圆锥曲线与方程单元测试
卷答案
Newly compiled on November 23, 2020
《圆锥曲线与方程》单元测试卷
一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分.)
1.方程132-=y x 所表示的曲线是
( )
(A )双曲线 (B )椭圆 (C )双曲线的一部分 (D )椭圆的一部分
2.平面内两定点A 、B 及动点P ,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P 的
轨迹是以A .B 为焦点的椭圆”,那么 ( )
(A )甲是乙成立的充分不必要条件
(B )甲是乙成立的必要不充分条件 (C )甲是乙成立的充要条件 (D )甲是乙成立的非充分非必要条件
3.椭圆14222=+a y x 与双曲线12
2
2=-y a x 有相同的焦点,则a 的值是 ( ) (A )12 (B )1或–2 (C )1或12
(D )1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为
( ) (A )x 2=–28y (B )y 2=28x (C )y 2=–28x
(D )x 2=28y 5.已知椭圆19
252
2=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,O 为原点,则|ON|等于 (A )2
(B ) 4
(C ) 8 (D ) 23 ( ) 6.顶点在原点,以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6,此点到焦点的距离等于10,则抛物线焦点到准线的距离等于 ( )
(A ) 4 (B )8 (C )16 (D )32
7.21F F 为双曲线2214
x y -=-的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ∠=,则21PF F ?的面积是
(A ) 2 (B )4 (C )8 (D )16 ( )
8.过点P (4,4)与双曲线22
1169
x y -=只有一个公共点的直线有几条 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )4
9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其交于N M 、两点,MN 中点的横坐标为3
2-,则此双曲线的方程是 ( ) (A )1432
2=-y x (B )13
422=-y x (C )12522=-y x (D )15222=-y x 10.若椭圆22221x y a b
+=,A A '为长轴,B B '为短轴,F 为靠近A 点的焦点,若'B F AB ⊥,则此椭圆的离心率为 ( )
(A )
(B
(C ) 12
(D
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分。)
11.已知P 是椭圆x 225 + y 29 = 1 上一点,以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P 的横坐标是 。
12.2y kx =-交抛物线28y x =于A ,B 两点,若AB 中点的横坐标是2,则AB = .
13.经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为 .
14.圆心在抛物线22(0)x y x =>上,并且与抛物线的准线及y 轴都相切的圆的方程是 .
三、解答题:(本大题共4小题,共44分。解答应写出文字说明,或演算步骤)
15.求与双曲线22
193
x y -=
有共同的渐近线,并且经过点4)-的双曲线方程. (8') 解:由题意可设所求双曲线方程为:()22
093x y λλ-=≠
双曲线经过点4)-
∴2(4)53λ-==- ∴所求双曲线方程为:22
11545y x -=
16. 已知椭圆116
2522=+y x ,P 为该椭圆上一点. (01') (1)若P 到左焦点的距离为3,求到右准线的距离;
(2)如果F 1为左焦点,F 2为右焦点,并且221=-PF PF ,求12tan F PF ∠的值.
解:(1)由方程知,a =5,b=4,则c=3,e =5
3. P 到左焦点的距离为3,则P 到左准线的距离为511==e
PF d , 又两准线间距离为35022
=c a ,∴P 到右准线的距离为3
355350=-. (2)由椭圆定义得10221==+a PF PF …①; 又221=-PF PF …②,
由①,②联立可解得2
9,21121==PF PF ;在21PF F ? 中,6221==c F F , ∴99
292cos 2122
1222121=-+=∠PF PF F F PF PF PF F , ∵21PF F ∠为锐角
,12sin F PF ∠,
∴12tan F PF ∠ 17.已知圆锥曲线1C 的一个焦点为F (1,0),对应这个焦点的准线方程为1x =-,又曲线
过(P ,AB 是过F 的此圆锥曲线的弦;圆锥曲线2C 中心在原点,其离心率3
3=e ,一条准线的方程是1y e
=.(21') (1)求圆锥曲线1C 和2C 的方程。
(2)当AB 不超过8,且此弦所在的直线与圆锥曲线2C 有公共点时,求直线AB 的倾斜角θ的取值范围。
解:⑴过P 作直线x=-1的垂线段PN.4,PN PF ==∴曲线1C 是以(1,0)F 为焦点,x=-1为准线的抛物线,且2p =.∴曲线21:4C y x =;
依题意知圆锥曲线2C
为椭圆,2c a a c =
=221,3
a c
b ===.又其焦点在y 轴上,∴圆锥曲线2C :2
2312
x y += (2)设直线AB :1()x my m R =+∈,1122(,),(,)A x y B x y .由抛物线定义得:122AB x x =++, 又由221312
x my x y =++=?????得22(32)610m y my +++=,其22480m =-≥时,122632m x x m +=-+。 依题意有222480602832
m m m -
≥<-+≤+?????
即3m ≥≤m -3
,则1()00AB AB AB k k k m =<≤≤< ∴直线AB 的倾斜角2(0,][,)33
ππθπ∈?。 18. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (21')
(1)求这三条曲线的方程;
(2)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………(1分)
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………(2分) 对于椭圆,
1222a MF MF =+=
+
(
222222
2
11321a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为:………………………………(4分)
对于双曲线,1222a MF MF '=-=
22222
2
1
32
1a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴-= 双曲线方程为:………………………………(6分)
(Ⅱ)设AP 的中点为C ,l '的方程为:x a =,以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点,DE 中点为H
令()11113,,,22x y A x y +??∴ ???
C ………………………………………………(7分)