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2012学年第一学期期中考试高三(文科)数学试

2012学年第一学期期中考试高三（文科）数学试卷

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.

第 Ⅰ 卷（选择题共50分）

注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则)(B A C U ?等于 (A){2,3} (B){1,4,5} (C){4，5} (D) {1,5}

2． =?330tan (A) 3 (B)3- (C)

33 (D) 3

3．函数f (x

lg(1)x -的定义域是（A ） [-1,4] （B ） [1,4] （C ） (1, 4]

（D ）（-1, 4]

4．若b a ,为实数，则“1≤+b a ”是“21≤

a 且2

≤b ”的 (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

5．

3-sin70=2-cos 10 (A)

(B)

(D)

6．函数13

y x =的图像是

7．在△ABC 中，点M 满足

=++，若

=++m ，

则实数m 的值是

(A) 3

(B)

(D)3-

8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224,6a S ==，则

n n

S a +的最小值是

(A)

(B)

(C)

(D)

(A)7 (B)

152

172

9．若实数y x ,满足不等式组??

??≥--≤--≤-+01033022y x y x y x ，则x y +的最小值是

（A ）0 （B ）1-/ （C ）1 （D ）2

10．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下： 1(),

()0(),M x M f x x M ∈?=???

（其中M 为非空数集且R M ?），在实数集R 上有两个

非空真子集A 、B 满足A B =? ，则函数()1

()()()1

A B A B f x F x f x f x +=

++ 的值域为

(A) ? (B) {

12} (C) {1} (D) {12

,1}

第 Ⅱ 卷（非选择题共100分）

注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.

11．公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 ▲ ． 12．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则实数k = ▲ ．

13．若sin α＋cos α＝12

，则sin 2α＝ ▲ ．

DC BD 2

，则

14．在直角三角形ABC 中，，1,==⊥AC AB AC AB

?的值等于 ▲ ．

15．函数()sin()f x A x ω?=+（A ，ω，?是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图

所示，则(0)f 的值是 ▲ ．

()()

sin sin 30x

f x x =

?-，则

16．类比等差数列求和公式的推导方法，解决下列问题：设

()()()()()12293159f f f f f ?+?++?+?++?= __ ▲___．

17．等比数列{}n a 中，120121,9a a ==，函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+ ，则曲线

()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 __▲__ ．

三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本题满分14分）在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B ． (Ⅰ)求角B 的值；

（第15题图）

(Ⅱ)

若cos 2A =sin C 的值．

19．（本题满分14分）函数22x y -=和2

y x =

的图象如图所示，其中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原

点．

(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列二个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，2

x -<

x ； ②2(1,2)x ∈；请你判定是否成立，并说明理由．

20．(本题满分

14分)已知二次函数

)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，

0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．

(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；

(Ⅱ)设1)()()(+--=x f m x f x g ，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围.

21．(本题满分15分)已知数列}{n a ，}{n b 满足：2

a ，n n n a a 2621?=-+， 12+-=n n n a

b (*

N n ∈)．

(Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有n

n n b m

T S ≤，求实数m 的最小值．

22．（本题满分15分）设1x 、)(212x x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. (Ⅰ)若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；

(Ⅱ)若,22||||21=+x x 求实数b 的最大值；

(Ⅲ)函数)()()(1x x a x f x g --'=若,,221a x x x x =<<且求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．（用a 表示）

第19题图

高三数学（文科）参考答案

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在答题卡对应的位置上．

18．在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B ． (Ⅰ)求角B 的值； (Ⅱ)若cos

2A =sin C

的值．解：(Ⅰ)由正弦定理

A a sin sin =及已知条件sin cos b A

B =得…………………2分 B A A B cos sin 3sin sin =,………………………………………………………4分又因为0sin ≠A ,所以B B cos 3sin =，即3tan =B ，……………………6分

又),0(π∈B ,所以3

B ;…………………………………………………………7分

(Ⅱ)因为cos

2A =5

312cos

2cos 2=-=A A ,………………………9分又),0(π∈A ,所以54sin =

A ，由(Ⅰ)知3

2π

=+C A ，………… ……11分所以10334sin 32cos cos 32sin )32sin(

sin +=-=-=A A A C πππ．…………14分 19．函数2

x y -=和2

y x =

的图象如图所示，其中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函

数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点． (Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列二个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，2

x -<

x ； ②2(1,2)x ∈；请你判定是否成立，并说明理由．

解：（Ⅰ）1C 为2

y x =

，………3分2C 为22x y -=； ………5分（Ⅱ）结论①成立，理由如下：函数2

x y -=在(,1]-∞-上是增函数，

∴(,1)x ∈-∞-时，2

121

228

x ---<=．…7分又

函数213y x =在(,1]-∞-上是减函数， ∴(,1)x ∈-∞-时，22111(1)333x >?-=而11

83<，所以当(,1)x ∈-∞-时，

221

x x -<；……………10分

结论②成立，理由如下：构造函数2

21()23x f x x -=-，则11(1)0,(2)063

f f =>=-<

∴()f x 在区间(1,2)内有零点．…14分

20．已知二次函数)0,,,()(2

≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，

第19题图

0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．

(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；

(Ⅱ)设1)()()(+--=x f m x f x g ，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围. 解: （Ⅰ）由题意设)2()(+=x ax x f ，…………………………………………2分 ∵ )(x f 的最小值为1-，∴ 0>a ，且1)1(-=-f ，∴ 1=a ，…………4分

∴ x x x f 2)(2+= ． ………………………………………………………7分（Ⅱ）∵ 1)1(2)1()(2++--=x m x m x g ， ………………………………8分 ① 当1=m 时，14)(+-=x x g 在[-1, 1]上是减函数，

∴ 1=m 符合题意． ……………………………………………………10分

② 当1≠m 时，对称轴方程为：m

x -+=

11， ⅰ）当01>-m ，即 1

由

111≥-+m

，得 m m -≥+11 ， ∴ 10<≤m ；……12分 ⅱ）当01<-m ，即 1>m 时，抛物线开口向下，

由

111-≤-+m

，得 m m +-≥+11， ∴1>m ． ……13分综上知，实数m 的取值范围为[)∞+,0．……………… ………14分

21．已知数列}{n a ，}{n b 满足：2

a ，n n n a a 2621?=-+； 12+-=n n n a

b (*

N n ∈)．

(Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有

n n b m T S ≤，求实数m 的最小值．

解：（Ⅰ）由已知得 1212)2(2+++-=-n n n n a a ， (2)

分

所以n n b b 21

+，因为21

1=b ，所以}{n b 为等比数列． ………………………………………4分

所以n n b )2

(=， ……………………………………………6分

进而n n n a )2

(21+=+． ……………………………………………7分

（Ⅱ）

11422121)21

21()222(2132+--=++++++++=++n n n n n n

n T S 124+?=n ……………………………10分

则n

n n m 21421)124(+=+?≥对任意的∈n N *成立． (12)

分

所以数列}214{n +

是递减数列，所以29)214(max

=+n

所以m 的最小值为2

． ……………………………………………………15分

22．设1x 、)(212x x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. (Ⅰ)若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ)若,22||||21=+x x 求实数b 的最大值；

(Ⅲ)函数)()()(1x x a x f x g --'=若,,221a x x x x =<<且求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．（用a 表示）解：).0(23)(22>-+='a a bx ax x f -------------------------------------------------------1分（1）2,121=-=x x 是函数)(x f 的两个极值点，

由???

????

-=-=?--=+-332132212

a a a

b 可得???-==9,6b a ------------------------------- ------------3分 x x x x f 3696)(23--=∴ -------------------------------------------------------------------4分

（2）∵1x 、)(212x x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点，

0)()(21='='∴x f x f ，

∴21,x x 是方程0232

=-+a bx ax 的两根，

∵32

124a b +=?， ∴0>?对一切R b a ∈>,0恒成立，而3

,322121a

x x a b x x -=?-

=+，0>a ，021

94)3(4)32(4)(||||||2

22212

212121a a