《材料力学》附录I 截面的几何性质 习题解
附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）
解：)(24000)1020()2040(3
mm y A S c x =+??=?=
（b ）
解：)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =??=?= （c ）
解：)(280000)10150()20100(3
mm y A S c x =-??=?=
（d ）
解：)(520000)20150()40100(3
mm y A S c x =-??=?=
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为：
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
r r x d dx x S r r
x =--?=-?=?=??
πθθθπ
π
因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π
34r
y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：
解：
解：
[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ?=??=?==232222sin sin )(
四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ??
?
-?==
2/0042
/0
2
3
2
2c o s 1]4[s i n ππθθ
θθd x d dx x I r r
x
)]2(2cos 21[2142/02
/0
4θθθππd d r ??-?= }]2[sin 2
12{82
/04πθπ-=r 16
4
r ?=
π
由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：
16
4
r I I x y ?=
=π
微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：
xydA dI xy =
8
)42(21]42[21)(2144404222
20
2
2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r
x r r
xy =-=-=-==??
?
- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为
mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：
222r y x =+
如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy y r dA 222-=
切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：
dy y r y I r r x 22sin sin 22-=?
-α
α
α
αsin sin 42
222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -??????+--=
)4sin 41
(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 222
1100)20100(=-+x
360021=x
)(601mm x =
34
6020100tan =-=
α )(927.013.533
4arctan 0
rad ===α
)(10963.3)52.212sin 927.04(8
1004704
mm I x ?=-?=
[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z a
z a A
z ?
?
?
?
?+
--
+
---+==2
20
2
22
2222222
2
2
2
][22
20
2
20
22
20
2
2
2dy y dz dy y dz a a z a z a ?
?
?
?
+
-+
-+?=
[]
[]
][322
20
2
20
3
222
20
3
?
?+
--+
+?=a a z a
a z dz y dz y
])22
()22()22()22([3222
0302
23??+-+--++?=-a a a z d a z a z d a z
a a a z a z 2
2
40
2
244)22(324)22(32????????????+--????????????+?=-
=???
? ??+16163244a a 12
4
a =
故正方形对其的对角线的惯性矩为：12
4
a I z =。
[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。
(a) 解：)(21177368])175150
(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-??=-=απ (b)
)(904499991509012
1
210150121433mm I x =??-??=
[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心
轴
的惯性矩
所以
再次应用平行轴定理，得
[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴
的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩
[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是
上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 6
32。
利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：
[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。
解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是
。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 )(657600002)101201151012012
1
(
104.34237
mm I z =???+??+?=
（b ）等边角钢 的截面积是
，其形心距外边缘的距离是28.4
mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：
[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。
解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下：
[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42?的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。 解：先求形心主轴 的位置
截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：
（y 轴向下为正）
（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）
（组合图形对形心轴x 的惯性矩）
[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
解：
形心位置：X （0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4
130686455mm I x =。对竖直形心轴
的惯性矩：
)(1308789668
5014159.31220081244
444mm r a I y =?-=?-=π
[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和
y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少？
解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴
、
的惯性矩是
，
；横截面积为
；槽钢背到其形心轴
的距离是
。
根据惯性矩定义
和平行轴定理，组合截面对 ，
轴的惯性矩分别是
；
若
即
等式两边同除以2，然后代入数据，得
于是
所以，两槽钢相距
[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I
解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则
由平行移轴公式得：
224
1
)2()2(0h b bh b h abA I I C C y x xy =??+=+=
故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 2
24
1h b I xy =
[习题I-18] 图示截面由两个
的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩m ax I 。 解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。过C 点作水平线，向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的
直线为c y 轴向上为正。把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转0
45
后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,y x 。主惯性矩
max 0I I x =，min 0I I y =
查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：
2373.24cm A = ，4'46.1490
0cm I I x y ==，4
'89.57300cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：
cm z a 295.3)5.045.3(212
2
20=+=?+
= )(1820]373.24)295.3(46.149[242max 0cm I I x =?+?==
)(114889.57324min 0cm I I y =?==
（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）
[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。
解：12
4
a I x =
12
4
a I y =
0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）
12
00212122sin 2cos 2244
41a a a I I I I I I xy y x y x x =-++=--++=αα
1200212122sin 2cos 2244
41
a a a I I I I I I xy y x y x y =--+=+--+=αα
0002cos 2sin 2
11=-=+-=
ααxy y
x y x I I I I
结论：
1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；
2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。
（a ）
解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。
)
(5.575146666)402400(201212]40200)2402400(40200121[4323mm I x =?-??+???-+??=)
(6.183146666203201212]40200)2202200(20040121[4323mm I y =??+???-+??=)(2592000002]40200)220
2200()2402400([4mm I xy -=???-?--=
3164.16
.1813466665.575146666)
259200000()2(22tan 0=--?-=
--=
y
x xy I I I α
'47523164.1arctan 200==α
'242600=α
(b)
解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II 。则组合截面的形心计算如下：
[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的x I ，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径mm r 100=。
解：圆的方程为：
222100=+y x
把y 轴的半径10等分，即mm 10=δ。过等分点，作x 轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y 坐标与x 坐标如下表所示。
[习题I-22] 试证明：直角边长度为a 的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为72
4a I xy
=（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）
解: b
y b h z )
(-=
24
)(22
220220
0h b ydy y b b h ydy zdz dA yz I b b
z A
yz =-=??????==????
72
23324)3)(3(2
222h b bh h b h b A h b I I yz
z y C C -=??-=-= 令a h b ==得:72
||4a I C C z y =.