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必修四第三章三角恒等变换

3.1.1两角和与差的余弦公式（第1课时）

一、教学目标 1. 知识与技能

(1)能够理解借助单位圆中三角函数线以及它们之间的关系推导两角差的余弦公式，以及借助单位圆中向量的数量积推导两角差的余弦公式

(2) 理解并掌握两角和与差的余弦公式的推导过程，会利用两角和与差的余弦公式解决三角函数求值的问题。 2.过程与方法

（1）经历由构造几何图形，几何直观探讨数量关系式，培养数形结合的思想，提高发现能力和概括能力。（2）通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式过程，培养从特殊到一般的数学思想，体会用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力

3. 情感、态度、价值观

（1）通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的精神。

（2）在两角差的余弦公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结合作的精神。

二、教学重、难点

1. 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导过程及运用

2. 教学难点：构造几何图形来体现数量相等的关系和两角和与差的余弦公式的灵活运用

三、教学方法和教学用具：

1.教学方法：启发引导、探索发现

2.教学用具：多媒体、圆规、三角板

四、教学设想： 1、复习导入：

回顾同角三角函数的基本关系和诱导公式，还有向量的数量积基本运算.

2、创设问题情景：

前面我们学习了任意角的三角函数，也知道了一些特殊角的三角函数值，如：

cos90°=0,cos60°=?,

2cos 452=

, 3

cos30= ,cos0°=1,但如果要求

cos15°呢？应该怎么做呢？

（设计意图：教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提

出问题，引入研究课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值。解决这个实际应用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到在这个问题中要解决的

)45tan(0α+与这节课要研究的)cos(βα-的联系不够直接。而用 15cos 来引入，不仅可

以节省时间，还使引出课题更加直接，更加自然。）

3、尝试推导：

学生经过思考、讨论、归纳出用查数学表的方法，得出cos15°。

教师启发性提问：能否用我们已经学过的特殊角进行转化呢？

学生转化得到的方法：因为15°=45°-30°，所以cos15°= cos(45°-30°)

有些学生猜想：cos15°= cos(45°-30°)=cos45°-cos30°

教师进一步启发性提问：以上的猜想是不是正确的？能否得出一般的结论：

cos(α-β)= cosα-cosβ？

教师引导学生思考讨论：检验cos(α-β)= cosα-cosβ是否正确？引导学生设α=60°，β=30°。动手算一下cos（60°-30°）的值，再看看是不是等于cos30°的值？计算的结果是cos（60°-30°）≠cos30°，因此，我们的猜想是错误的。

进而有特殊到一般：cos(α-β)≠cosα-cosβ。

（三）探讨新知：

问题提出： cos(α-β)=？

推导过程：

1.在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为P，cosα等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。

思考：怎样构造角β和角α-β？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）（设计意图：在探究公式的过程中，不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。）在教师引导和学生的合作下，在直角坐标系中画出单位圆，作出角α和角β，这样角α-β也出现了，由此也知道角α和角α-β与单位圆的交点坐标了，此时展示多媒体动画课件，启发学生观察几何图像，利用它们之间的数量关系求出cos(α-β)即通过正、余弦线及它们之间的关系探索cos(α-β)与cosα、cosβ、sinα、sinβ之间的关系，由此得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ两角差的余弦公式

2．我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题

思考：两角差的余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

在教师的启发和学生的合作下，在平面坐标系作单位圆，作出角α和角β，标出角α和角β与单位圆的交点坐标分别为A和B，此时展示多媒体课件，启发学生用向量的数量积运算求出

两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。

（设计意图：让学生比较用几何和向量知识决解问题的不同之处，体会向量方法的作用和便利之处）

思考：公式的特点有哪些特点？

1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；

2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；

3.式子中α、β是任意的。

（设计意图：阶段概括公式的特点，理解公式的结构特征，为更好地运用公式打下基础）

思考：两角和的余弦公式cos(α+β)=？让学生自主动手完成。只要把cos(α+β)化成cos [α-（﹣β）]，再利用两角差的余弦公式得出cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β

（设计意图：旨在培养学生的衍变推导能力和发散能力）

（四）例题讲解

例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.

(

)231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin302

=+=-=?

()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin3022224=-=+=

?+=

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

()cos15cos 6045

=-，要学会灵活运用.

（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体

现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）

例2、已知4sin 5α=，

5,,cos ,213παπββ??∈=- ?

??是第三象限角，求()cos

αβ-的值.

解：因为

,2παπ??∈ ???，4

sin 5α=由此得3cos 5α

=- 又因为

5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以

3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ??????

-=+=-?-+?-=-

? ? ??????? 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.

（设计意图：考察学生应用、理解公式，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，

要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。此题旨在培养学生思维的有序性和表述的条理性。）

思考：本题中若没有

)

ππ

α ??∈，呢？

（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）

（五）巩固练习：教材P127---1、3题

（设计意图：旨在培养学生熟练和灵活运用公式）

（六）小结

本节课学习了两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，要理解并掌握其推导过程，并且熟知由此衍变的两角和的余弦公式cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，还有要灵活运用公式.

（设计意图：培养学生的概括能力，体会在探求公式和运用公式的过程中的收获和感悟。

（七）作业：习题3.1—2、4

五、教学反思：

复习引入使学生不仅温故旧知，更为新知识的探索打下基础。而创设问题情景则引起学生学习的兴趣，尝试推导更是激发学生的求知欲，使教学过程进入探讨新知的情景。探讨新知充分体现了教师的启发主导作用，体现了以教师为主导，以学生为主体的原则。例题精讲考察了学生理解和运用公式的能力，培养学生思维的有序性和表述的条理性。巩固练习和作业使学生感悟如何在解决问题中熟练和灵活运用公式，并将公式化到自己的知识结构中去。小结让学生理清思路，整理知识点，体会对公式探求过程中的收获和感悟，考验学生的记忆力和概括能力。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(第2课时)

一．教学目标

1、知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题

目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从

而提高解决问题的能力.

2、过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉

地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力

3、情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观

察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质

二．教学重点与难点

1、教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导

2、教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.

三．教学方法与教学手段

问题教学法、合作学习法、引导发现式教学法，多媒体课件

四．教学过程

（一）导入新课（复习导入）

（1）引导同学一起回顾两角差的余弦公式

（2）然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)。。本节课我们共同研究公式的推导及其应用.

（二）讲授新课（合作探究）

1．问题的提出

cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

思考1：在公式C (α-β)中，角β是任意角，角α-β中β换成角-β是否可以？

cos(α+β)=cos ［α-(-β)］

=cos αcos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β.

所以有如下公式：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).

思考2：在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)、sin(α-β)及 tan(α-β)、tan （α+β）的公式。教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦

)2cos(sin απα-= αα

αcos sin tan =

（设计意图：鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，

学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.引导出式C (α-β)上来,这样就很自然地得到所求）

2．自主探讨

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. sin(α+β)=cos ［

2π-(α+β)］=cos ［(2

-α)-β］

=cos(

2π-α)cos β+sin(2

-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.

在上述公式中,β用-β代之，则

sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β) =sin αcos β-cos αsin β.

因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β). sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β

教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己推导出来. cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=

.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(β

αβαβ

αβββ-+=++a a

如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得 tan(α+β)=

)

tan(tan 1tan tan βαβ

α--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，

则有tan(α-β)=

.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan β

αβ

αβαβα+-=---+

由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).

可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式

3．方法尝试例1、已知sin α=53-

,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π

-α)的值解：由sin α=53-

,α是第四象限角，得cos α=5

4)53(1sin 122

=--=-a .

∴tan α=

a a cos sin =4

-. 于是有sin(

4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,10

7)53(225422=-?-? cos(

4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,10

27)53(225422=-?-? tan(α-4

π)=4tan tan 14tan

tan ππ

a a +-=a a tan 11tan +-=7)

3(11

-=-+--

点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有

序性，逐步培养他们良好的思维习惯.

（设计意图：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.）

例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42- （2）cos 20cos70sin 20sin 70-

（3）

1tan15

（设计意图：巩固学生对两角和与差的正弦、余弦、正切公式的了解和掌握） 4．简单应用（1）已知35

sin ,cos 513

αβ=

=-，且α为第一象限角，β为第二象限角。求sin()αβ+和sin()αβ-的值。

（2）计算：cos 44sin14sin 44cos14;??-??

5．课堂小结

（1）先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.

（2）教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆

用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.

6．课后作业

（1）已知一元二次方程ax 2

+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值. （2）已知()21tan ,tan ,544παββ??+=

-= ???求tan 4πα?

?+ ??

?的值．

五、课后反思

（1）本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出了形如“asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法.

（2）对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.

3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(第3课时)

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）掌握ααα222,,T C S 公式的推导，明确的取值范围（2）能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。

2、过程与方法：通过公示的推导，了解它们的内在联系，培养学生的类比推理能力，自主探究的学习能力，通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度价值观：让学生自己由和角公式推导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的

数学思想，体会公式所蕴含的和谐美，激发学生学数学的兴趣，引导学生发现数学规律，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质。二、教学重、难点1、教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的变形，二倍角公式的简单应用；2、教学难点：二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。

三、教学方法与教学手段

本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得倍角公式；对于倍角公式的应用采用讲、练相结合的方式进行处理，使学生边练边巩固，同时设计问题、探究问题，深化对公式的记忆。

四、教学过程：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=

- β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+

我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）新课讲授： 1.问题的提出

上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？

解：由前两节学习的两角差的余弦公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=

- β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+

可得到公式：

()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；

()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；

（设计意图：引导学生尝试去推导cos 2α的式子与含有sin α或cos α形式的式子之间的关系） 2.自主探讨：

22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；

22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．

()2

tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα

αααααα

+=+=

=--．注意：2,2

k k π

απαπ≠

+≠

我们把以上这些公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系。 3.方法尝试例1、已知5sin 2,,1342

ππ

αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．解：由

α<<

得

απ<<．

又因为5sin 2,13α

=12cos 213α===-．于是512120

sin 42sin 2cos 221313169

ααα??==?

?-=-

???； 2

25119

cos 412sin 21213169αα??=-=-?=

???

；120

sin 4120169tan 4119cos 4119169

ααα-

===-．点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.

（设计意图：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.）

例2．已知1

tan 2,3

α=求tan α的值．解：2

2tan 1tan 21tan 3

ααα=

=-，由此得2

tan 6tan 10αα+-=

解得tan 2α=-tan 2α=-

（设计意图：让学生通过做题训练学会掌握运用二倍角的正弦、余弦以及正切公式） 4.简单应用例1 证明

θθ

θ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ.

教学活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.

证明: 左=)

1cos 21(cos sin 2)

cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 2

2-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθ

θθ2

2cos cos sin cos 1cos sin +-+ =θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++ )

cos (sin cos )

sin (cos sin θθθθθθ++=tanθ=右.

所以,原式成立. 例2.不查表,求值:sin

解:原式=2

615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222

++=

（设计意图：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.） 5.拓展延伸练习

已知0<α<2π,sin α=45.求

2α2αα2α

sin sin cos cos ++的值. 6.课堂小结

（1）本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

（2）利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知α的某个三角函数值，求其他三角函数值。解法是直接利用三角函数基本关系式求解。另一类是已知α的正切值，求关于α的正弦、余弦值的齐次方式的值的问题

（3）利用同角三角函数基本关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左到右、从右到左或从两侧同时证明。 7.课后作业 1.已知4

0,135)4

sin(

<<=

-x x ，求)

cos(2cos x x +π

的值

2.已知,0,3

cos sin πααα<<=+求ααα2tan ,2cos ,2sin 的值

五.回顾与反思

（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。

（2）理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。

3.2简单的三角恒等变换（一）

一．教学目标 1知识与技能

通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2过程与方法

理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。 3情感、态度、价值观

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力、钻研精神和科学态度

二、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学方法与教学手段

问题教学法、合作学习法，多媒体课件四、教学过程：（一）复习导入：

三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授： 1问题的提出

由二倍角公式引导学生思考：2

α与

有什么样的关系？

学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．

例1、试以cos α表示2

sin

,cos ,tan 2

．

解：我们可以通过二倍角2

cos 2cos 12

α=-和2cos 12sin 2

α=-来做此题．

因为2

cos 12sin 2

α=-，可以得到2

1cos sin

2α

；因为2

cos 2cos

α=-，可以得到2

1cos cos 2

．又因为2

sin 1cos 2tan

1cos cos 2

ααα-=

=+． 2自主探究

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 3方法尝试

例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2

tan α

的值。 4简单应用例3、求证：

（１）、()()1

sin cos sin sin 2

αβαβαβ=

++-????；（２）、sin sin 2sin

cos

θ?

θ?+-+=．

证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

()sin sin cos cos sin αβαβαβ

+=+；

()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．

两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1

sin cos sin sin 2αβαβαβ=

++-???

?；（２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=，

那么,2

θ?

αβ+-=

．

把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos

θ?

θ?+-+=．

5回顾与反思

思考：在例3证明中用到哪些数学思想？

例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在

后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 6练习：P142面1、2、3题。

7小结：要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

8作业：P143面A 组2、3题

3.2简单的三角恒等变换（二）

一、教学目标 1知识与技能

通过三角恒等变形，形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(?+=x A y 的函数。 2过程与方法

灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。 3情感、态度、价值观

（1）通过灵活利用公式，三角恒等变形的运用，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。

（2）在三角恒等变形应用过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神二、教学重点与难点

教学重点：三角恒等变形的应用。教学难点：三角恒等变形。三、教学方法与教学手段

问题教学法、合作学习法，多媒体课件四、教学过程

（一）复习：二倍角公式。（二）典型例题分析

例1：.54sin ,20=<<απ

α已知的值求α

αα

α2cos cos 2sin sin )1(2

2++；的值求)45tan()2(πα-．解：（1）由,54sin ,20=<

<απ

α得,5

3cos =α .201

cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αα

αααααα （2）.7

tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==

ααπαααα 例2．.10tan 3150sin ）（利用三角公式化简?+?

解：）（原式?

?+?=10cos 10sin 3150sin ??+???=10cos )

10sin 23

10cos 21(250sin

???+???

?=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ?

???=10cos 40sin 40cos 2

110cos 10cos 10cos 80sin =??

=??=

. 例3．已知函数x x x x x f 4

sin cos sin 2cos )(--= （1）求)(x f 的最小正周期，（2）当]2

0[π

∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的

集合．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

()sin y A x ω?=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作

用．

例4．若函数]2

0[cos 22sin 3)(2π

，m x x x f 在区间++=

上的最大值为6，求常数m 的值

及此函数当R x ∈时的最小值及取得最小值时x 的集合。（三）练习：教材P142面第4题。（四）小结：(1) 二倍角公式：

.tan 1tan 22tan ,sin 11cos 2sin cos 2cos ,

cos sin 22sin 2

2222α

ααααααααα-=-=-=-==

(2)二倍角变式：

αααα2cos 1sin 2,2cos 21cos 222-=+=

(3)三角变形技巧和代数变形技巧常见的三角变形技巧有 ①切割化弦； ②“1”的变用；

③统一角度，统一函数，统一形式等等．（五）作业：P143面A 组4、 5题

3.2简单的三角恒等变换（三）

一、教学目标 1知识与技能

熟练掌握三角公式及其变形公式． 2过程与方法

（1）抓住角、函数式得特点，灵活运用三角公式解决一些实际问题．

（2）对三角公式及其变形公式的运用，培养学生观察、分析、解决问题的能力． 3情感、态度、价值观

在三角公式及其变形公式的探求过程中，运用合作学习的范式进行，培养学生探索能力、钻研精神和科学态度及团结协作的精神．二、教学重点与难点

教学重点：和、差、倍角公式的灵活应用．

教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．三、教学方法与教学手段

问题教学法、合作学习法，多媒体课件四、教学过程（一）自主探究

例1：教材P141面例4

如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为

的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内

接矩形.记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.

（二）方法尝试

例2：把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）

解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当

,22

4222

R R l ==

即R l 2=

时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为 R R

R 2222

=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为

θsin 2R 、θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =?=.

而12sin ≤θ，所以2

2R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当

?=902θ即?=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.

（三）简单应用

变式：已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，矩形的

面积最大，并求最大面积时的值．解：设,α=∠SOP 则,cos ,sin αα==OS SP

故S 四边形PQRS ααα2sin cos 2sin =?=

故α为?45时，1max =S

（四）课堂小结

建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题.

（五）课后作业

1.复习教材P.139到P.142;

2. P143面 B 组1题

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-．三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.

1 三角恒等变换中角变换的技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例3 已知sin=, 0

五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值.

人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换教案新

第三章三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用二、编写意图与特色 1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式； 3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下： 3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时 3.2简单的恒等变换约3课时复习约2课时

第三章三角恒等变换(教案)

三角恒等变换知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ．经典例题：例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值．

例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值．例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x

2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150 分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．sin 2 π12－cos 2 π12的值为( ) A ．－1 2 B.1 2 C ．－3 2 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－(cos 2 π12－sin 2 π12)＝－cos π6＝－32. 2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π [答案] B [解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π 2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π 2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429 D.79

[答案] C [解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝42 9. 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.13 [答案] D [解析] tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β＝3－43 1＋3× 43＝1 3. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋2 3 [答案] A [解析] 原式＝sin 2 15°＋cos 2 15°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝5 4. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B [解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π 4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )

人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案

第三章三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

人教版高中数学必修四《第三章三角恒等变换》质量评估

章末质量评估(三) (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝( )． A. 2＋64 B.2－64 C.6－24 D.2 4 解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A 2．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋1 2sin 2θ的值是( )． A ．－65 B ．－45 C.45 D.65 解析 ∵tan θ＝13， ∴原式＝cos 2 θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋1 3 1＋ 19＝1210＝6 5. 答案 D 3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈? ? ???0，π2， β∈? ?? ?? －π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－6365 解析 ∵α∈? ????0，π2，β∈? ?? ?? －π2，0，∴α－β∈(0，π)，

由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝4 5，由sin β＝－513得cos β＝12 13， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×? ????－513＝33 65. 答案 A 4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝3 2，则有( )． A ．c 0， ∴A ＋B <π2，∴C >π 2， ∴△ABC 为钝角三角形．答案 A 6．若x ∈? ???? －π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )． A.724 B ．－724 C.247 D ．－24 7