3.2.1几类不同增长的函数模型(二)——几种函数增长快慢的比较
3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的
比较
学习目标:
①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.
②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函
数的增长差异.
③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实
际问题.
④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数
模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题
一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
观察函数4x y y =
=
与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢
情况.
在同一坐标中函数图象如下
师生合作观察研究函数4x y y ==
与.
①x ∈(0，16)
时，y =4
x y
=
4
x
可知y =
增长
②(16,)x ∈+∞
时，y =4
x y
=
4
x <
可知4
x y
=
增长
二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法. 1．实例探究：比较函数y =2x
，y = x 2
，y = log 2x 的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证．
②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标为 ．
观察： 2
2
2log
x x x <<成立的x 的取值：
x
x 2l o g 2
2<<成立的x 的取值 ：
2．规律总结
①对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x
会小于x n
，但由于a x
的增长快于x n
的增长，
因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x
＞x n
.
②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n
(n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，
因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.
③在区间(0,)
+∞上，尽管函数y = a x(a＞1)，y = log a x(a＞1)和y = x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y= a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x n(n＞0)的增长速度，而y = log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.
三、举例分析
例1同一坐标系中，函数y=x2+7和y=2x的图象如图.试比较x2+7与2x的大小.
例2 已知函数y=x2和y=log2(x+1)的图象如图，试比较x2与log2(x+1)的大小.
四、练习
1．下列说法不正确的是（）
A．函数y=2x在（0，+∞）上是增函数B．函数y=x2在（0，+∞）上是增函数C．存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立D．存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立2．函数y = log a x（a＞1）、y = b x（b＞1）和y = x c（c＞0）中增长速度最快的是（）
x（a＞1）B．y = b x（b＞1）
A．y = log
C．y = x c（c＞0）D．无法确定
3．已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数函数y=ln x的图象.如图，则A表示函数互换的图象，B表示函数的图象，C表示函数的
图象.
4．（P101练习）在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：（1）]
=x
e
-
y x（2）]
10
1.0∈
,
,1[
100
=x
x
y
20∈
+
ln
,1[
10
100
,
（3）]
x
y
=x
10
,1[
,
20∈
五、课堂小结：1．幂函数、指数函数、对函数增长快慢的差异；
2．会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
六、作业：
1函数3
y x
=（）
A是奇函数，且在R上是单调增函数B是奇函数，且在R上是单调减函数
C是偶函数，且在R上是单调增函数D是偶函数，且在R上是单调减函数2．比较函数y = x n（n＞0）和y = a x（a＞0），下列说法正确的是（）A．函数y = x n比y=a x的增长速度快B．函数y = x n比y=a x的增长速度慢
C．因a，n没有大小确定，故无法比较函数y = x n与y = a x的增长速度
D．以上都不正确
3.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则（）
A a=b
B a>b
C a D 不确定 4若22x x≥，则x的取值范围是____________ 七、本节学习小结： 几类不同增长的函数模型教学设计 教学设计 2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 ．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． ．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题． ．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣． 重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模 型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 课时 教学过程 第1课时 林大华 导入新 思路1． 一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g ＝10n，f≈105，g＝2. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2． 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新 新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数． 正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数． 某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数． 分别用表格、图象表示上述函数． 指出它们属于哪种函数模型． 讨论它们的单调性． 比较它们的增长差异． 另外还有哪种函数模型与对数函数相关． 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 总价等于单价与数量的积． 面积等于边长的平方． 由特殊到一般，先求出经过1年、2年… 列表画出函数图象． 引导学生回忆学过的函数模型． 结合函数表格与图象讨论它们的单调性． 几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =，()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．()12f x x = B ．()22f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ??=- ??? C ．()2015%x y m =+ D ．()15%x y m ??=+?? 5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x ，y 之间的函数关系为( ) A ．1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C ．0.9576100x y ??= ??? D ．10010.042x y =- 6．下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是（ ） A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 对多元线性回归模型的各种检验方法 对于形如 u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验： 一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验 在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0 H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对 被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j β?才敢使 用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显 著的线性影响，估计值j β?对我们就没有意义。具体检验 方法如下： （1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β； （2） 计算统计量 )?(?)?()(?j j j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11?)?(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ （3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ； （4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝 0H ；反之，无法拒绝0H 。 t 检验方法的关键是统计量 )?(?j j j Se t βββ-=必须服从已 知的t 分布函数。什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）： （1） 随机抽样性。我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性， 几类不同增长的函数模型（1） 一、教学目标 （一）知识目标： 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题. （二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 二、教学重难点 （一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. （二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景，引入新课 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当时，，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式： 所以， 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表 三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式= “几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思 台州市第一中学蒋茵 一、教学内容与内容解析 几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差 异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（y = x：y = 2、，y=log X）的增长差异；（3）将结2 论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异 其中（1）为第一课时的内容，（2）、（ 3）为第二课时的内容. 学生在本节内容学习之前，己经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步 研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中 二、教学目标与目标解析 1.教学目标： （1）借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异. （2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 （3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格），并借助信息技术解决一些实际问题. （4）在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力. 2.教学目标解析： 目标（1）、（2）是教学的重点，落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证. 落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标（4）. 目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互 交流，教师适时提问引导，合作完成.另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长差异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法 三、教学问题诊断分析 由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ? ??+=+=du cx y bu Ax x & 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()()()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++L L ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则 ? ??++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x Λ&，于是有 ?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221Λ&M && 写成矩阵形式 式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程 121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--Λ 写成矩阵形式 ??????? ? ????????=--n n m m x x x x b b b b y 12101 1][M Λ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。 在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。 例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。 4 2383)()(2 3++++=s s s s s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即 3.2.2 几类不同增长的函数模型 （一）教学目标 1．知识与技能 利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识. 2．进程与方法 在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. 3．情感、态度与价值观 在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣. （二）教学重点与难点 重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策. （四）教学过程 回顾复习 择，这三种方案的回报如下： 元； 元； . 三种方案所得回报的增长情况 再作三个函数的图象 在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二 观察图象发现，在区间[10，1000] 上，模型y=0.25x，y=1.002x的图 象都有一部分在直线y=5的上方， 只有模型y=log7x+1的图象始终 y=5的下方，这说明只有按模 . 所以该模型不符合要求； 时，是否有 2 变化的数据如下表 ．中学数学建模的主要步骤 例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小. 【解析】设单位购买x 台影碟机， 在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用 280020,(118)440,(18)x x x y x x ?-≤≤=?>? 在乙商场购买，费用y = 600x . （1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买. 【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a 2 1x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型. 由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有?? ?=+=+2.123.13b a b a ，解得? ??==11 .0b a 所以得y =0.1x +1. 因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的. 第八章 统计回归模型 回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归. 一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10. 如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p 返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x ，y 为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval 实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y . [Y ,DELTA]=polyval(p,X,S) p ，S 为polyfit 的输出，DELTA 为误差估计.在线性回归模型中，Y ±DELTA 以50%的概率包含函数在X 处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf 实现，其具体调用格式如下： [Y ,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit 所得的回归多项式在X 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y±DELTA ，alpha 缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool ，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s . 解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据 《自动控制原理》实验指导书 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 2013年4月 目录 实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 (1) 实验二用MATLAB建立传递函数模型 (5) 实验三利用MATLAB进行时域分析 (13) 实验四线性定常控制系统的稳定分析 (25) 实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹 (29) 实验六线性系统的频域分析 (37) 实验七基于MATLAB控制系统频域法串联校正设计 (51) 附录1 MATLAB简介 (58) 附录2 SIMULINK简介 (67) 实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 一、实验目的 1．研究二阶系统的特征参量(ξ、ωn) 对过渡过程的影响。 2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。 3．熟悉Routh判据，用Routh判据对三阶系统进行稳定性分析。 二、实验设备 PC机一台，TD-ACC+教学实验系统一套。 三、实验原理及内容 1．典型的二阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-1所示。 图1-1 (2) 对应的模拟电路图：如图1-2所示。 图1-2 (3) 理论分析 系统开环传递函数为：G(s)=? 开环增益：K=? 先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻R的理论值，再将理论值应用于模拟 电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。在此实验中由图1-2，可以确地1-1中的参数。 0?T =， 1?T =，1?K = ?K ?= 系统闭环传递函数为：()?W s = 其中自然振荡角频率：?n ω=；阻尼比：?ζ=。 2．典型的三阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-3所示。 图1-3 (2) 模拟电路图：如图1-4所示。 图1-4 (3) 理论分析 系统的开环传函为:()()?G s H s = 系统的特征方程为:1()()0G s H s +=。 (4) 实验内容 实验前由Routh 判断得Routh 行列式为： S 3 S 2 S 1 S 0 为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，因此可以确定 传递函数模型的建模 一、实验目的 熟悉传递函数模型的建模方法 二、预备知识 熟练掌握互相关函数特征 三、实验内容 对数据集Lydia Pinkham进行传递函数模型的建模 四、实验仪器与材料(或软硬件环境) SAS/ETS软件 五、实验程序或步骤 传递函数模型的建模 1、开机进入SAS系统。 2、建立名为exp6的SAS数据集，输入如下程序： data sales; input x y; t=_n_; cards; 输入广告支出及销售数据 ; run; 3、保存上述程序，绘序列图，输入如下程序： proc gplot data=sales; symbol1i=spline c=red; symbol2i=spline c=green; plot x*t=1 y*t=2; run; 4、提交程序，输出图像见图1、图2.仔细观察两序列图形，发现x,y发展趋势大致相同，x与y均为非平稳时间序列，且x为领先指标。 图1 图2 5、先观察t x 和t y 的相关情况，看是否要做差分，输入如下程序： proc arima data =sales; identify var =y crosscorr =(x) nlag =12; run ; proc arima data =sales; identify var =x nlag =12; run ; 6、提交程序，观察t x 的t y 自相关和互相关系数，如图3为y 的自相关图，图4为x 的自相关图，发现它们的自相关图都衰减得很慢，表明它们均为非平稳 时间序列，对它们进行差分运算。 图3 图4 7、对x、y分别做差分运算并查看它们的自相关系数及互相关系数，输入如下 程序（输出y、x自相关图见图5、图6；图7x的偏相关系数图；互相关系数图见图7）： proc arima data=sales; identify var=y(1) crosscorr=(x(1)) nlag=12; run; proc arima data=sales; identify var=x(1) nlag=12; run; §3.2.1 几类不同增长的函数模型 一、教学目标: 1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 二、 教学重点、难点： 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、 学法与教学用具： 1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索. 2．教学用具：多媒体. 四、教学设想： （一）引入实例，创设情景. 教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. （二）互动交流，探求新知. 1. 观察数据，体会模型. 教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流. 2. 作出图象，描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据. （三）实例运用，巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异. 3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。 4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求. 5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数n y x =（n ＞0）、指数函数n y a =（a ＞1）、对数函数log a y x =（a ＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证， (1) 机械平移系统 在所有初始条件均为零的情况下，对上式进行拉氏变换，得 (2) 机械旋转系统 包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将质量、弹簧、阻尼分别变成转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼。 图3.3所示为一机械旋转系统，旋转体通过柔性轴（用扭转弹簧 表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。 设齿轮转角 为系统输入量，旋转体转角 为系统输出量，据此建立系统的运动微分方程（忽略轴承上的摩擦）。扭转弹簧左、在此处键入公式。右端的转角分别为 、 ，设它加给旋转体的扭矩为 （当 时，弹簧的扭矩为零），则 ；旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩 作用，因而 有扭矩平衡方程 和旋转阻尼特性方程 由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程 ()()()() 2o o o i ms X s BsX s KX s F s ++=K )(i t θ)(o t θ)(i t θ)(o t θ)(t T K o i θθ=i o ()[()()]K T t K t t θθ=-)(t T B 2o 2d ()()()d K B J t T t T t t θ=-o d ()()d B T t B t t θ= 3.6.1 机械系统 在控制系统中，经常要将旋转运动变换成直线运动。例如用电动机和丝杠螺母装置可控制工作台沿直线运动，见图3.55，这时可以用一等效惯量直接连接到驱动电动机的简单系统来表示。工作台等直线运动部件的质量 ，按等功原理可折算到电动机轴上，如图3.55b 所示，其等效惯量为 （3.96） ——丝杠螺距，定义为丝杠每转一周工作台移动的直线距离。 此外，在控制系统中常用齿轮传动装置来改变转矩、转速和角位移，使系统的能量从一处传递到系统的另一处。图3.56a 表示一对啮合的齿轮副，在理想情况下，惯量和摩擦 2o o o i 2d d ()()()()d d J t B t K t K t t t θθθθ++ =m 22πL J m ??= ?? ?L 2013年-2014学年河南永城市高级中学高一年级数学学案 几种不同增长的函数模型 永城市高中：陆 洋 1、记住常见增长函数的定义、图像、性质，体会直线上升、对数增长、指数爆炸的含义 2 195页到101页，要读三遍。 2 1 （1）线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 （2）指数函数模型 指数函数模型y=x a （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越 快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。 （3）对数函数模型 对数函数模型y=x a log （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 (4)幂函数模型 幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间。 2、指数函数、对数函数和冥函数的增长差异 一般地，在区间（0,+∞）上，尽管函数y=x a （a>1）, y=x a log （a>1）和y=n x (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x 的增大，y=x a （a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=n x (n>0)的增长速度，而 y=x a log （a>1）的增长速度则会越来越慢。 因此，总会存在一个0x ，使得当x>0x 时，就有x a log 数学建模第二次作业 例一：（线性模型） 针叶松数据该数据包含70棵针叶松的测量数据，其中y 表示体积（单位立方英尺），x 1为树的直径（单位：英寸），x 2为树的高度（单位：英尺）。 x 1 4.6 4.4 5.0 5.1 5.1 … 19.4 23.4 x 2 33 38 40 49 37 … 94 104 解答： （1）问题分析： 首先根据这组数据做自变量与因变量之间的关系图，如图1.1 。由图可知y 随x 1、x 2的增加而增加，从而可大致判断y 与x 1，x 2呈线性关系。判断是线性回归模型后进行细节的量纲分析，得出具体模型，从而利用已知的线性模型，借助R 软件求解出估计量0β，1β，β2的值得出最终结果。 图1.1 （2）模型基础 设变量Y 与变量X 1,X 2,…,XP 间有线性关系 Y=εββββ+++++P P X X X (22110) 其中N ~ε(0,2σ),P βββ,...,,10和2σ是未知参数，p ≥2，称上述模型为多元线性回归模型，则模型可以表示为： n i x x y i ip p i i ,...,2,1,...110=++++=εβββ 其中() 2,0σεN i ∈，且独立分布 即令 ? ? ?? ????????=n y y y y 21，??????????????=p ββββ 10，??? ??? ? ???? ???=np n n p p x x x x x x x x x X ...1...1 (12) 1 222 2111211 ，? ??? ????????=n εε εε 21 则多元线性回归模型可表示为 εβ+=X Y , 其中Y 是由响应变量构成的n 维向量，X 是n ?（p+1）阶设计矩阵，β是p+1维 向量，并且满足 E （ε）=0，Var （ε）=2σI n 与一元线性回归类似，求参数β的估计值β ?，就是求最小二乘函数 Q （β）= ()()ββX y X y T -- 达到最小的β的值。 β的最小二乘估计 () y X X X T T 1 ?-=β 从而得到经验回归方程 P P X X Y βββ ????11+++= （3）问题求解： 由于体积与长度的量纲不一致，为了使等式两边量纲统一，首先利用excel 软件对数据进行预处理，即对y 进行三次开方的处理。 其中，选择线的性模型为：i i i i x x y εβββ+++=221103，i=1,…,70 3 y 计算结果如下表1.1 0β=0.0329 1β=0.1745 2β=0.0142 几类不同增长的函数模型 一、选择题 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用() A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数 2．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB， 直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线 l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为() 3．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 123… y 138… 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是() A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2 4.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法 中，正确的是() (1)这几年人民生活水平逐年得到提高； (2)生活费收入指数增长最快的一年是2000年； (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； (4)虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项 二、填空题 5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 6．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只． 7．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表： 其中与x 呈对数型函数变化的变量是________，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________． 8．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大广告效应．此时取入R ＝________． 三、解答题 9．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价2 3优惠．”这两家旅 行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠． 10．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20 拉普拉斯变换的数学方法 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： ?∞ -==0 st dt e )t (f )s (F )]t (f [L 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 ?+σ-σ-π= =jw jw st 1ds e )s (F j 21)]s (F [L )t (f 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 ()[]()s 1e s 1 dt e 0dt e .t 10t 1L 0 st st st =-=???∞=???∞=∞ --- 2．单位脉冲函数 ()?? ?=∞ ≠=δ0 t 0t 0t ()?? ?=10t 10 t 0t ≥? ?∞ -=δ=δ0 st 1dt e )t ()]t ([L 3．单位斜坡函数 4．指数函数at e ??∞ ∞ ----= ==0 t )a s (st at at a s 1e dt e e ]e [L 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += wt sin j wt cos e jwt -=- 所以，)e e (j 21wt sin jwt jwt --= 2 2 0t )jw s (t )jw s (0 st jwt jwt w s w )jw s 1jw s 1(j 21dt )e e (j 21dt e )e e (j 21]wt [sin L +=+--=-= -=?? ∞+---∞ -- 6．余弦函数coswt )e e (2 1wt cos jwt jwt -+= 2 2 w s s ]wt [cos L += 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表 ()?? ?≥<=0 t t 0t 0t f []2 st st st s 1 dt e te s 1 dt te t L =???? ??--==-∞ ∞--∞ ? ? 几种不同增长的函数模型 一、材料阅读： 澳大利亚兔子数“爆炸”：在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J ”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S ”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。 在澳大利亚外来物种对本地物种的冲击的例子是比较多的，比如水牛、蟾蜍等。课后可去收集一些这方面的例子，做一下研究，建立适当函数模型，分析为什么会出现中情况。 二、问题探究： 投资问题：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 探究：（1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ （2）根据题意，分别写出这三种方案的函数关系式。 （3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ （4）根据以上分析，你认为该如何选择？ 三、知识实践： 经过科学的选择和不懈的努力，你的投资终于给你带来了爆炸式的回报，现在你拥有了自己的公司，为了实现1000万元利润的目标，你的助手为你制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： 0.25y x =； 7log 1y x =+； 1.002x y =. 问：其中哪个模型能符合你公司的要求？几类不同增长的函数模型教学设计范文整理
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由传递函数转换成状态空间模型
几类不同增长的函数模型教案
第八章--统计回归模型
二用MATLAB建立传递函数模型
传递函数模型的建模
§3.2.1 几类不同增长的函数模型
数学模型传递函数
几种不同增长的函数模型
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