北京师范大学附属实验中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题含答案

北师大附属实验中学

2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷（一卷） 班级 分层班级 姓名 学号 分数

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上）

1.设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则A B = （ ） （A ）{1,0}- （B ）{1}- （C ）{0,1} （D ）{1}

2.函数()

f x =

） （A ）(,2)-∞ （B ）[2,)+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）(2,)+∞

3.已知幂函数y =f x ()的图象过点（12

，2），则f 2()的值为（ ）

（A （B （C ）2

（D ）－2

4. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系是（ ） （A ）c a b << （B ）a c b << （C ）a b c << （D ）b c a <<

5.下列函数中，既是偶函数又在（0，+￥）上单调递增的函数是（ ） （A ）y =x 3

（B ）y =|x |+1

（C ）y =-x 2+1 （D ）y =2-|x |

6.设函数3

y x =与12x

y ??

= ???

的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）

（A ）(01)，

（B ）(1

2)， （C ）(23)，

（D ）(34)，

7.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，232)(x x x f -=，则0

（A ）2

3

2x x + （B ） 2

3

2x x - （C ）2

3

2x x +- （D ） 2

3

2x x -- 8.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ） （A ）1e x + （B ）1e x - （C ）1e x -+

（D ）1e x --

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上） ９．满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ??的集合A 的个数是____________. 10．函数的图象经过的定点坐标是__________．

11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为___________升. 12. 已知定义域为()+∞,0的函数()x f 满足：

（ⅰ）对任意()+∞∈,0x ，恒有()()x f x f 22=成立； （ⅱ）当(]2,1∈x 时，()x x f -=2。

给出的下列结论，其中所有正确结论的序号是________.

①对任意Z m ∈，有()

02=m f ； ②函数()x f 的值域为[)+∞,0；

③存在Z n ∈，使得()

912=+n f ； ④“函数()x f 在区间()b a ,上单调递减”的充要条件是“存在Z k ∈，使得()()

12,2,+?k k b a ”。

三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上） 13．（本题满分13分）

已知A=2

{|320}x x x -+=，B={|20}x ax -=且，求实数a 的值.

14.（本题满分13分） 已知函数

且

.

（1）求实数k 的值及函数的定义域；

（2）判断函数在),1(+∞上的单调性，并用定义加以证明.

15.（ 本小题满分14分）

已知二次函数f x ()的图象过点（0，4），对任意x 满足f 3-x ()=f x ()，且最小值是7

4

． （1）求f x ()的解析式．

（2）求函数h x ()=f x ()-2t -3()x 在区间［0，1］上的最小值(t

?R)．

（3）在区间［－1，3］上，y =f x ()的图象恒在函数y =2x +m 的图象上方，试确定

实数m 的范围．

北师大附属实验中学

2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷（二卷）

班级 分层班级 姓名 学号 分数

四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 16.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式

2()log (1)f x x +≥的解集是________ .

17. 函数)43(l o g 2

3

1x x y -+-=的单调递增区间是

________ .

18.

2

3

3log 5

(lg 2)lg 2lg5log 10+?+的值为__________．

19.设函数2,1,()4()(2), 1.x a x f x x a x a x ?-

=?--??

≥

① 若1a =，则()f x 的最小值为_______；

② 若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

_______.

五、解答题（见答题纸）

北师大附属实验中学

2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷（答题纸）

班级 分层班级 姓名 学号 分数

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上） 9. 10.

11. 12.

三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上） 13．（本题满分13分）

已知A=2{|320}x x x -+=，B={|20}x ax -=且，求实数a 的值.

14.（本题满分13分）

已知函数且.

（1）求实数k的值及函数的定义域；

,1( 上的单调性，并用定义加以证明. （2）判断函数在)

15.（ 本小题满分14分）

已知二次函数f x ()的图象过点（0，4），对任意x 满足f 3-x ()=f x ()，且最小值是7

4

． （1）求f x ()的解析式．

（2）求函数h x ()=f x ()-2t -3()x 在区间［0，1］上的最小值

(t

?R)．

（3）在区间［－1，3］上，y =f x ()的图象恒在函数y =2x +m 的图象上方，试确定实数m 的范围．

四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 16. 17.

18. 19.

五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上） 20. （本小题满分10分）

为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有

a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加

b 人．假设每个窗口的售票

速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完)；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？

北师大附属实验中学

2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷（答题纸）

班级 分层班级 姓名 学号 分数

21.（本小题满分10分）

已知定义域为R 的函数

1

2()22x x b f x +-+=+是奇函数. （1）求()f x ；

（2）判断函数()f x 的单调性（不必证明）； （3）解不等式.

22. （本小题满分10分）

对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ?],[，同时满足：

①)(x f 在],

[n m 内是单调函数；

②当定义域是],

[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数x

y 5

3-

=不存在“和谐区间”． （2）已知：函数x

a x a a y 221

)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，

求出m n -的最大值．

2015－2016学年度第一学期高一年级数学期中练习试卷参考答案

一、选择题

D D A B B A A D

二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上） ９． 4 10． (-1,-1) 11. 8 12.①②④

三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上） 13．（本题满分13分）

已知A=2{|320}x x x -+=，B={|20}x ax -=且，求实数a 的值.

解：

…………3分

当B=?时，0a =， …………6分 当B ≠?，由2

320x x -+=得12x x ==或。 当1x =时，2a =，当2x =时，1a =，…………12分 综上, 0a = ,1,2 …………13分

14.（本题满分13分） 已知函数

且

.

（1）求实数k 的值及函数的定义域；

（2）判断函数在),1(+∞上的单调性，并用定义加以证明. 略解：（1）

,定义域为{|0}x x ∈≠R ； …………4分

（2）为增函数. …………6分 在),1(+∞任取两数1x ，2x .设210x x >>，则

因为

，所以210x x ->，

，

所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 为增函数. …………13分

15.（ 本小题满分14分）

已知二次函数f x ()的图象过点（0，4），对任意x 满足f 3-x ()=f x ()，且最小值是7

4

． （1）求f x ()的解析式．

（2）求函数h x ()=f x ()-2t -3()x 在区间［0，1］上的最小值(t

?R)．

（3）在区间［－1，3］上，y =f x ()的图象恒在函数y =2x +m 的图象上方，试确定

实数m 的范围．

四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）

16. {|11}x x -<≤ 17.

18. 1

19. ① -1 ②

五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上） 20. （本小题满分10分）

为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有

a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加

b 人．假设每个窗口的售票

速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完)；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？

[解析] 设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有， ????

?

a ＋25

b ＝50

c ①a ＋15b ＝45c ②a ＋10b ≤10cx ③

.………………6分

由①②得，c ＝2b ，a ＝75b ，代入③得， .………………8分 75b ＋10b ≤20bx ，∴x ≥17

4， .………………9分

即至少同时开5个窗口才能满足要求． .………………10分

21.（本小题满分10分）

已知定义域为R 的函数

1

2()22x x b f x +-+=+是奇函数. （1）求()f x ；

（2）判断函数()f x 的单调性（不必证明） （3）解不等式. 解:

（1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以

1,021,0)0(==++-=b a b

f 解得即

从而有1

21()22x x f x +-+=+………………….2分 经检验，符合题意. ………………….3分

（2）由（1）知,121

212

212)(1

++-=++-=+x x x x f 由2x

y =的单调性可推知)(x f 在R 上为减函数 ……………….6分

（3）)(x f 在R 上为减函数且是奇函数，从而不等式

等价于

…………………7分

因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得 ………………8分

解得x R ∈ …………10分

22. （本小题满分10分）

对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ?],[，同时满足：

①)(x f 在],

[n m 内是单调函数；

②当定义域是],

[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数x

y 5

3-

=不存在“和谐区间”． （2）已知：函数x

a x a a y 221

)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，

求出m n -的最大值． [解析] （1）设],

[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-?n m 或

),0(],[∞+?n m ，故函数x

y 5

3-

=在],[n m 上单调递增． 若],

[n m 是已知函数的“和谐区间”，则???==n

n g m

m g )()(

故m 、n 是方程x x

=-5

3的同号的相异实数根． 0532=+-x x 无实数根，∴函数x

y 5

3-=不存在“和谐区间”

．………………5分 （2）设],

[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-?n m 或

),0(],[∞+?n m ，故函数x

a a a x a x a a y 2

221

11)(-+=-+=在],[n m 上单调递增． 若],

[n m 是已知函数的“和谐区间”，则???==n

n f m

m f )()(

故m 、n 是方程

x x

a a a =-+21

1，即01)(22=++-x a a x a 的同号的相异实数根． 012>=

a

mn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2

>-+=?a a a ，即1>a 或3-

[n m ，3

4

)311(34)(22+--=-+=-a mn m n m n ，

∴当3=a 时，m n -取最大值

3

3

2