高数 下期中试题
武汉大学2011—2012学年下学期期中考试试卷
《高等数学A2》（总学时216）
一、选择题（每小题6分，共24分）
1、已知()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数),(y x f 的全微分，求a 和b 的值。
2、求曲面sin sin sin()z x y x y =+
上点(,63
ππ处的法线与xoy 面交角的正弦值。 3、求母线平行于x 轴且通过曲线222
222
216
0x y z x y z ++=???-+=??
的柱面方程。
4、设直线0
:30x y b L x ay z ++=?
??+--=??
，在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于(1,2,5)-，求a 、b 的值。
二、（10
分）证明函数22222
2
2
;0(,)0,0
x y x y x y
f x y x y ?+≠?+=??+=?
在点)0,0(连续且偏导数存在,但在此点不可微。
三、（8分）设(,,)()z f x y u xy xF u ==+，其中F 为可微函数，且y u x
=，试证明：z
z
x y
z xy x
y
??+=+??
四、（8分）求曲面x u v =+，u y ve =，z u v =-在0u v ==处的切平面方程。 五、（8分） 已知函数(,)u u x y =满足方程：2
22
2
0u u u u b x
y x y ??????
-
++= ???????
。 （1）试选取参数,αβ，利用变换(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=将原方程变形，使方程中不出现一阶偏导数项。
（2）再令x y ξ=+，x y η=-使方程变换形式。 六、（8
分）设(sin )x
z f e y =，()f u 具有二阶连续导数。（1）求2222
z z
x y
??+??；（2）若2222z z
x y
??+??2x
ze =，且(0)0,(0)1f f '==，
求()f u 。
七、（8分）求由方程22221x xy y ++=所确定的隐函数的极值。 八、（8分）设(,)=z f x y 有一阶连续偏导数，12(1,1)1,(1,1),(1,1)f f a f b ''===
又(,(,))()=f x f x x F x ，求(1),(1)'F F . 九、（12分） 设有空间直线l ：11
1
11
x y
z --==
-和平面π：210x y z -+-=，求：
1、直线l 在平面π上的投影直线0l 的方程；
2、 投影直线0l 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程(,,)0F x y z =。
3、旋转曲面(,,)0F x y z =在点0M (2,1,0)处的切平面方程。
4、由旋转曲面所确定的隐函数(,,)0F x y z =（(,)z f x y =）在点1(6,3)M 处的方向导数的最大值。 十、（6分）求常数c b a ,,的值，使函数232(,,)f x y z axy byz cx z =++在点(1,2,1)-处沿z 轴正向的方向导数有最大
值64。
武汉大学2003—2004学年下学期期考试试题参考答案
《微积分（下）》（总学时216）
一、选择题（每小题6分，共24分） 1、2和2-；2
；3、22316y z -=；4、5
2a b =-=-
二、（10分）证: 因为
2222
x xy x y x x y x y ?=≤++ , 从而 222
(,)(0,0)lim
0(0,0)→==+x y x y
f x y 所以,),(y x f 在点)0,0(连续.有偏导数定义知00(0,0)(0,0)00
(0,0)lim
lim 0x x x f x f f x
x ?????→→+--=== 同理 (0,0)0y f =.所以, (,)f x y 在点)0,0(的偏导数存在，但 23
222
(0,0)(0,0)()[()()]x y f f x f y x y
x y ρ???????--?=+
考察
23
222
()[()()]x y x y ?????+, 由于x y ??=时,
当0y ?=时, 其值为0,所以23
220
2
()lim
[()()]x y x y ρ????→?+不存在，
故(,)f x y 在点)0,0(不可微.
三、（8份）证
2d d ()()d d z F u F y y F u x y F u x x u x u x ????=++?=++?- ?????d ()d y F
y F u x u
=+-?；
d d 1d d d d z F u F F x x x x x y u y u x u ??=+?=+?=+??，故 d d ()2()d d z z F F x y xy xF u y xy y xy xF u z xy x y u u
??+=+-++=+=+?? 四、（8分）解 利用全微分
因为d d d d d d d d d u u
x u v y ve u e v
z u v ?=+?
?=+??
=-??
，故可求得2
d d d u u
u u u
u
e ve z x y e ve
e ve +=-
--，于是u u u u
z
e ve x
e ve ?+=
?-，2u
u
z
y
e ve ?-=
?-
将曲面方程看作题中方程组确定的隐函数(,)z z x y =，则其法向量为{,,1}x
y n z z ''=-， 在0u v ==即0x y z ===处，(0,0){,,1}{1,2,1}x
y n z z ''=-=--，故切平面为1(0)2(0)(0)0x y z -----=， 即20x y z --=。 五、（8分）解 （1）由x y x y u
v e v e x
x αβαβα++??=
?+??x y
v v e
x αβα+???=+? ????
2222x y x y u v v v e v e x x x x αβαβααα++????????=+?++ ? ?????????2
222x y
v v v e x x αβαα+????=++? ?????
同理，x y u v v e y y αββ+????
=+?
?????
，222222x y
u v v v e
y y y αβββ+?????=++? ??????
，
由上述各项代入题设方程，约去y
x e
βα+得，
()2
2
222
2(2)(2)0v v v v
b b b b v x y x y
αβαβαβ????-+++-++-++=????， 由题设知，令02=+b α，20b β-+=，得2
b
α=-
，2
b
β
=
， 故原方程变换为：2
2220v
v x y ??-=??。 （2）令x y ξ=+，x y η=-，则有v
v v
x
ξη
???=
+???，v
v v y
ξη
???=
-???，2
2222
22
2v v v v
x
ξξηη????=
++?????，
2222222
2v v v v
y ξξηη????=-+?????，原方程可变换为：
20v
ξη
?=??。 六、（8分）解：（1）由复合函数求导法则可得：()sin x z
f u e y
x
?'=?，()cos x z
f u e y
y
?'=?
2222
222
2()sin ()sin ,()sin ()cos x x x x z z f u e y f u e y f u e y f u e y x y
??''''''=+=-+??
所以22222222()sin ()sin ()sin ()cos x x x x z z
f u e y f u e y f u e y f u e y x y
??''''''+=+-+??2()x
f u e ''= 故2222z z
x y
??+??2()x
f u e ''=
（2）由题设知：22()()x
x f u e f u e ''=，即()()0f u f u ''-=
因此特征方程为210r -=，有特征根为121,1r r ==-，故12()u u f u c e c e -=+再由(0)0,(0)1f f '==得1211,2
2
c c ==-所以
11
()22
u u f u e e shu -=-=。
七、（8分）解: 令22(,)221F x y x xy y =++-,则22x F x y
=+,24y
F x y
=+.
令22024dy
x y
dx
x y
+=-
=+,则有x y
=-.将x
y
=-代入原方程得22221x xy y ++=,解此方程得 1.x
=±于是该隐函数的稳
定点为1,±且(1)1,(1) 1.y y =--=又
22221()().(2)2d y d dy x xy
y dx dx dx y x y x
+==-+++ 从而2
22
2
(1,1)(1,1)
10,
10.d y d y
dx
dx --=>=-<故当1x =时有极小值1-,1x =-时有极大值
1.
八、（8分）解：(1)[(1,(1,1)](1,1)1F f f f === 1212()[]F x f f f f '''''=++ 2(1)[]F a b a b a ab b =++=++ 九、（12分）解：（1）设1π为过l 且垂直于π的平面，由直线l 的一般方程为1010x y y z --=???
+-=??
所以过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z λ--++-=，即(1)(1)0x y z λλλ+-+-+=其法向量为1{1,1,}n λλ=-，平面
π的法向量为{1,1,2}n =-，因此为1π与π垂直知，
01=?n n 所以有2λ=-，于是1π的方程为3210x y z --+=，因此直线0l 的方程为3210210
x y z x y z -++=???
-+-=??
（2）将0l ：3210210x y z x y z -++=???-+-=??
，化为参数方程21(1)2
x y y y z y ?
?=??
=???=--??，设0000(,,)P x y z 是0
l 上一点，则有00
0021
(1)2
x y z y =???=--??若),,(z y x P 是由0P 旋转到达的另一点，
由于y 坐标不变且P P ,0到y 轴的距离相等，则有2
222
00
,y y x z x z =+=+ 所以2222220011(2)[(1)]4(1)2
4
x z y y y y +=+--=+-即2224417210x z y y +-+-=为所求旋转曲面方程。
（3）设222(,,)441721F x y z x z y y =+-+-故有8,342,8x
y z F x F y F z
==-+=
0M 点处的切平面的法向量为2{16,32,0}16{1,2,0}n =-=-
故旋转曲面0),,(=z y x F 在点0M )0,1,2(处的切平面方程为20x y -= （4）因为342
,8y x z z F z
F x z y x
F z y F z
??-=-
=-=-=?? 而1
1
25|8,|2
M M z z x
y
??==??所以1
25|{2,}2
M gradF =-
所以由旋转曲面所确定的隐函数(,,)0F x y z =（(,)z f x y =）在点1(6,3,1)M
处的方向导数的最大值为
(6,3,1)gradF =。
十、（6分）解：记0{0,0,1}e =，则2223(1,2,1)(1,2,1)|{3,2,2}|{0,0,1}--?=+++??f ay cx z axy bz by cx z l
3(1,2,1)(2)|22by cx z b c -=+=-
令226432b c b c -=-= 又梯度方向是方向导数取最大值的方向，而
(1,2,1)|{43,4,22}f a c a b b c -?=+-- 此方向的方向导数的数值应为梯度的摸，故
|(1,2,1)|64f ?-=
所以有：43030
4032a c b c a b b c +=+=?????
?
-=-=????
即：6
248a b c ?=??=??
=-??
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 2212 2: -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ）
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
高数C期中试卷答案
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2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案） 姓名 学号 班级 成绩 注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。 一、选择填空题（每空3分，共36分） 1、30 ln(1) lim sin x x t dt t x x →+-? = 2 ； 解：上式=22 /lim cos 1) 1ln(lim 22 030==-+→→x x x x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1 y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2 3- 解：积分区域??? ??≤≤≤≤y x y y D 121:，所以所求面积=-=?dy y y S )1(212ln 23- 3、1 21sin x xdx -?= 0 ； 解：奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，1 0()5f x dx =?，则1 0()xf x dx '?=3- 解：根据分部积分：1 0()xf x dx '?352)()()(1 01 01 0-=-=-==??dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解 为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。
6、方程2 2 14 y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱 面 ； 7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy - 8、二重极限22 (,)(0,0)lim x y xy x y →+ 不存在 ； 解：由于2 2220 1lim k k x k x kx x kx y x +=+?→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ； A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy x y f x y x x y ?≠∈? =??=∈?，，则(0,3)x f = 不存在 解：(0,3)x f =∞=?-??=?-?→?→?x x x x f x f x x 0 23sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+= 二、计算题（共52分） 1、(6分) 计算0 -? 解：被积函数在积分区域上连续 所以0 -?2ln 32 3 32 1 24-=-= ? =+dt t t t x 2、(6分)计算2 2 2||2x x dx x -++? 解：利用定积分的奇偶性
高数下期中考试
高等数学（下册）期中考试汇编 (2013-5-5) 一、解答下列各题（70107=?'分） 1. 设xyz y x xy u e +- =，求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==，求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程. 3. 设有球面14222=++z y x ，求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程. 4. 设由方程09322 2 2 =--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =，求y x z ???2在)1,2,1(-P 处 的值. 5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成。求2d z v Ω ??? 6. 计算二重积分??+-=D y x I σd )1(22，其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22及0=x 所围在第一象限的区域. 7. 计算二重积分? ???+=y y x y y x y x y x y I d e d d e d 1 2 12 1214 1. 8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体，求此长方体的体积. 9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水，现注入)(cm 1283π的水，问水面比原来升高多少 10. 求向量值函数f 的导数，其中[].)sin(,e ,cos T x xz y y x =f 二、设??? ? ??=+y x f z y x ,e ，其中具有二阶连续偏导数，求.2y x f ??? 三、讨论函数?? ? ??=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续，是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=及)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体，求 Ω对oz 轴的转动惯量.z I 五、设)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程????? ? ?????? ??+++=Ω v y x f z t f d 211)(222，其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定，求).(t f (2012-4-21) 一．填空题（每小题5分，共20分）
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高数期中试卷A类(2013)
cos x 2013 级《高等数学》第一学期期中考试试题（A 类） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x → 0 时，与 - 1等价的无穷小是 （ ） （A ） x 4 x 2 x 2 ； （B ） - ； （C ） 4 2 x 2 ； （D ） - 。 2 2. 设a 是常数，则 lim e -a n = （ ） n →∞ （A ） 0 ； （B ） e -1 ； （C ）不存在； （D ）以上选项都有可能。 3. 设数列{a } 满足 lim a n +1 = A > 0 ，则 （ ） n n →∞ a n （A ）{a n } 有界； （B ）{a n } 不存在极限； （C ）{a n } 自某项起同号； （D ）{a n } 自某项起单调。 4. 设 f ( x ) 在 x = x 0 不可导，则在 x = x 0 点一定不可导的是 （ ） （A ）e f ( x ) ； （B ） f ( x ) ； （C ） f 2 ( x ) ； （D ）cos f ( x ) 。 5. 设 f ( x ) 在闭区间[a , b ] ( a > 0 )上有定义且单调增加。下列命题中 （1）若对于 x 0 ∈(a , b ) ， lim x → x 0 f ( x ) 存在，则 f ( x ) 在 x = x 0 点连续； （2）若 f ∈ C [a ,b ]，则?x 0 ∈[a , b ] ，使得 f (b ) - f (a ) = 2 f ( x 0 ) ； （3）若 xf ( x ) 在[a , b ] 上单调减少，则 f ( x ) 在[a , b ] 上连续； 正确命题的个数为 （ ） （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 2 ； （D ） 3 。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 若设函数 f ( x ) 满足2 f (3x ) + f (2 - 3x ) = 6x + 1，则 f ( x ) = 。 7. 设 y = x 3 + 3x + 1，则 = 。 y =1 8. 曲线r = cos 2θ 在θ = π 4 处的切线方程为: 。 9. 已知 y = y ( x ) 由方程 x 2 y = e x - y 所确定，则 dy = 。 dx 10. 若 y = (1 + x 2 ) arctan x ，则dy = 。 三、（每小题 8 分，共 24 分） 11. 用极限定义证明： lim x →+∞ 1 + x = 0 。 12. 设 f ( x ) 在 x = 1 点附近有定义， 且在 x = 1 点可导， f (1) = 0 ， f ( sin 2 x + cos x ) f '(1) = 2 ，求 lim 。 x →0 x 2 dx dy 2x + x -2
本科高等数学下册期中考试试卷
青理工高等数学下册期中测验 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,23,2b a n b a m +=-=且,4),(,2||,1||^π ===b a b a 则._______||=? 2.设.________) ( ,2) ( ,3| | ,4| | ====b a b a 则 3.设由方程12+=+z ye xyz xz 确定函数),(y x z z =,则=-)1,2,0(|dz 4.曲线???=+-=++xoy z y x z y x 在1 12222222坐标面上的投影曲线是 5．1=xy xoy 面内的曲线y 绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 二、.选择题(每小题4分,共24分) 6.已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 ( ). (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 7．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数 ),(00y x f x '和),(00y x f y '存在,是),(y x f 在该点连续的( ). (A).充分条件而非必要条件; (B).必要条件而非充分条件; (C).充分必要条件; (D).既非充分条件又非充分条件. 8．函数)ln(2z xy xe u yz +=在点(1,2,1)M =处沿方向}2,1,2{ -=l =M |( ). (A).213 e +; (B).213e -; (C).213e -+; (D).213e --. 9．曲面8=xyz 上平行于平面042=++z y x 的切平面方程是( ). (A).1642=++z y x ; (B).1242=++z y x ; (C).842=++z y x ; (D).442=++z y x . 10．设),2,2(y x y x f z -+=且2 C f ∈，则=???y x z 2( ). (A).122211322f f f --; (B). 12221132f f f ++; (C). 12221152f f f ++; (D). 12221122f f f --. 三、计算 12、求函数(),arctan x f x y y =在点()0,1M 的梯度 11、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ??= ??? 确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,证明z y z y x z x =??+?? 13. 求二元函数()()22,2ln f x y x y y y =++的极值 14. 已知曲线22220:35 x y z C x y z ?+-=?++=?,求C 上距离xOy 最远的点和最近的点
高等数学试卷：答案_高等数学(A)期中
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案 2003级高等数学（A ）（上）期中试卷 一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D 二、填空题（每小题4分，共24分） 1. 5 2 2.0=x ,第一类（跳跃）间断点 3.(1)23 432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
高数上期中试卷及答案
2015-2016学年第一学期高数期中试卷 一、（每小题6分，共12分） 1 、求函数()f x = 的定义域和值域。 解：由02sin ≥x 得: 1 2(21)()2 k x k k x k ππππ≤≤+?≤≤+ 所以定义域为1 {|();}2 D x k x k k Z ππ=≤≤+ ∈ 由12sin 0≤≤x 得：12sin 0≤≤x ，所以值域为]1,0[ 2 、判断函数21,0()0x x f x x +≤?=>在分段点0x =处的左右极限，并据此判断函数在 这点的极限是否存在。 解：0 0/21 lim ()lim lim 2 x x x x f x x ++ +→→→=== 00 lim ()lim(21)1x x f x x - - →→=+= 因为0 lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，所以函数在0x =处的极限不存在。 二、（每小题6分，共12分）1、31 13lim( )11x x x →--- 2、01cos lim sin x x x x →- 解：1、233211113221 lim( )lim lim 11113x x x x x x x x x x →→→+-+-===--- 2、22001cos /21 lim lim sin 2 x x x x x x x →→-== 三、（10分）求2(1)sin x x y e x =-的间断点，并判断间断点的类型。 解：由(1)sin 0()x e x x k k Z π-=?=∈,所以函数的间断点为()x k k Z π=∈ 因为22 200lim lim 1(1)sin x x x x x e x x →→==-，所以0x =是可去间断点 因为2 (0) lim (1)sin x x k k x e x π→≠=∞-，所以(,0)x k k Z k π=∈≠是无穷间断点。
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；
高等数学期末考试题与答案(大一考试)
（2010至2011学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -1 11； (C) dx x x ?+∞∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定
可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _____. 2. 曲线???=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
安庆师范学院高数下期中考试
安庆师范学院 2012 - 2013学年第 二 学期 《高等数学》课程期中考试卷 120 分钟 一、选择题（每小题3分，共计15分） 1.过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 2．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（） A ．②?③?① B ．③?②?① C ．③?④?① D ．③?①?④ 3. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ ） A B C D 4、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分??+D d y x y x σ)sin cos (33＝（ ） A.σd y x D ??1sin cos 23； B.??132D yd x σ； C.??+1 )sin cos (433D d y x y x σ； D.0 5、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则??∑ ++dS y x e y x )sin(2222＝（ ）。 A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π 二、填空题：（每小题2分，共计20分） 学院专业班级姓名学
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
大学高数试卷及标准答案
. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x
高等数学(上)期中考试试卷
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点 装 订 线 内 不 要 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊
（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>?x 时，有（ ） (A )0>>?dy y (B )0<?>y dy (D )0'x f ， 0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ） (A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的； (C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。 （6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ） (A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点； (C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。 （7）曲线1 )3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线； (C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。 三、计算下列极限 (每题5分，共20分) （1）)| |sin 12(lim 4 10x x e e x x x +++→ （2）)1ln()cos 1(1 cos 11lim 230x x x x x x -++-+→ （3）)tan 11(lim 20x x x x -→
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案定稿版
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．
2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 :-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件；
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