x轴于点D .

（1 ）求m的值；

（2 ）点P（0 , t）是线段OB上的一个动点（点P不与0, B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB , 0c, DC于点E, F, G.设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3 ）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使/ BFH= /ABO .求此时t

的值及点H的坐标.

【答案】解：（1）如图，过点C作CK丄x轴于K, T I

a c

■.y=2x+4 交x轴和y轴于A , B, /7\

:A (—2 , 0) B (0, 4)。?OA=2 , OB=4。/[ \,

A O r

???四边形ABCO是平行四边形，??? BC=OA=2

??ER=PO=CQ=1 o

???/ODN=45 ° o

???tan ODN GQ ,「.DQ=t

QD

3 d= ------- 1+8 (0 v t v 4) o

2

(3)如图，???四边形 ABCO 是平行四边形,

???EP= 4 t

2

形。

线垂足分别是 由(2) d=

3

—

2t+8，"PG =d

—EP=6 —t o

???以OG 为直径的圆经过点 M

,???zOMG=9O

，/MFG= /PFO o ???ZBGP=

/BOC o BP

? tan BGP — PG

tan BOC

-，解得t=2 o 2

? tan BAO ER OB ，即 AR OA

AR

1

?AR= — t o

2

y= — x+6交x 轴和y 轴于

???OD=ON=6 o

又???AD=AO+OD=2+6=8 1

? EG=RQ=8 t —1=8

2

???AB //OC 。 ???ZABO= /BOC 。 ??BP=4 — t ,

? tan ABO EP —— tan BP BOC

5

O

VZBFH= Z ABO= /BOC ,/OBF= /FBH ,「4HF ^ZBFO 。

??OP=2 ,「.PF=1 , BP=2。二 BF

BP 2 PF 2

-2

5

二 5 =BH X 4 °「.BH=

4 11

「?H ( 0, — ) o

4

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质， 平行

的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1 )根据直线y=2x+4 求出点A 、B 的坐标，从而得到 OA 、OB 的长度，再根据 平行四边形的对边相等求出 BC 的长度，过点 C 作CK 丄x 轴于K ,从而得到四边形 BOKC KC 的长度，从而得到点 C 的坐标，然后把点 C 的坐标

代入直线即可求出 m 的值。

(2 )延长DC 交y 轴于N 分别过点E , G 作x 轴的垂线 垂足分别是 R , Q 则四边 形

ERQG 、四边形POQG 、四边形EROP 是矩形，再利用/ BAO 的正切值求出 AR 的长度， 利用/ODN 的正切值求出 DQ 的长度，再利用 AD 的长度减去AR 的长度，再减去 DQ 的 长度，计算即可得解。

(3)根据平行四边形的对边平行可得

AB //OC ，再根据平行线内错角相等求出/

ABO= ZBOC ，用t 表示出BP ，再根据/ ABO 与/BOC 的正切值相等列式求出 EP 的长度， 再表示出PG 的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得/

OMC=90。，根据直角推出/

BGP= ZBOC ，再利用/ BGP 与/BOC 的正切值相等列式求解即可得到 t 的值；先根据加的

关系求出/ OBF= ZFBH ，再判定厶BHF 和A BFO 相似，根据相似三角形对应边成比例可得

数据进行计算即可求出 BH 的值，然后求出 HO 的值，从而得到点 H 的坐标。

BH BF

BF BO ，即

BF 2

=BH ?BO 。 ???HO=4

5_11

4 4

是矩形，根据矩形的对边相等求出 BH BF

BF BO

，再根据t=2求出OP=2 , PF=1 , BP=2，利用勾股定理求出 BF 的长度，代入

27. (2012湖南永州10分)在A ABC 中，点P 从B 点开始出发向C 点运动，在运动过程

中，设线段AP 的长为y ，线段BP 的长为x(如图甲)，而y 关于x 的函数图象如图乙所示.Q

求/B 的度数;

(1,

(1 ) 请直接写出AB 边的长和BC 边上的高

AH 的长;

若厶ABP 为钝角三角形，求 x 的取值范围. 【答案】 解：(1) AB=2 ; AH=

(2)在 Rt △XBH

中，AH= 3 , BH=1 , tan ZB= 3 ,「./B=60 °。

(3)①当/APB 为钝角时，此时可得 x V 1 ;

②当/ BAP 为钝角时,

过点A 作AP 丄AB 交BC 于点P 。

【考点】

【分析】 值是AH AB 2

则 BP ---------- = 一=4

??当 4 V x <6 时，/BAP 为钝

角。

cos B 1

综上所述，当x V 1或4 V x <6时，A ABP 为钝角三角形。

动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 (1 )当x=0时，y 的值即是AB 的长度，故AB=2 ;，图乙函数图象的最低点的 y

的值，故AH= 3 。

3 )

(2 )当点P 运动到点H 时，此时BP ( H ) =1 , AH= 3，在Rt △KBH 中，可得 出/B 的度

数。

(3 )分两种情况进行讨论，①/ APB 为钝角，②/ BAP 为钝角，分别确定x 的范围 即可。

28.

(2012湖南衡阳10分)如图，A 、B 两点的坐标分别是(8 , 0 )、( 0 , 6),点P 由点 B 出发沿

BA 方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO

(O 为坐标原点)方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2个单位长度，连接 PQ ，若

一 10

设运动时间为t (0 v t v 一)秒.解答如下冋题：

3

(1 )当t 为何值时，PQ //BO ?

(2 )设厶AQP 的面积为S , ①求S 与t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值; ②若我们规定：点 P 、Q 的坐标分别为(x 1, y 1), (x 2, y 2),则新坐标(X 2 - x 1, y 2 - y 1) 称为“向量PQ ”的坐标.当S 取最大值时，求“向量 PQ ”的坐标.

【答案】 解：(1 )V A 、B 两点的坐标分别是(8, 0 )、(0 , 6),则OB=6 , OA=8 。

如图①，当 PQ //BO 时，AQ=2t , BP=3t ，贝U AP=10 - 3t 。

AP AQ ” 10 3t 2t — 20 ???PQ //BO ,?————，即 --------- --- ，解得 t= 。

AB AO

10

5

11

20

.?.当 t= 一 秒时，PQ //BO 。

11

???AB OB 2 OA 2 62 82

10。

*

、

P

O A

图①

（2）由（1 ）知：0A=8 , 0B=6 , AB=10 .

①如图②所示，过点 P 作PD 丄x 轴于点D ，则PD //B0。 ■■■/APD s 伽0。

???当t= 5秒时，S 取得最大值，最大值为 5 （平方单位）

3

5

②如图②所示，当 S 取最大值时，t=,

3

9 1

? PD=6 — — t=3 ,??PD= — BO o

5 2

1

又 PD //BO ，?此时 PD 为△OAB 的中位线，贝U OD= OA=4 °「.P

(4 ,

2

▼ 10

14

14

又 AQ=2t=—

??OQ=OA — AQ=—,

??Q ( — , 0) o

3

3 3

14 2 依题意，“向量PQ ”的坐标为（二-4 , 0 - 3 ）,即（-,-3）.

3 3

???当S 取最大值时，“向量PQ ”的坐标为（-,-3 ）o

3

【分析】（1 ）如图①所示，当 PQ //BO 时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式

（2）①求S 关系式的要点是求得△ AQP 的高，如图②所示，过点 P 作过点P 作PD

AP PD

丄x 轴于点D ，构造平行线 PD 伯O ,由A APD s 念BO 得 ——

—— 求得PD ，从而S 可求

AB 0B

出.S 与t 之间的函数关系式是一个关于 t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出 S

的最大值。

9

5 10

S= t +5 (0 v t v —) 5 3 3 ??S 与t 之间的函数关系式为: AP PD 击 10 3t PD

9

，即

解得PD=6 — t o AB 0B 10 6，

5 C 1

1 9 9 2

9

5 2

S AQ PD 2t 6 t =t 2 +6t=

t +5 2 2

5 5

5 3 3 )。

【考点】动点问题，平行线分线段成比例,

二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。

AP AB

AQ AO

，求出t 的值。

13 ②求出点P 、Q 的坐标：当S 取最大值时，可推出此时 PD 为△OAB 的中位线，从而 可求出

点P 的纵横坐标，又易求 Q 点坐标，从而求得点 P 、Q 的坐标；求得 P 、Q 的坐标 之后，代入"向量 PQ ”坐标的定义(X 2- x i , y 2 - y i )，即可求解。 29.

(2012湖南株洲8分)如图，在△ ABC 中，/C=90 °,BC=5米，AC=12 米.M 点在

线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动， 速度为2米/秒.运动时间为t 秒.

(1 )当t 为何值时，/ AMN= ZANM ? t 为何值时，△ AMN 的面积最大？并求出这个最大值.

解：(1 )???从C 向A 运动，速度为1米/秒；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2米/秒，运动时间为t 秒,

??AM=12 - t , AN=2t 。

? zAMN= Z ANM ,「.AM=AN ，即 12 - t=2t ，解得: ???当t 为 4 时，Z AMN= Z ANM 。

(2 )当

【答案】 t=4 秒。

(2)如图作NH 丄AC 于H ,

???ZNHA= ZC=90

°.NH //BC 。

公NH S ^BC 。

AN

NH

2t NH

10

，即

°「.NH= t 。 AB

BC 13 5

13

1

10 5 2 60 5 2

18

0 S ABC

— 12 t —1= —t 2 + —1= —t 6

+ ---

2

13 13 13 13 13

当t=6 时， △AMN 的面积最

大，

最大值为

180 --

。

o

【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

13

【分析】(1 )用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN ，得到关于t的方程求得t值即可。

(2)作NH丄AC于H，证得△ ANH s念BC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。

30. (2012湖南湘潭10分)如图，在O O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB , 点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D

占

八、、?

圈1 图2 圈3

(1 )如图1，求证：△ PCDs^ABC ；

(2 )当点P运动到什么位置时，△ PCD^Z ABC ?请在图2中画出△ PCD并说明理由;

(3 )如图3，当点P运动到CP丄AB时，求/ BCD的度数.

【答案】解：(1)证明：T AB是O O的直径，???/ACB=90 °。

??PD 丄CD ,「.ZD=90 °。「.0= Z ACB。

?/Z A 与/P 是BC 所对的圆周角，?/ A= Z P,A^3CD s/ABC。

(2)当PC是O O的直径时，△ PCD^z ABC。理由如下：

??AB , PC 是O O 的半径，? AB=PC。

? △CD s^\BC , ?△3CD ^zABC。

画图如下:

P

(3 )UCB=90 °,AC=AB ,?4BC=30 °。

??"CD s念BC ,「.ZPCD= /ABC=30 °。

??CP 丄AB , AB 是O O 的直径，??? AC A P O :.ZACP= Z ABC=30 °。

/?Z BCD= Z AC -Z ACP -Z PCD=90 °-30 °￡0 °30 °。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1 )由AB是O O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得Z ACB=90 °，又由PD丄CD，可得Z D= ZACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得

Z A= ZP,根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD s^ABC O

(2 )由厶PCD s/ABC，可知当PC=AB时，A PCD也△BC，利用相似比等于1的相

似三角形全等即可求得。

(3 )由Z ACB=90 °,AC=AB ,可求得Z ABC的度数，然后利用相似，即可得Z PCD 的度数，又由垂径定理，求得A C A P，然后利用圆周角定理求得Z ACP的度数，从而求得答案。

31. (2012 福建漳州14 分)如图，在Y OABC 中，点A在x轴上，Z AOC=60 0, OC = 4cm . O A

= 8cm . 动

点P从点O出发，以1cm /s的速度沿线段OA T AB运动；动点Q同时从点O出发，以

acm /s的速度沿线段OC T CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动.

设运动时间为t秒.

(1)_______________________ 填空：点C的坐标是( ________________ , ,对角线OB的长度是 ___________________________ c m；

(2) 当a=1时，设△OPQ 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式，并直接写出当t 为何值时,

S 的值最大？

③当8

延长QP 交x 轴于点F ,过点P 作PH 丄AF 于点H(如图3)。 易证△ PBQ 与APAF 均为等边三角形,

V3

???OF=OA+AP=t , AP=t — 8 °「.PH= 2 3 2(t

—

8

)

1 r~ 1

「?S S OQF S OPF = 2 t 2

3

- 2 t

'J 3 3t 。

⑶当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角线0B 交于点M.若以0、

2

(t - 8)。

3t 2

0 t 4 4

综上所述，S 3t 4 t 8

t 2 3 3t 8 t 12 4

???①②中S 随t 的增加而增加， ③中S

3 t 2 3 3t= 3

t 6 2 9 3 , S 随t 的增加而减小, 4

4

???当t=8时，S 最大。

???CQ=OP 。

4

?'at — 4=t ，即 a=1+ 一。 t 的取值范围是 0

【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数值，勾股定理， 等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质, 形的判定和性质。

(3)①当△ OPM s“)AB 时(如图 4)，贝U PQ //AB 。

OP OM OB OA

即t OM

4 7 8

? 0M=

2 7

t 7

又'/QB //OP , AZBQM -△OPM 。

4 7 2

万

? QB BM 12 at 47 7

… ，即

OP OM t 2亿

7 2

整理得t — at=2，即a=1 — - , t 的取值范围是 6

t

4

2

综上所述：a=1+ — (0

相似三角

【分析】（1 ）

应用锐角三角函数定义，可求得0M=2 , CM=2 3 ,

??? C(2 , 2 3)。

由CMNB是矩形和0A=8 得BM=2 3，

ON=10，在Rt △OBN中，由勾股定理，得OB=4 7。

(2 )分0

和二次函数的性质求出S最大时t的值。

(3 )分厶OPM s^AB和A OPM S^BA两种情况讨论即可。

32. (2012山东莱芜10分))如图，在菱形ABCD中，AB = 2打3，/A = 60o，以点D为

圆心的O D与边AB相切于点E.

⑴求证：O D与边BC也相切；

(2) 设O D与BD相交于点H，与边CD相交于点F,连接HF ,求图中阴影部分的面积(结果保

留)；

(3) O D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S ZHDF =- ,''3SZ MDF时，求

动点M经过的

弧长(结果保留).

【答案】解：(1)证明：连接DE,过点D作DN丄BC,垂足为点N。

???四边形ABCD是菱形，? BD平分/ABC。

VO D与边AB相切于点E,「.DE丄AB °：DN=DE。

A

???O D 与边BC 也相切。

【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的 三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。

【分析】(1 )连接DE ,过点D 作DN 丄BC ,垂足为点N ，则根据菱形的性质可得 BD 平分 /ABC ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得 DN=DE ，即BC 垂直于过O

D 上点N 的半径，从而得到O D 与边BC 也相切的结论。

(2 )求出△ HDF 和扇形HDF 即可求得阴影部分的面积。

(3 )根据S ZHDF = 3S ^MDF 求出圆心角即可求动点 M 经过的弧长。注意有两点。

(3) 又T Z A = 60 o , /DE = ADsi n60 0 = 3，即O D 的半径是 3。 又 V/HDF =丄 ZHADC = 60 o , DH = DF , ?△HDF

2

过点H 作HG 丄DF ，垂足为点 G ,贝U HG = 3sin60

--S HDF

?S 阴影

1 3 3 3 9 60

32 2

3

2

3

4 3 S

扇形HDF —360 3 9 6

9 , 3

S

扇形 HDF

S

HDF 3

2

4

4

假设点 是等边三角形。

M 1作M i P 丄

DF ，垂足为点P , 9

i 3

则 3

3

3 M i P ，解得 M P=。 4

2 2

i

/.M 1P^DM 1 °/./MiDF = 30 o 。

此时动点M 经过的弧长为：30

3

180 2

过点M i 作M i M 2 //DF 交O D 于点M 2 , 则满足 S HDF = 3S M1DF

3S

M2DF ,

此时Z M 2DF = 150 o ，动点M 经过的弧长为: 150 180

经过的弧长为 5 2 -或—。

2 2

,?.AD = AB =

???四边形ABCD 是菱形，AB =

O

M 运动到点 M i 时，满足 S ZHIDF =

△MDF ，过点

A

3

场

V C

综上所述，当S ^HDF =

△MDF 时，动点

M

2

【答案】 解：（1）把点A （4 , 0）与点（-2 , 6）代入抛物线y ax bx ,得:

16a 4b 0 a 1

，解得，

2。

4a 2b 6

b 2

?抛物线的函数解析式为：

y 1 2

-x 2x 。

2

（2）连接

AC 交OB 于E ,过点

O 作OF 丄AD 于点F 。

???直线m 切O C 于A ,「.AC 丄m 。 ???弦 AB =AO ,

??? A B A O °「.AC 丄

■'■m //OB °「./OAD= Z AOB 。 3

'/OA=4 , tan Z

AOB= — , ?tan ZOAD=

4

-,sin ZOAD=-。

4 5

3

33.

（2012四川南充 8分）如图，O C 的内接△ AOB 中，AB=AO=4,tan ZAOB=

，抛物

4

线y ax 2 bx 经过点A （4， 0）与点（-2，6） （1）求抛物线的函数解析式.

（2）直线m 与O C 相切于点A 交y 轴于点D ，动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动侗时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动，点P 的速度为每秒1个单位长, 点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ 丄AD 时，求运动时间t 的值

（3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ ROB 面积最大时，求点 R 的坐标.

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

苏教版中考数学压轴题动点问题

苏教版中考数学压轴题动 点问题 Modified by JEEP on December 26th, 2020.

运动变化型问题专题复习 【考点导航】 运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型．【答题锦囊】 例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形 （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． 例２如图2，直角梯形CD ，AD=4，DC=3，动点P从点 A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段 PQ平分梯形ABCD （1）求y与x的函数关系式，并求出x y ，的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求 x y ，的值； （3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2 为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； (2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 例４如图7①，一张三角形纸片ABC沿斜边AB的中线CD把这张 纸片剪成 11 AC D ?和 22 BC D ? 11 AC D沿直线 2 D B（AB）方向平 移（点 12 ,,, A D D B始终在同一直线上），当点.在平移过程中，11 C D与 2 BC交于点E, 1 AC与222 C D BC 、分别交于点F、P. ⑴当 11 AC D ?平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的 1 D E与 2 D F的数量关系，并证明你的猜想； ⑵设平移距离 21 D D为x， 11 AC D ?与 22 BC D ?重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； ⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC ?面积的 1 4 .若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. 【中考预 测】 ⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图8②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC Q B M 图1 ＡC D Q P Ｂ 图2 1 2 2 D ① 2 1 ②

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y

C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），

中考数学压轴题动点问题

2016年中考数学压轴题动点问题 一、选择题 1. （2016·湖北鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（） 【考点】动点函数的图像问题. 【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可. 2.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（） A．6 B．2+1 C．9 D． 【考点】切线的性质． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值 故选C． 3.（2016年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB

方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（） A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 4．（2016.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C． D． 【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。 在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考： 如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展： （3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)

（2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P， 使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本 问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 答： 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点， ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA =5，AC =10， ∴OC ===．∵S△OAC=OC ?AD=OA?AC，∴AD=．∴AA′=，

在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）． ∵PM∥AC， ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM= AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、 勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．

(完整版)中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

初中中考数学压轴题及答案(精品)

中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

中考数学压轴题动点

中考专题——动点问题详细分层解析（一） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2132?OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+23363 1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. H M N G P O A B 图1 x y

最新中考数学压轴题汇总

中考数学压轴题汇总（一） 17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D 点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标； （2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得 AB 2＝BP·BE ，能否推出AP ⊥BE ？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线．．BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. [解] （1） C （5，-4）； （2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°. 在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即AB BE BP AB , 又 ∠ABE=∠PBA, ∴△ABE ∽△PBA . ∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP ⊥BE . （3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况： ①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ； ②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt △EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ ⊥EB 之垂足； ③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR ⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： ① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意； ② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90°

中考数学压轴题专题 动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

最新中考数学复习专题《几何图形中的动点问题》

运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为(　D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 (　D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2

当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需 支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元 的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）． （1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分 成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ， 设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0）