安徽皖南八校2012届高三第二次联考理科数学word解析版2011.12

安徽皖南八校2012届高三第二次联考 数学（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、 复数

22i

i

+-表示复平面内的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

2、已知集合1

{1,1},{|0,}23

x M N x x Z x +=-=<∈-，则M N 等于

A 、{1,0,1}-

B 、{0,1}

C 、{1,1}-

D 、{1}

3、若变量,x y 满足约束条件223y x y x x ≤??

≥-??≤?

，则目标函数2z x y =-的最大值为

A 、9-

B 、0

C 、9

D 、15

4、已知函数22()log (2)f x x x a =-+的值域为[0,)+∞，则正实数a 等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

5、双曲线22

1(0,0)x y m n m n

-=>>的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y mx =的焦点重合，则n

的值为

A 、1

B 、4

C 、8

D 、12 6、据报道，德国“伦琴”（ROSAT ）卫星将在2011年10月23日某时落在地球的某个地方，砸中地

球人的概率约为1

3200

，为了研究中学生对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到

则从收到的2000份有效问卷中，采用分层抽样的方法抽取20份，抽到的关注且非常担心的问卷份数为

A 、2

B 、3

C 、5

D 、

10

7、25(2)(1)x x +-

中7x 的系数与常数项之差的绝对值为 A 、5 B 、3 C 、2 D 、0

8、设向量,a b 满足：3||2,,||2

a a

b a b =?=+=

||b 等于

A 、12

B 、1

C 、3

2

D 、2

9、已知某几何体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图， 侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三 角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 A 12+ B 、4136π+ C 1

6+ D 、2132

π+ 1

1

正（主）视图 ?

? 侧（左）视图

俯视图

10、设sin ()x f x x

=

，则满足()()666n n f f πππ

<+的最小正整数n 是

A 、7

B 、8

C 、9

D 、10

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、观察下列等式：33233323333212(12),123(123),1234(1234),+=+++=+++++=+++…，根据以上规律， 3333333312345678+++++++=________________。（结果用具体数字作答）

12

1()sin()

4

R ρπ

θ=

∈+的距离为_____

13、在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示 ，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(18)i x i ≤≤，在如图

所示的程序框图中，x 是这8个数据中的平均数，则输出的2S 的值为_______

14、已知函数2

3410(2)()log (1)6(2)

x x x f x x x ?-+-≤?

=?-->??,若2(6)(5)f a f a ->，则实

数a 的取值范围是________

15、对于函数()2cos ,[0,]f x x x π=-∈与函数2

1()ln 2

g x x x =

+有下列命题：

①无论函数()f x ②函数()f x 的图像与两坐标轴及其直线x π=所围成的封闭图形的面积为4③方程()0g x =有两个根； ④函数()g x 图像上存在一点处的切线斜率小于0； ⑤若函数()f x 在点P 处的切线平行于函数()g x 在点Q 处的切线，则直线PQ

的斜率为

1

2π

-，其中正确的命题是________。

7 8 8

8 0 2 2 6 6 8 9 0 1

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16、（本题满分12分）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，满足2a c b +=， 且2cos28cos 5B B =-，（1）求角B 的大小； （2）若2a =，求△ABC 的面积。

17、（本题满分12分）已知轴对称平面五边形ADCEF （如图1），BC 为对称轴，ADCD ，

AD = AB =1，

CD =BC =

BC 折叠成直二面角，

连接AF 、DE 得到几何体（如图2） (1)证明：AF//平面DEC ； （2）求二面角E —AD —B 的正切值。

18、（本题满分13分）今年夏季酷暑难熬，某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促销活动，若瓶盖中印有“中奖2元”字样，则可以兑换2元现金，如果这种饮料每瓶成本为2元，投入市场按每瓶3元销售，“中奖2元”综合中奖率为10℅.

（1）求甲够买饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率；

（2）若该厂生产这种饮料20万瓶，假设全部售出，则盈利的期望值是多少？

19、（本题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，133,39.a S == （1）求数列{}n a 通项公式；

（2）若在n a 与1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列， 求证：

1211d d ++ (15)

8

n d +<。 A B C D E

F A

B F

E C D (1) (2)

20、（本题满分13分）已知函数2

1()ln (1)().2

f x a x x a x a R =+-+∈ （1）当01a <<时，求函数()f x 的单调区间；

（2）已知命题P ：()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，若命题P 成立的充要条件是{|}a a t ≤，求

实数t 的值。

21、（本题满分13分）已知椭圆C ：22

14

x y +=，直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，0OA OB ?= （其

中O 为坐标原点）。

（1） 试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2） 求||||OA OB ?的最小值。

皖南八校2012届高三第二次联考 数学（理科）参考答案、解析及评分细则

1.A

2.D

3.D

4.B

5.C

6.A

7.A

8.B

9.C 10.C 11.1296 12.1

,2

C P μ== 13.15 14.()1,6- 15.②⑤ 提示：

1.A i i i i i i 5453)2)(2()2(222+=+-+=-+，故它所表示复平面内的点是)5

4,53(.

2.D {}1,0=N ，{}

1=∴N M . 3.D 画出满足不等式组的可行域，易得目标函数过

直线），的交点即（与直线6-323x y x -==时取最大值，故15m ax =z 4.B ()2,11,11122

2

==-∴-≥-+-=+-a a a a x a x x 则.

5.D 抛物线焦点(,0)F m 为双曲线一个焦点，∴2

m n m +=，又双曲线离心率为2， ∴14n

m

+

=，即3n m =，所以24m m =，可得4,12m n ==. 6.A 非常担心的同学有2000－300－1000－500=200,故22000

200

20=?. 7.A 常数项为4205222=??C C ，7x 系数为1)1(50502-=-?C C ，∴常数项与7

x 系数的差为5

1,83422

2

2

==++=+?+=b b b a a

9.C 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所

以根据三视图中的数据可得

6

1

621112131)22(34213+=????+??=

ππV 10.C 要使

()()1sin sin sin 6666()()16666666

n n n n n f f n n n πππππππππππ??++ ???=<+==++成立，只要比较函数sin

6

y x π

=上的整点与原点连线的斜率即可，

函数sin 6

y x π

=上的横坐标为正数的整点

分别为111(1,),(6,0),(7,),(8,1),(10,222--

可得0

1012909100---=-<=--，所以最小正整数9.n = 11.1296 观察前3个等式发现左边的等式分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，

等式右边分别是这几个数的和的平方，

因此可得()2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

1234567812345678361296+++++++=+++++++==.

12.

2

2

1sin cos 11sin()

4

x y ρθρθπ

θ=?+=?+=+，故2

2=

d . 13.15 若去掉一个最高分和一个最低分后得到的8个数据为78,80,82,82,86,86,88,90，则

()17880828286868890848x =

+++++++=，2361644441636

158

s +++++++=

=. 14.()1,6- ()a a x f 5-62

>∴为单调递增函数，. 15.②⑤ 函数向左平移

2

π

个单位所得的为奇函数，故①错；函数()f x 的图象与坐标轴及其直线π=x 所围成的封闭图形的面积为dx x ?2

cos 22π

）（

=4，故②对；函数21

()ln 2

g x x x =+的导函数1

()2g x x x

'=+

≥，所以函数()g x 在定义域内为增函数，故③与④错；同时要使函数()f x 在点P 处的切线平行于函数()g x 在点Q 处的切线只有()()=2f x g x ''=，这时1

01

22

P Q π（，），（，），所以1

2PQ k π=

-，⑤正确. 16.解：（Ⅰ）∵2cos2B ＝8cos B －5， ∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.

∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0. 解得cos B ＝

12或cos B ＝3

2

(舍去)． ∵0

π

. ……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）法一：∵a ＋c ＝2b .∴2

2

2

22212cos 222

a c a c a c

b B a

c ac +??

+- ?+-??=

==， 化简得a 2＋c 2－2ac ＝0，解得a ＝c .

∴△ABC 是边长为2的等边三角形．

∴△ABC 的面积等于3…………………………12分 法二：∵a ＋c ＝2b ，

∴ sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin 3

π

＝ 3. ∴sin A ＋sin(

23π

－A )＝3， ∴sin A ＋sin 23πcos A －cos 23

π

sin A ＝ 3.

化简得

32sin A

cos A

sin(A ＋6

π

)＝1.

∵0

π. ∴A ＝

3π，C ＝3

π

，又∵a=2 ∴△ABC 是边长为2的等边三角形.

∴△ABC 的面积等于3.……………………………………………………………12分

17.解：（Ⅰ） 以B 为坐标原点，分别以射线BF 、BC 、BA 为x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的坐标系.

由已知与平面几何知识得，33(0,0,1),(1,0,0),(0,

),(,2222

A F D E ， ∴33

(1,0,1),(,0,)22

AF DE =-=- ，∴23AF DE = ，∴AF ∥DE ，

又DCE AF DCE DE 平面且平面??,

AF ∴∥DEC 平面…………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得F E D A 、、、四点共面

，

1

(1,0,1),(0,)22

AF AD =-= ，设n ⊥ 平面A D E F ，

(,,)n x y z =

，则(1,0,1)(,,)001

0)(,,)02

x y z x z z x y z -?=?-=???

??+=?=??，不妨令1y =-

，故n =-

，由已知易得平面ABCD 的一个法向量为1(1,0,0)n = ，

∴1cos ,n n <>= ，∴二面角E-AD-B

.…………………………12分

18.解：（Ⅰ）设甲购买该饮料3瓶，至少有2瓶中奖的概率为P ，则

()()()028.01.01.011.03

3

32

23=?+-?=C C P .……………………………………6分

（Ⅱ）设售出一瓶这种饮料盈利为ξ,则1,1ξ-可取,且(1)0.1P ξ=-=,(1)0.9P ξ== 故ξ的分布列为：

故20万瓶的盈利期望值为:(10.110.9)2016E ξ=-?+??=(万元) ………………13分

19.解：（Ⅰ）39,331==S a ,1≠∴q

()

391-133=-∴q

q

012,13122=-+=++∴q q q q

3=∴q

故n

n a 3=………………………………………………………………6分 （Ⅱ） 3n

n a =，则1

13

n n a ++=，由题知：

1(1)n n n a a n d +=++，则231

n

n d n =+ .

由上知：

1123n

n n d += ， 所以212111231232323

n n n n T d d d +=

++???+=++???+??? 231

1231

3232323n n n T ++=++???+???， 所以231

2111111()33233323

n n n n T ++=+++???+-? 111

111()1115529313223124313

n n n n n -++??

-??

++??=+?-=-??-， 所以55258838

n n n T +=

-

a x x x a x a x a x x a x f --=

++-=+-+='1112 （Ⅰ）当10<

所以函数()x f 的单调递增区间是()()+∞,1,,0a ，单调递减区间是()1,a ………………6分

（Ⅱ）由于()a f --

=2

1

1，显然0>a 时，()01

1

1，此时

只要()01≥f 即可，解得21-

≤a ，∴实数a 的取值范围是??? ?

?

∞21--，.

P ∴成立的充要条件为??

? ?

?∞21--，

.故2

1

-=t .……………………13分 21.（Ⅰ）点O 到直线AB 的距离是定值. 设1122(,),(,)A x y B x y ，

①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，12x x =，12y y =-.

∵0OA OB ?= ，即12120x x y y +=，也就是22

110x y -=

，代入椭圆方程解得：11||||x y ==.

此时点O 到直线AB

的距离1||5

d x ==

. ………………………2分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，

与椭圆:C 2

214

x y +=联立， 消去y 得：2

2

2

(14)8440k x kmx m +++-=，

122

814km

x x k +=-

+，21224414m x x k -=+， ………………………3分

因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，

所以2

2

1212(1)()0k x x km x x m ++++=， ………………………4分

代入得：2222

222

448(1)01414m k m k m k k

-+-+=++， 整理得22

54(1)m k =+， ………………………5分

O 到直线AB

的距离d =

=

综上所述，点O 到直线AB

………………………6分 （Ⅱ）（法一：参数法）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线OA 的斜率为(0)k k ≠，则OA 的方程为

y kx =，OB 的方程为1

y x k =-，

解方程组2

2

14y kx x y =???+=??，得2

122212414414x k k y k ?=??+??=?+?

， 同理可求得2

222222444444k x k y k ?=??+??=?+?

，

故12|OA OB x x ?==9分 令2

1(1)k t t +=>

，则OA OB ?== 令22

991125()49()(1)24

g t t t t t =-

++=--+>，所以25

4()4g t <≤，即8

25

OA OB ≤?<………………………………………………………………11分 当0k =时，可求得2OA OB ?=，故8

25

OA OB ≤?≤，故OA OB ?的最小值为85，最大

值为2. ……………………………………………………………………13分 法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，O 到直线AB

的距离5

d =

=

在Rt OAB ?

中，d =

=

， 即2

224

(||||)(||||)5

OA OB OA OB ?=

+， ………………………9分 而2

2

||||2||||OA OB OA OB +≥?（当且仅当||||OA OB =时取等号） 代入上式可得：2

2248

(||||)(||||)||||55

OA OB OA OB OA OB ?=

+≥?，

即8||||5

OA OB ?≥

，（当且仅当||||OA OB =时取等号）. ………………11分 故OA OB ?的最小值为8

5

. (13)

分 法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在Rt OAB ?中，点O 到直线AB

的距离||5

OH =

. 设OAH θ∠=，则B O H θ∠=，

故||||sin OH OA θ=，||

||cos OH OB θ

=.……9分

所以，2

8

||5||||sin cos sin 2OH OA OB θθθ?==，…………11分

显然，当22πθ=，即4πθ=时，OA OB ?取得最小值，最小值为8

5

. …………13分

H

B

A