换元法求函数值

换元法求函数值

函数求值问题涉及很多方面：

1．分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。

2．利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。

3．对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。

这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子：

【典例】 设x ∈R ，若函数f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln2)的值等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】 因为f (x )为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f (f (x )－e x )＝e ＋1，所以f (x )－e x 必然是一个常数，设f (x )－e x ＝t (t 为常数)，则f (x )＝e x ＋t ，故f (t )＝e t ＋t 。由已知可得f (t )＝e ＋1，所以e t ＋t ＝e ＋1。又函数y ＝e x ＋x 在R 上是单调递增的，显然t ＝1，所以f (x )＝e x ＋1，故f (ln2)＝e ln2＋1＝3。故选C 。

【答案】 C

先利用换元法，根据已知求出函数f (x )的解析式，然后代入

求值。

【变式训练】 设定义在R 上的函数f (x )满足f (tan 2x )＝1cos2x ，

则f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ??

??12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝________。

解析 设t ＝tan 2x ，则1cos2x ＝1cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －sin 2x

＝1＋tan 2x 1－tan 2x ＝1＋t 1－t ，所以f (t )＝1＋t 1－t 。故f (t )＋f ? ????1t ＝1＋t 1－t ＋1＋1t 1－1t

＝1＋t 1－

t

＋t ＋1t －1

＝0。所以f ? ????12 017＋f ? ????12 016＋…＋f ? ????13＋f ? ????12＋f (0)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＋f (2 017)＝f (0)＝1＋01－0

＝1。 答案 1