工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

81141102---; 解3

81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8

-0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1)

=-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a c

b

c b a ; 解b

a c a c

b

c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc

=3abc -a 3-b 3-c 3.

(3)2

22111c b a c b a ; 解2

22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2

=(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y

x y x x y x y y x y x +++. 解 y

x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3

=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3

=-2(x 3+y 3).

2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:

(1)1 2 3 4;

解逆序数为0

(2)4 1 3 2;

解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;

解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.

(4)2 4 1 3;

解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n);

解逆序数为

2)1

(-

n

n

:

3 2 (1个)

5 2, 5 4(2个)

7 2, 7 4, 7 6(3个)

??????

(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2.

解逆序数为n(n-1) :

3 2(1个)

5 2, 5 4 (2个)

??????

(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)

6 2, 6 4(2个)

??????

(2n )2, (2n )4, (2n )6,???, (2n )(2n -2)(n -1个)

3.写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.

解 含因子a 11a 23的项的一般形式为

(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,

其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是

(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,

(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.

4.计算下列各行列式: (1)7110

0251020214214; 解711002510202142140

10014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-?---= 143102211014--=014

17172001099323211=-++======c c c c . (2)2605232112131412-;