9.15十字相乘法教案

实验中学数学教案

十字相乘法因式分解-教学设计

教学设计方案 学校：闵行四中年级：七年级班级：六班 人 数： 30 日期：2015-11-26 学科：数学课题：十字相乘法因式分解课 时： 1 教师：萨如拉 教学目标确定的依据： 内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的 的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。第一环节是“初步感知与规律探究”。这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。第二环节是“形成十字相乘法的概念”。这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式 的基本路径，帮助学生形成解决 因式分解问题的基本思路。 学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经

八年级下册十字相乘法因式分解教案

十字相乘法分解因式（1） 一、教学目标： 1、进一步理解因式分解的定义； 2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解； 3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 二、教学的重点、难点 1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。 2、教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。 三、导学过程： （一）创设情境，导入新课： 1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？ 2、你知道652++x x 怎样分解因式吗？ （二）自主学习 我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。 一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到 （三）合作探索 这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 ()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。可以用交叉线来表示： 十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相 乘法。 （四）、展示交流： 例1 把232x x ++分解因式。 分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的 两个因数必是同号，而2=1×2=(－1)( －2)，要 使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。 例2 把276x x -+分解因式。 例3 把2421x x --分解因式。 x x +a +b

十字相乘法教案

课题：十字相乘法 一、教学设计与说明 一、教材分析： “十字相乘法分解因式”是七年级第二学期第八章第4节的内容，也是学生在学习提取公因式与公式法两种因式分解后的内容。学生对因式分解已有了解及应用，再借助十字交叉线分解因式，学生容易掌握，同时这节课也为以后学习分式的运算、一元二次方程、二次函数、分式方程、一元二次不等式等作铺垫，这节课无论从它的内容还是它的地位都十分重要。 二、教学目标： 1、进一步理解因式分解的定义； 2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解； 3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 三、教学的重点难点 教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。 教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。 四、教学设计 1、通过学生对问题的“议一议”，发现“232 ++x x ”不是一个完全平方形式，产生 了究竟是否还能分解的问题，学生带着问题进入新课。（吸引学生） 2、通过学生对多项式乘法的“算一算”，巩固了多项式的乘法的知识，又观察到了计算 中含有“232++x x ”这个结论，为以下“想一想”作了充分准备。 3、通过学生对多项式乘法遗留问题的“想一想”，既加深了对因式分解定义的理解，又 得到了“232++x x ”的分解结果，从而过渡到 “ab x b a x +++)(2”的分解。 4、借助十字交叉线给师生互动，让学生“动一动”理解十字相乘法的定义。 5、通过学生的多次尝试，用“做一做”的环节来体验“如何用十字相乘法因式分解”。 6、知道了十字相乘法，那么“练一练”的环节是不可缺少的，通过“练一练”，学生就 有实践的体会，并能把知识延伸与拓展，学生学习兴趣盎然。 7、最后是学生的自主小结，交流各自的感受，达成共识。 总之，整节课力争体现学生学习的主动性，让学生完全参与整节课的教学活动，体验知识的发生发展过程，通过多次尝试，培养学生的耐心和信心，提高学生的观察能力。

因式分解公式法、十字相乘法教师版

2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()

“十字相乘法”教学设计

十字相乘法教学设计 班级姓名组别代码评价 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质；【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？

(1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x －3) (3) (x －2)(x+3) (4) (x －2)(x －3) = = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++)2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一 试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3 分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= .

因式分解与十字相乘专题教案

因式分解与十字相乘法 一、乘法公式 平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式： (a+b)2= a 2+2ab+b 2 （完全平方和） (a-b)2= a 2-2ab+b 2 （完全平方差） 立方差公式： a 3-b 3=(a-b)( a 2+ab+b 2) 立方和公式： a 3+b 3=(a+b)( a 2-ab+b 2) 完全立方公式： (a-b)3=(a-b) (a-b)2=(a-b)( a 2-2ab+b 2)=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3 (a+b)3=(a+b) (a+b)2=(a+b)( a 2+2ab+b 2)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 二、因式分解的概念 1因式分解的结果是积的形式，因式分解与整式的乘法互为逆变形 2因式分解是恒等变形，不会改变代数式的值 3.因式分解的基本方法 4公因式应满足：系数是各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的 最低次幂 一般步骤：一提二套（需分解彻底） 随堂练习 1.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2.若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 3.22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 4.若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5.已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 6.()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 7.若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

十字相乘法精品教案

十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322 --x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于 一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x （使交叉相乘再相加后的和等于一次项系数，在横向写出积的形式。） 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对

初高中衔接十字相乘法分解因式

因式分解的一点补充——十字相乘法 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48 3．x4-7x2+18 4．x2-5xy+6y2 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 例3 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例4把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 ×-5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×5+1×（-3）=2 所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。 例5把5x2+6xy-8y2分解因式。 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5 ×-4 1×（-4）+5×2=6 解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。 三、课堂练习 1．用十字相乘法因式分解： （1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；

十字相乘法(教案)

十字相乘法(3) 教学目标 1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式； 2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性. 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式； 难点：灵活运用十字相乘法分解因式. 教学过程设计 一、导入新课 把下列各式多分解因式： 1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48； 3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2. 答： 1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)； 3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y). 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式. 对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式. 二、新课 例1 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3

9.15十字相乘法教案

9.15十字相乘法（1） 西南位育 单萍 【教学目标】 1. 通过学生自己探究、小组讨论，探索形如q px x ++2的二次三项式的因式分解的基本方法（十字相乘法）； 2. 通过学生自行尝试和小组互助的形式，探究非标准形式的十字相乘法因式分解的步骤和注意要点； 3. 进一步培养学生的观察力、解决数学问题的能力、以及培养小组合作的能力。 【教学重难点】 正确使用十字相乘法进行因式分解 【教学过程】 一、游戏时间（随机抽查学生回答） 口答计算结果： ()()21++x x ()()21-+x x ()()32++x x ()()3-2-x x ()()54++x x ()()31+-x x ()()52+-x x ()()21--x x ()()31--x x ()()53--x x 二、探究时间 我们已经学习过提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法对多项式进行因式分解成几个整式乘积的形式。 探究一： 2312++x x ）（ 56-22+x x ）（ （二次项系数为1且常数项为素数二次三项式的因式分解规律） ● 自助时间（1min ） 学生通过掌握游戏时间的乘法规律自行探索上式因式分解的结果，训练独立思考的能力； ● 互助时间（1min ） 通过学生二人小组交流上式因式分解的结果，找出正确的结果，并能够初步小结方法，通过整式乘法检查自己或同学的分解结果的正确性； ● 交流时间 通过小组代表发言，得到解决二项式系数为1且常数项为素数的二次三项式因式分解的规律。 探究二：（1）65-2+x x （2）6-52x x + （二次项系数为1且常数项为简单合数的二次三项式的因式分解规律） ● 自助时间（1min ）

数学人教版七年级上册十字相乘法教学设计

【教学内容】十字相乘法 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? [在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ] 二、探索新知 1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算. 反过来可得x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).

等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2、体会与尝试： ①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ；x2 －2x －3 将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: 3.练习 1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36 5、x4-2x3-48x2

新人教版 8年级上 数学--十字相乘法分解因式导学案--教案

十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 学习重点：理解十字相乘法的根据。 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程： 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般

规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型例题】

初中数学九年级《十字相乘法》公开课教学设计

“十字相乘法”教学设计 学情分析——补充教学的必要性 旧人教版书本介绍的十字相乘法这种因式分解的方法，在现行的版本上对这一教学内容作了删除处理，只是在后面的阅读与思考中稍稍提到。但我觉得很有必要向学生介绍这方面的知识。首先这种因式分解的方法学生是完全可以接受的，因为十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行因式分解等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行因式分解之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的因式分解，是从特殊到一般的认知规律的典型范例。其次这种因式分解的方法在数额上的数学学习中仍具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的因式分解方法，能直接运用于某些形如x2+px+q这类二次三项式的因式分解，再是还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上。为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位。因此我们很有必要在学生学有余力的情况下加以补充教学。 教学目标 1. 知识与技能 ⑴了解十字相乘法的特征。 ⑵理解十字相乘法这一因式分解的方法及其适用环境。 2. 过程与方法 ⑴会用十字相乘法，进一步因式分解的意义； ⑵通过问题的解决使学生掌握运用十字相乘法对某些形如x2+px+q的二次三项式进行分解因式的方法。 3.情感、态度与价值观 ⑴进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性， ⑵体会从特殊到一般、从具体到抽象等数学思想和方法。 教学重点、难点： 重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解。 难点：在x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使ab=q，a+b=p 教学过程 一、创设情境导入新课 情景一⑴你还记得什么是因式分解吗？ ⑵你还记得二次三项式x2-4x+4是如何进行因式分解的吗？ ⑶你会对二次三项式x2+5x+6进行因式分解吗？ 二、合作学习探究新知 (一) 自主学习 1. 计算两个一次二项式的积(x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab 2. 观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？ 3. 计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。 (二) 探究新知 1. 因式分解与整式乘法存在怎样的关系？ 2. 根据因式分解与整式乘法的关系，二次三项式x2+(a+b)x+ab可以因式分解吗？ 3. 二次三项式x2+5x+6能因式分解吗？x2+x-12呢？

新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 十字相乘法》教案_3

教学设计方案

环节教师活动学生活动设计意图 常规积累：问题： （1） (x+3)(x+4) （2） (x+3)(x-4) （3） (x-3)(x+4) （4） (x-3)(x-4) 问题：你有什么快速计算类似以上多项式的方 法吗？ 同学们举手口答 同桌合作完交流 帮助学生在口答中回顾整 式的乘法运算，同时也为 本节课的教学做准备。 第一环节 初步感知 与 规律探究问题（一）：我们通过逆运用平方差公式和完 全平方公式，得到了公式法因式分解。请同学 们想一想，) )( (b a b a- +，2) (b a±都是一次 二项式乘一次二项式的特殊形式，那么老师给 你几个一般的整式乘法的式子，你能得到的结 果算式是什么样的吗？ （1）(3)(2) x x ++ （2）(2)(1) x x -- 提升到字母表示： ab x b a x b x a x+ + + = + +) ( ) )( (2 的逆运用就是= + +n mx x2 ) )( ( ) ( 2b x a x ab x b a x+ + = + + + 问题（一）：同学们以二次三项式2 3 2+ +x x， 为例，尝试因式分解。 预设资源：学生不难找到 1+2=3，1×2=2 所以= + +2 3 2x x )2 )( 1 ( 2 1 )2 1( 2+ + = ? + + +x x x x 板书（根据学生资源引导得出板书结构） 2 3 2+ +x x )2 )( 1 ( 2 1 )2 1( 2 + + = ? + + + = x x x x 定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 师生共同归纳。 同桌合作交流完 成。 小组合作完成 组员汇报 交代本节课的教学任务。 帮助学生从特殊的乘法公 式的逆向思维转换到更加 具有一般性的一次二项式 乘一次二项式一般法则的 逆运用上来。

新人教版初中数学八年级上册《第十四章整式的乘法与因式分解：数学活动》公开课教案_0

十字相乘法教学设计 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质； 【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？ (1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x－3) (3) (x－2)(x+3) (4) (x －2)(x－3)

= = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++ )2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . 例2： 将下列各式用十字相乘法进行因式分解： (1) x 2 －7x + 12； (2) x 2－4x －12； (3) x 2 + 8x + 12；

十字相乘法教案

十字相乘法教案 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规 律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：

数学：2.4.1十字相乘法(一)教案(北师大版八年级下)

§2.4.1十字相乘法（1） 教学目标 1、能较熟练地用十字相乘法把形如x 2 + px + q 的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质. 教学重点:能较熟练地用十字相乘法把形如x 2 + px + q 的二次三项式分解因式. 教学难点:把x 2 + px + q 分解因式时，准确找出a 、b ，使a ·b= q ；a + b = p. 教学过程 一、复习引新 利用公式()()()ab x b a x b x a x +++=++2计算： (1)()()32++x x (2)()()32-+x x (3)()()32+-x x (4)()()32--x x 二、探索新知 1、观察与发现: ()()()ab x b a x b x a x +++=++2将多项式的乘积化为一个二次三项式,这是整式的乘法。反过来可得 x 2 +(a + b)x + ab =(x + a)(x + b). 将一个二次三项式化成整式乘积形式，这是分解因式. 2、体会与尝试： ①试一试 因式分解: x 2 + 4x + 3 ； x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)，用十字交叉线表示: x +3 x +1 3x + x = 4x ②定义：利用十字交叉线分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. ③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . 3、例题讲解 例1、把232x x ++分解因式。 例2 把2 76x x -+分解因式。

十字相乘法教案

理科组第二次集体备课记录 时间：2014年4月2日 地点：学校办公室 人员：理科组全体人员制 主讲人：邹华生 记录人：赵卫华老师 课题：“十字相乘法”教学设计” “十字相乘法”教学设计 【教学内容】十字相乘法 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质. 【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】一、复习导入 1．口答计算结果： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3)

2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? [在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ] 二、探索新知 1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算. 反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2、体会与尝试： ①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 － 2x －3 将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3x+1 3x + x = 4x ②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. ③拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可 能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ；-12= ； -24= . ④练一练将下列各式用十字相乘法进行因式分解： (1) x2 －7x + 12； (2) x2－4x－12； (3) x2 + 8x + 12； (4) x2 －11x－12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2 －x－12；⑤探索符号规律,完成填空. 3、思考与归纳： 要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以