例题与习题1
一、简答题：
31、比较 H2O分子和 NH3 分子键角的大小并说明原因。
32、能否说“溶度积大的化合物其溶解度肯定大”，为什么？（p339例10-2）
33、解释事实：HgCl2为白色，在水中溶解度较大；HgI2为黄色或红色，在水中溶解度较小；
34、已知氮、氢、氟的电负性分别为：X N=3.04、X H=2.2、X F =3.98，NH3分子中键
角∠HNH = 106.6°、NF3分子中键角∠FNF = 102°。解释：（p102）
（1）NH3分子键角大于NF3分子键角；（2）NH3分子偶极矩大于NF3分子偶极矩。
35、（1）解释SiO2的熔点高于SO2；（原子晶体与分子晶体）（2）已知离子Be2＋、O2－、Li
＋和F－的离子半径依次为35 pm、132 pm、68 pm和133 pm。解释BeO 的熔点高于LiF。
(晶格能、离子键能)
36*、已知△f G?(NO) = 86.6 kJ·mol－1，试判断反应N2＋ O2 = 2NO在室温和101.3kPa下能否自发进行？
37*. 决定化学反应自发性的因素有哪些？什么情况下温度对化学反应自发方向有影响？
38*.已知反应 2C（s） + O2（g）= 2CO（g）的自由能变（?r G?m）与温度（T）的关系为：?r G?m /kJ.mol-1 = - 232600 – 168 T/K
故可说,随反应温度的升高, ? r G?m更负，反应会更彻底。此说法正确吗？为什么
39*．什么叫可逆反应和不可逆反应? 标准平衡常数K?的物理意义是什么?
40. 举例说明缓冲溶液是如何发挥其缓冲作用的？
41. 已知O3、NO2-、CO2的键角分别为1170、1160和1800，运用所学的分子结构方面的知识，
讨论它们的中心原子轨道的杂化类型和大π键的类型，并且画图表示。(p90)
42．电子能层与能级组有何不同？
43. 共价键饱和性与方向性的根源是什么？(p87)
44. BF3是平面三角形而NF3却是三角锥形，试用杂化轨道理论加以说明。(p88)
45.为什么He＋中3S和3P轨道的能量相等,而在Ar＋中的3S和3P轨道的能量却不相等? 46．用MO法判断O2＋，O2，O2-，O22- 键的稳定性和磁性的大小，并说明原因。(p97)
47．核外电子运动有哪些基本特点？(3个p64)
48.已知Cd2＋的半径为97pm，S2- 的半径为184pm，解释为什么CdS不是 NaCl 型晶格，而
是ZnS 型晶格？
二、计算题：
51、在1.0 L 、0.10 mol·dm－1氨水溶液中，应加入多少克NH4Cl 固体才能使溶液的
pH 值等于9.00。（忽略固体的进入对溶液体积的影响 , K b[NH3·H2O]= 1.76×10－5 ，NH4Cl的分子量为53.50 ）
解：溶液的pH 值等于9.00，则 C （OH－）== 1.0×10－5 mol / L
假设在1.0 L 、0.10 mol / L氨水溶液中，应加入x mol 的NH4Cl (s)
则：NH3· H2O === NH4＋＋OH－
[平衡] / mol / L ：0. 10－1. 0×10－5 x＋1. 0×10－5 1. 0×10－5
[NH4＋] [ OH－]/[ NH3· H2O ] ==κb
( x＋1. 0×10－5 ) ( 1. 0×10－5 ) / ( 0. 10－1. 0×10－5 ) == 1.76 × 10-5
X = 0.176 mol / L
应加入的NH4Cl固体的质量为：
0. 176 mol / L × 1L × 53. 5 g ·mol－1 = 9 . 416 g 。
52、AgI 沉淀用(NH 4)2S 溶液处理使之转化为Ag 2S 沉淀，该转化反应的平衡常数为多少？如
在1.0L (NH 4)2S 溶液中转化0.010mol AgI ， (NH 4)2S 溶液的最初浓度应该是多少？
已知：AgI 的Ksp 为8.52×10-17 ， Ag 2S 的Ksp 为6.30×10
-50 解： 该转化反应可表示为2AgI(s) ＋ S 2－(aq) Ag 2S(s) +2I －(aq)
反应的平衡常数
]
[S ][I 22--=K ＝ 1750-2-17S Ag sp,2AgI ,sp 1015.1106.3)10(8.522?=??=K K
若在1.0L (NH 4)2S 溶液中转化0.010mol AgI ，则溶液中[I -]=0.010 mol·L
-1
所以 [S 2-]=22
172
21069.81015.1)010.0(][I --?=?=K （ mol·L -1）
(NH 4)2S 的初始浓度为
{}]I [21]S [)S (S )(NH 2224---+==c c 3
22100.5010.0211069.8--?=?+?=（mol·L -1） 53*、试由下列数据计算NH 3的△f H ?（NH 3）。
已知： 键能E （H-H ）= ＋436.0 kJ ·mol －1 ， 键能E （N-H ）= ＋391.0kJ ·mol －1
键能E （N ≡N ）= ＋946.0 kJ ·mol
－1 解： △f H ?（NH 3）=(946+3X436-6X391)/2=-46 kJ ·mol －1
54*. 甲醇的分解反应为：CH 3OH （l ）→ CH 4（g ）+ 1/2 O 2（g ），已知：
? f H ?m 、 ? f G ?m S ?m CH 3OH （l ） -238.7 kJ ·mol -1 –166.40 kJ ·mol -1 127.00 J ·mol -1·K -1. CH 4（g ）（l ） -74.8 kJ ·mol -1 – 50.75 kJ ·mol -1 186.15 J ·mol -1·K -1. O 2（g ） 205.03 J ·mol -1·K -1.
求：(1)在298K 、标准状态下该反应的? r H ?m 、? r G ?m 及 ? r S ?m ， 此反应在该情况下能否自
发进行？ (2)若不能自发，温度至少要升高到多少度（K ）反应才能自发进行？
解:?r H ?m =?f H ?m (CH 4,g )-? f H ?m (CH 3OH l )=-74.8-(-238.6)=163.8(kJ/mol)
? r S ?m = S ?m (CH 4,g )+1/2 S ?m O 2（g ）- S ?m (CH 3OH l )
=186.15+1/2×205.03-127.0=161.7(J/mol ·K)=0.1617(kJ/mol ·K) （4分）
? r G ?m =? f G ?m (CH 4,g )-? f G ?m (CH 3OH l )=-50.75-(166.4)=115.65(kJ/mol)>0
所以反应不能自发。 … …… （2分）
若要反应自发进行，需要：? r G ?m =（? r H ?m - T ? r S ?m ）＜0
即 T ＞? r H ?m ／? r S ?m ＝ 163.8／0.1617＝1013（K ）
即温度超过1013K （740°C ）时反应自发进行。
55、将H 2S 气体通人0.10 mol ·dm -3 的ZnCl 2 溶液中，使其达到饱和。求Zn 2＋ 开始出现沉
淀的pH 值。（ 已知：K 1（H 2S ）= 1.3 ×10-7 ，K 2（H 2
S ）= 7.1 ×10-15，
Ksp （ZnS ）= 1.6 ×10-23，）
解：求Zn 2+ 开始出现沉淀时的pH 值
[Zn 2+][S 2-] = Ksp ，（ZnS ） 又已知[Zn 2+]= 0.10 mol.dm -3
∴ [S 2-] = Ksp ，（ZnS ） / [Zn 2+] = 1.6 ×10-22 （mol.dm -3 ）
又， H 2S （aq ） + 2H 2O == 2H 3O +（aq ） + S 2-（aq ）
平衡浓度（mol.dm -3 ） 0.10 x 1.6 ×10-22
[H 3O +][S 2-]/[H 2S] = K a1.K a2 = 1.3 ×10-7 ×7.1 ×10-15 = 9.2 ×10-22
即 1.6 ×10-22 . x 2 / 0.10 = 9.2 ×10-22
x = [H 3O +]= 0.76（mol.dm -3 ）
pH = - Lg[H 3O +]= - Lg0.76 = 0.12
56. 计算饱和H 2S 溶液（浓度为0.10 mol·dm -3）中H ＋ 和S 2-浓度，若用HCl 调节溶液的pH
为2.0，此时溶液的S 2-浓度又是多少，计算结果说明了什么。
（已知：H 2S 的 K a1，H 2S = 8.1×10-8 ，K a2，H 2
S = 1.1×10-12 ）
解：⑴该溶液为二元酸溶液，[H +]按一元酸计算，[S 2-]则需从第二部电离计算， 8$S H ,101.821-?=a K ，12$S H ,101.1231-?=a K 。68
$,101.1101.81.021?=?=-S H a K c
≥ 500 5
8,11054.91.0101.9]H [2--+?=??=?=c Ka S H （mol 〃L -1） [S 2-] ＝12$S H ,101.1231-?=a K （mol 〃L -1
） ⑵ H 2S ＝H + + HS -, ]S H []][H HS [2$S H ,21+-=a K
，HS - ＝H + + S 2-，]HS []][H S [-2$S H ,22+-=a K 。
则 ]S H []][H S [222$S H ,$S H ,2221+-=?a a K K
，
已知[H 2S] ＝ 0.1 mol 〃L -1, pH ＝2 , [H +]＝ 0.01 mol 〃L -1,
162
1272S H $S
H $S H ,a 2100.1)01.0(1.0101.1101.9]H []S [22,221---+-?=????=??=c K K a ( mol 〃L -1)
答：计算结果表明，当用HCl 调节溶液的pH 为2.0时，由于[H +]增大，抑制了H 2S 的第一步
电离。
57. 今有一与大气接触，含Ca 2＋的溶液，已知[Ca 2＋] =1.0×10-3mol/dm 3,问在250C 时，该溶
液的pH 至少是多少时，才有CaCO 3沉淀生成？（已知250C 和CO 2压力为P
θ时，CO 2饱和溶液H 2CO 3的浓度为0.035mol/dm 3，大气中CO 2分压为30Pa ，H 2CO 3的K a1=4.3×10-7, k a2=5.6×
10-11,K sp,CaCO 3
= 8.7×10-9 ）
58.若将浓度为0.20mol ·dm -3的HAc 溶液和浓度为0.20mol ·dm -3的NaOH 溶液等体积混合，
计算该混合溶液的pH 值。已知HAc 的Ka=1.76?10
-5 HAc + NaOH = NaAc + H 2O
始浓／mol/L 0.10 0.10 0
终浓／mol/L 0 0 0.10
因为HAc 的Ka=1.76?10-5 所以：
Ac -的Kb=1.0?10-14/1.76?10-5 = 5.68?10-10 …
又因为C/K=0.10/5.68?10-10>>500, … … …
所以[OH -]=（K b C ）1／2=（0.1?5.68?10-10）1／2 = 7.54?10-6 mol/L
POH = - log (7.54?10-6 )=5.12 ……
PH=14 –5.12=8.88
59. 在含有0.10 mol·dm -3 Fe 2＋和0.10 mol·dm -3 Cu 2＋的混合溶液中，不断通入H 2S 气体，
是否会有FeS 沉淀生成？已知：Ksp （CuS ）＝1.27×10-36， Ksp （FeS ）＝1.3×10
-18 Ka 1 （H 2S ）＝ 9.1×10-8
， Ka 2 （H 2S ）＝ 1.1×10
-12 解 CuS sp,K ＝1.27×10-36，FeS sp,K ＝1.3×10-18
因此，先生成CuS 沉淀。
由于CuS sp,K 远小于 FeS sp,K ，因此在FeS 生成前，Cu 2＋已经沉淀完全。
因为 Cu 2+(aq)＋ H 2S(aq) CuS(s) +2H +(aq)
因此，当CuS 沉淀完全时，[H +] ≈0.20 mol 〃L -1
21
21282a a 22103.2)2.0(101.1101.91.0][H S][H ]S [21---+-?=????==K K (mol 〃L -1)
FeS ,c Q ＝ c (Fe 2+)〃c (S 2-) ＝ 0.1×21103.2-?＝22103.2-?＜FeS sp,K
因此，尽管不断通入H 2S 气体，溶液中仍不会有FeS 沉淀生成。
60. 在CO 2的水溶液中，CO 2的浓度为0.034 mol·L -1，设所有溶解的CO 2与水结合成H 2CO 3，
计算溶液的pH 和CO 32-浓度。（已知K a1 H 2CO 3 =4.30×10-7，K a 2 H 2CO 3
=5.61×10-11）
61.试判断下列反应：
N 2（g ）＋ 3 H 2 (g ) == 2 NH 3 ( g) , ( 已知 △⊿f G ? NH 3 ( g) = －16.45 kJ/ mol )
( 1 ).298.15 K 、标准状态下能否自发进行？
( 2 ).计算 298.15 K 时该反应的平衡常数 K ?。
解：（1）⊿r G ? = ∑⊿f G ? (产物 ) － ∑⊿f G ? (反应物 )
= (－16 . 45 kJ / mol ) × 2 = －32 . 90 kJ/ mol < 0
所以. 该反应在298 . 15 K 、标准状态下能自发进行。
（2）.在公式⊿ r G ? (T) = －R T Ln K ? (T) 中，已知 T = 298.15 K 则，
Ln K ? (298.15K ) =－(－32 . 90 × 103 J / mol ) / ( 8 . 314 J / mol × 298 . 15 K ) = 13 . 27
62. （15分）试计算用0.1000 mol ·L -1 NaOH 滴定0.05000 mol·L -1 H 3PO 4 20.00 ml ，当NaOH 的体积分别为10.00 ml 和15.00ml 时溶液的pH 值。[已知H 3PO 4的 K a1=7.6×10-3，K a2=6.23×10-8，K a3=4.4×10-13]
63、在1升6.0mol·L -1的氨水中溶解0.10mol 的AgCl 。
（1）溶液中[Ag + ]等于多少?
（2）加入2.0mol 的KCl 后，是否有AgCl 沉淀产生?
已知K 稳 [(Ag(NH 3 )2 )+ =1.1×107 K sp (AgCl)=1.56×10-10
解：（1）AgCl + 2NH 3 = [(Ag(NH 3 ) 2 )+ + Cl -
6-0.2 0.1 0.1
Ag + + 2NH 3 = [(Ag(NH 3 ) 2 )+
x 6-0.2 0.1 (mol.dm-3)
5.82×x/0.1 = 1.1×10-7
x=0.1×1.1×10-7/5.82
=3.27×10-10 (mol.dm-3)
(2) 加入2.0 mol KCl后，[Cl-]=2.1 mol.dm-3
此时：Q=[Ag+].[Cl-]
=3.27×10-10×2.1
=6.86×10-10>Ksp
有氯化银沉淀。
64、在浓度为0.1mol/L的AgNO
3
溶液中，加入浓度为6mol/L等体积的氨水，
求溶液中Ag＋，[Ag(NH
3)
2
]＋及NH
3
·H
2
O浓度。(K
f
[Ag(NH
3
)
2
]＋＝1.7×107 )
解：平衡反应式：[Ag]+ + 2NH
3 = [Ag(NH
3
)
2
]+
平衡浓度： x 3-0.1+2x 0.05-x ( mol/L )(x可忽略) [Ag+] = x = 0.05/(1.7×107×2.92)=3.5×10-10 (mol/L)
[Ag(NH
3)
2
+]= 0.05(mol/L)
[NH
3
] = 2.9 (mol/L)
三、是非题
21*、一定体积的干燥空气从易挥发的三氯甲烷液体中通过后，空气的体积变大，空气分压变小。（）
22、某一反应物的转化率越大, 则该反应的平衡常数也越大。（）
23*、C(s) + O2 (g) = CO2 (g)是个熵增加（△rS?＞0）的反应。（）
24*、活化能的大小不一定总能表示一个反应的快慢，但可表示反应速率常数受温度影响的大小。（）
25*、在氢原子中，2S和2P轨道是简并轨道，其简并度为4；在氧原子中，2S和2P轨道不是简并轨道。（）
26、Pb2+离子的价电子层结构是6s26p2。 ( )
27、色散力只存在于非极性分子之间。（）
28、按照分子轨道理论判断，物质O2+、O2 、O2-和O22-的成键电子数依次增多，键的稳定
性也依次增大。（）
29*、在金属的体心立方紧密堆积中，其空间利用率为68.02%。（）
30、PbI2和CaCO3的溶度积均近似为10-9，则两者的饱和溶液中Pb2＋的浓度与Ca2＋的浓度近
似相等。（）
31、对于一定量的混合气体来说，恒温下体积变化时，各组分气体的物质的量亦发生变化。（）32*、如果用平衡常数代表化学反应的可逆程度，那么，平衡常数很大或很小的反应都是可逆程度很小的反应。（）
33、同一化学反应，如Zn＋CuSO4 == ZnSO4＋Cu，一是直接在试管中进行，二是使反应构成
原电池。如果体系的始终态相同，则反应的热效应亦相同。（）
34、反应速度常数只与温度有关，因此，温度相同时，各反应速度常数均相等。（）
35、一个原子中，量子数n= 3、l = 2、m= 0的轨道中允许的电子数最多可达6个。（）
36*、在各类原子轨道中，s轨道的钻穿能力最强。（）
37、HF分子间氢键比H2O分子间氢键更强些，所以，HF的沸点及汽化热比H2O的沸点及汽化
热更高。（）
38*、在N2、O2、F2、分子中，反键分子轨道上电子的数目以N2＜O2＜F2顺序而增加。（）39、MgO与NaF都是典型的离子化合物，晶体构型亦相同，并且离子半径r（Mg2+）≈r（Na+）、
r（O2-）≈r（F-），故两者的熔点相近。( )
40*、[Fe(H2O)6]3＋与[Fe(H2O)5(OH)]2＋、HCO3- 与CO32- 互为共轭酸碱。（）
41、1mol 0.5H2SO4和0.5mol H2SO4的含义是不同的，它们的质量也不相同。（）
42*、基元反应的逆反应也是基元反应。（）
43、白磷和臭氧都是单质，它们的△f H?等于零。（）
44、正、逆反应的活化能数值相等，符号相反。（）
45*、在氢原子中，2S和2P轨道是简并轨道，其简并度为4；在氧原子中，2S和2P轨道不是简并轨道。（）
46*、电子云是波函数│Ψ│2在空间分布的图象。（）
47、O2＋的键级是2.5， O2 的键级是2.0 , 所以O2的键能比 O2 ＋的键能大。（）
48*、在PX3分子中，键角依PF3、PCl3、PBr3、PI3的顺序逐渐变大。（）
49*、稀有气体不能形成双原子分子。（）
50、因为Ag2CrO4的Ksp（2.0×10-12)小于AgCl的Ksp (1.6×10-10)，所以Ag2CrO4必定比AgCl
更难溶于水。（）
51*. 对于没有气体参加的可逆反应来说，压力的改变一般不会使平衡发生移动。（）52. 化学反应达到平衡时，反应物与产物的浓度相等。（）
53*. 一个反应达到平衡的标志是各物质浓度不随时间而改变。（）
54. 化学反应速率通常随时间的增加而减小。（）
55. 色散力只存在于非极性分子之间。（）
56*. HAc在水溶液中是一种弱酸，但在液氨溶液中是一种强酸。（）527. 在NaCl型晶体中,阴阳离子的配位数比为8:8。（）59.价层电子对互斥理论认为：两对孤电子对间的斥力比两对成键电子对间斥力小。（）60*．电子云的角度分布图是波函数角度部分的平方Y2(θ,φ)随(θ,φ)变化的图形。（）
61*.稳定单质的?f H?m、?f G?m均为0。（）62.H2(g)+ 1/2 O2(g) = H2O(l) 与2H2(g)+ O2(g)=2H2O(l) 的?r H?m 相同。（）
63*.原子轨道进行杂化时, 形成的杂化轨道数等于参与杂化的原子轨道数。（）64*.金属晶体的面心立方紧密堆积中，配位数为12。（）65.在价层电子对互斥理论中，电子对相互间的排斥作用与电子对间的相距角度有关，相
距角度越小则排斥作用越小。（）
66.同温同压下,同体积的气体含有相同数目的原子。（）
67.道尔顿分压定律可在低温或高压的条件下应用。（）
68.标准平衡常数随起始浓度不同而不同。（）
69.将弱酸稀释时，弱酸解离度增大，所以氢离子浓度增大。（）
70.凡是中心原子采用sp3杂化轨道成键的分子，其分子的空间构型都是正四面体。 ( )
71. 在PH3、N2、SiO2、乙烯和乙烷各物质的化学键中，既有σ键又有π键。（）72．正反应的活化能与逆反应的活化能数值相同正负号相反。（）73． MgO与NaF都是典型的离子化合物，晶体构型亦相同，且离子半径r（Mg2＋）≈r（Na＋）、
r（O2-）≈r（F-），故两者的熔点相近。 ( )
74*. 0.l mol·dm-3NaCl溶液比0.l mol·dm-3葡萄糖水溶液的沸点高。（）75．稳定单质的S?m为0。（）
76*．利用吉布斯公式△r G?m＝△r H?m- T△r S?m进行计算时，△r H?m和△r S?m可近似代入298K 的数值，而温度应使用指定的反应温度。（）
77*. 已知Ka(HAc)大于Ka(HCN)，所以CN－是比Ac－更强的碱。（）78．对于一切化学反应来说，若反应物浓度加倍，则反应速率也将加倍。（）79．凡中心原子采用sp3杂化轨道成键的分子，其空间构型均为正四面体。（）80*. AgCl在1.0 mol·dm-3NaCl溶液中的溶解度要小于在纯水中的溶解度。（）
课件例题与习题
第二章 例题： 1、某人投资一项目200，000元，期限4年，要求回报率为12%，计算4年后应得到的本利和。 2、某项投资4年后可以取得100，000元的收入，年利率为12%，计算其收入的现值。 3、C公司每年末向银行借款20000元,年利率为10%,计算其第四年末应归还的本息为多少? 4、现在存入银行一笔钱，准备在以后五年中每年末得到10000元，如果利息率为10％，现在应存入多少钱？
5、某人每年年初存入银行1000元，银行存款年利率为8％，问第10年末的本利和应为多少？ 6、某企业租用一设备，在10年中每年年初要支付租金5000元，年利息率为8％，问这些租金的现值是多少？ 7、某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利息率为8％，银行规定从第四年起，每年年末偿还本息1000元，至第9年末还完，问这些款项的现值应为多少？ 8、某企业拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发3万元奖学金，若利息率为6％，问企业目前应为其至少准备多少钱？
练习： 1、某人参加一项少儿人寿保险，保险公司给出的方案如下：从出生开始至14周岁止每年年末交存360元。如果年收益率为8%。 （1）计算14周岁末的终值； （2）如果保费可以在参加保险时一次性交纳，问一次性应交纳多少？ 2、某人年初存入银行1万元，年利率4％。要求计算： （1）每年复利一次，5年后账户余额是多少？ （2）每半年复利一次，5年后账户余额是多少？ （3）如果该人分5年每年末都存入相等金额，每年复利一次，则为达到本题第一问所得账户余额，每年末应存多少钱？ （4）如果该人分5年每年初都存入相等金额，每年复利一次，则为达到本题第一问所得账户余额，每年初应存多少钱？
圆经典例题精析
圆经典例题精析 考点一、圆的有关概念和性质 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( ) (A)4个(B)3个(C)2个(D)1个 【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念， 【思路点拨】其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对. 【答案】B. 2．下列判断中正确的是( ) (A)平分弦的直线垂直于弦 (B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 (C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 (D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【考点】垂径定理 【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径； B理由同A；D中平分弧的直线的直线应过圆心. 【答案】C. 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60°，则( ) (A)(B) (C)的度数=的度数(D)的长度=的长度 【思路点拨】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB=∠A′OB′，所以的 度数=的度数. 【答案】C. 4．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130°
【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补. 【思路点拨】可连结OC，则由半径相等得到两个等腰三角形， ∵∠A+∠B+∠ACB=360°-∠O=260°，且∠A+∠B=∠ACB，∴∠ACB=130°. 或在优弧AB上任取一点P，连结PA、PB，则∠APB=∠O=50°， ∴∠ACB=360°-∠APB =130°. 【答案】D. 总结升华：圆的有关性质在解决圆中的问题时，应用广泛，运用简便. 举一反三： 【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____. 【考点】垂径定理. 【思路点拨】本题可用几何语言叙述为：如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长. 【解析】由题意可知：CD⊥AB，AD=BD，且圆心O在CD的延长线上.连结OA， 则OD===5(米).所以CD=13-5=8(米). 【答案】8米. 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD=__________°. 【考点】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°. 【思路点拨】AB是直径，则∠ADB=90°，∠ACD=∠ABD=15°，可求得∠BAD. 【答案】75°. 【变式3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长. 【解析】因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=(1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF
一道课本例题的探究开发
一道课本例题的探究开发 663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇 课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨. 题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形. (1)相似吗？与ABC ASR ?? (2)求正方形PQRS 的边长. 分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ?∽ABC ?.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解. 解：（1）ASR ?∽ABC ?.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ?∽ABC ? . （2）由（1）可知ASR ?∽ABC ?.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得 设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得： 所以正方形PQRS 的边长为24cm. 此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页 .BC SR AD AE =，cm χ. 24=χ60 4040χχ= -
的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。 变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。 分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长. 解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF. 所以△AHG ∽△ABC. 所以 则 解得： 所以矩形EFGH 的周长为56cm. 变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。求正方形HEFG 的面积。 分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。 . AD AN BC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=. 2=χ
例题与习题1
一、简答题： 31、比较 H2O分子和 NH3 分子键角的大小并说明原因。 32、能否说“溶度积大的化合物其溶解度肯定大”，为什么？（p339例10-2） 33、解释事实：HgCl2为白色，在水中溶解度较大；HgI2为黄色或红色，在水中溶解度较小； 34、已知氮、氢、氟的电负性分别为：X N=3.04、X H=2.2、X F =3.98，NH3分子中键 角∠HNH = 106.6°、NF3分子中键角∠FNF = 102°。解释：（p102） （1）NH3分子键角大于NF3分子键角；（2）NH3分子偶极矩大于NF3分子偶极矩。 35、（1）解释SiO2的熔点高于SO2；（原子晶体与分子晶体）（2）已知离子Be2＋、O2－、Li ＋和F－的离子半径依次为35 pm、132 pm、68 pm和133 pm。解释BeO 的熔点高于LiF。 (晶格能、离子键能) 36*、已知△f G?(NO) = 86.6 kJ·mol－1，试判断反应N2＋ O2 = 2NO在室温和101.3kPa下能否自发进行？ 37*. 决定化学反应自发性的因素有哪些？什么情况下温度对化学反应自发方向有影响？ 38*.已知反应 2C（s） + O2（g）= 2CO（g）的自由能变（?r G?m）与温度（T）的关系为：?r G?m /kJ.mol-1 = - 232600 – 168 T/K 故可说,随反应温度的升高, ? r G?m更负，反应会更彻底。此说法正确吗？为什么 39*．什么叫可逆反应和不可逆反应? 标准平衡常数K?的物理意义是什么? 40. 举例说明缓冲溶液是如何发挥其缓冲作用的？ 41. 已知O3、NO2-、CO2的键角分别为1170、1160和1800，运用所学的分子结构方面的知识， 讨论它们的中心原子轨道的杂化类型和大π键的类型，并且画图表示。(p90) 42．电子能层与能级组有何不同？ 43. 共价键饱和性与方向性的根源是什么？(p87) 44. BF3是平面三角形而NF3却是三角锥形，试用杂化轨道理论加以说明。(p88) 45.为什么He＋中3S和3P轨道的能量相等,而在Ar＋中的3S和3P轨道的能量却不相等? 46．用MO法判断O2＋，O2，O2-，O22- 键的稳定性和磁性的大小，并说明原因。(p97) 47．核外电子运动有哪些基本特点？(3个p64) 48.已知Cd2＋的半径为97pm，S2- 的半径为184pm，解释为什么CdS不是 NaCl 型晶格，而 是ZnS 型晶格？ 二、计算题： 51、在1.0 L 、0.10 mol·dm－1氨水溶液中，应加入多少克NH4Cl 固体才能使溶液的 pH 值等于9.00。（忽略固体的进入对溶液体积的影响 , K b[NH3·H2O]= 1.76×10－5 ，NH4Cl的分子量为53.50 ） 解：溶液的pH 值等于9.00，则 C （OH－）== 1.0×10－5 mol / L 假设在1.0 L 、0.10 mol / L氨水溶液中，应加入x mol 的NH4Cl (s) 则：NH3· H2O === NH4＋＋OH－ [平衡] / mol / L ：0. 10－1. 0×10－5 x＋1. 0×10－5 1. 0×10－5 [NH4＋] [ OH－]/[ NH3· H2O ] ==κb ( x＋1. 0×10－5 ) ( 1. 0×10－5 ) / ( 0. 10－1. 0×10－5 ) == 1.76 × 10-5 X = 0.176 mol / L 应加入的NH4Cl固体的质量为： 0. 176 mol / L × 1L × 53. 5 g ·mol－1 = 9 . 416 g 。
圆周运动典型例题学生版(含答案)
圆周运动专题总结 知识点一、匀速圆周运动 1、定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的 相等，这种运动就叫做匀速周圆运 动。 2、运动性质：匀速圆周运动是 运动，而不是匀加速运动。因为线速度方向时刻在变化，向 心加速度方向，时刻沿半径指向圆心，时刻变化 3、特征：匀速圆周运动中，角速度ω、周期T 、转速n 、速率、动能都是恒定不变的；而线速度 v 、加速度a 、合外力、动量是不断变化的。 4、受力提特点： 。 随堂练习题 1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．匀速圆周运动是匀速运动 B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C ．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动 D ．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 2.关于向心力的说法正确的是（ ） A ．物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B ．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小 C ．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力 D ．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力 3.在光滑的水平桌面上一根细绳拉着一个小球在作匀速圆周运动，关于该运动下列物理量中 不变的是（A ）速度 （B ）动能 （C ）加速度 （D ）向心力 知识点二、描述圆周运动的物理量 ⒈线速度 ⑴物理意义：线速度用来描述物体在圆弧上运动的快慢程度。 ⑵定义：圆周运动的物体通过的弧长l ?与所用时间t ?的比值，描述圆周运动的“线速度”， 其本质就是“瞬时速度”。 ⑶方向：沿圆周上该点的 方向 ⑷大小：=v = ⒉角速度 ⑴物理意义：角速度反映了物体绕圆心转动的快慢。 ⑵定义：做圆周运动的物体，围绕圆心转过的角度θ?与所用时间t ?的比值 ⑶大小：=ω = ，单位： （s rad ） ⒊线速度与角速度关系： ⒋周期和转速： ⑴物理意义：都是用来描述圆周运动转动快慢的。 ⑵周期T ：表示的是物体沿圆周运动一周所需要的时间，单位是秒；转速n （也叫频率f ）： 表示的是物体在单位时间内转过的圈数。n 的单位是 （s r ）或 （m in r ）f 的单位：
新初中数学圆的经典测试题含答案
新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是( ) A ．勒洛三角形是轴对称图形 B ．图1中，点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确； 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误； 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解． 2．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为
一道课本例题的探究与拓展
在运动中探索在变化中思考 江苏省东台市五烈镇中学杨荫林 （获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖） 摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。 在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。 关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。 普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。 一. 原题中两圆内切 命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD. B D 如图1 如图2 变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有 命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC. 设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立? (1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC; (6)S ⊿ACE :S ⊿BCF =PE:PF． 变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有 命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD
5-例题与习题
第五章 相似矩阵和二次型 ? 要点和公式 ? 1 向量的内积 [定义] n 维向量???? ?? ? ??=??????? ??=n n b b b a a a M M 2121 ,βα的内积为 []αββαβαT T ==,n n b a b a b a +++=Λ2211 向量内积的性质（设α,β,γ是n 维向量，k 为实数） ①[][]αββα,,= ②[][] ,,βαβαk k = ③[][][]γβγαγβα,,,+=+ ④0],[≥αα，等号成立当且仅当0=α. []],[],[,2ββααβα?≤ (Cauchy-Schwarz 不等式) 2 向量的长度 [定义] n 维向量???? ?? ? ??=n a a a M 21α的长度(范数)为 2 2221],[n T a a a +++===Λααααα 向量长度的性质 ①0≥α，等号成立当且仅当0=α ② αα?=k k ③βαβα+≤+ (三角不等式) 3 正交向量 非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα 零向量与任何向量正交 非零正交向量组是线性无关的 齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成的集合 一组两两正交的单位向量r ααα,,,21Λ称为正交单位向量组，即 [] ,0 ,1 ? ??≠==j i j i j i 若若，αα 若正交单位向量组r ααα,,,21Λ是向量空间的基，则称之为规范正交基。 4 正交矩阵 [定义] 若A 为方阵，且E A A =T (或E AA =T ，或T A A =-1 )， 则称A 为正交矩阵. 正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则 ①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1 n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基). 4 矩阵的特征值和特征向量 [定义] 设A 是方阵，若Ax =λx (其中λ是数，x 是非零向量)，则称数λ是A 的特征值，非零向量x 是A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量. 凡是使得0=-E A λ的λ值都是矩阵 A 的特征值； A 的属于特征值λ0的全体特征向量是O x E A =-)(0λ的解集合中除零向量外的全体解向量，其最大无关组含有)(0E A λ--R n 个线性无关的特征向量. n 阶对角阵或上(下)三角阵的特征值就是其n 个主对角元. 设n 阶方阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21Λ，则 ①)(tr 21A =+++n λλλΛ [tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹] ②A =n λλλΛ21 若21,ξξ都是A 的属于特征值λ0的特征向量，则2211ξξk k +(其中k 1, k 2为任意常数，但O ξξ≠+2211k k )也是A 的属于特征值λ0的特征向量. 设λ0是方阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量， 则，① k λ0是k A 的一个特征值； ②m 0λ是m A 的一个特征值； ③)(0λ?是)(A ?的一个特征值； [其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=--Λ?是关于变量x 的k 次多项式，E A A A A 0111)(c c c c k k k k ++++=--Λ?] ④若A 可逆，则1 0-λ是1-A 的一个特征值. 并且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λ?,1 0-λ的特征向量. A 和A T 有特征值相同(特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。 如果λ0是n 阶方阵A 的一个k 重特征值，则k ≥ n -R (A -λ0E )，即，k ≥ 属于λ0的线性无关的特征向量的最大个数. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 设A 有m 个不同的特征值:m λλλ , , ,21Λ，属于λi 的线性无关的特征向量有r i 个(i =1,2,…,m )，则所有这些向量(共m r r r +++Λ21个)构成的向量组是线性无关的. 5 相似矩阵 [定义] 若P -1AP =B (其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似. 矩阵的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性 若存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B (即A 和B 相似)，则 ① P -1(k A )P =k B (即k A 和k B 相似) ② P -1A m P =B m (即A m 和B m 相似)； ③ P -1?(A )P =?(B ) [即?(A )和?(B )相似] ④ 若A 可逆，则B 也可逆，且P -1A -1P =B -1 (即A -1和B -1相似) 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。 若A 和B 相似，则①R (A )=R (B )；②B A =
圆周运动经典习题带详细答案
1. 在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重 力加速度为g ＝10 m/s 2 ，若已知女运动员的体重为35 k g ，据此可估算该女运动员( ) A ．受到的拉力约为350 2 N B ．受到的拉力约为350 N C ．向心加速度约为10 m/s 2 D ．向心加速度约为10 2 m/s 2 图4－2－11 2.中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在某区湘府路上的离奇交通事故． 家住公路拐弯处的先生和先生家在三个月连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图4－2－12所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( ) A ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 B ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动 C ．公路在设计上可能(东)高外(西)低 D ．公路在设计上可能外(西)高(东)低 图4－2－12 3. (2010·部分重点中学联考)如图4－2－13所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长 略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( ) A ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2πR g B ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2πR g C ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg D ．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于2mg 图4－2－13 4.图示所示, 为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转 速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说确的是( ) A ．从动轮做顺时针转动 B ．从动轮做逆时针转动 C ．从动轮的转速为r 1r 2n D ．从动轮的转速为r 2 r 1 n
初三数学圆经典例题
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E
电阻应变片例题与练习题
电阻应变片传感器例题与习题例题：
例2-3 采用阻值为120Ω灵敏度系数K =的金属电阻应变片和阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大。当应变片上的应变分别为1和1 000时，试求单臂、双臂和全桥工作时的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解：单臂时40U K U ε=，所以应变为1时660102410244--?=??==U K U ε/V ，应变为1000时应为330102410244--?=??==U K U ε/V ；双臂时2 0U K U ε=，所以应变为1时 6 6 01042 10242--?=??==U K U ε/V ，应变为1000时应为 33 010*******--?=??==U K U ε/V ；全桥时U K U ε=0，所以应变为1时 60108-?=U /V ，应变为1000时应为30108-?=U /V 。从上面的计算可知：单臂时灵敏度
最低，双臂时为其两倍，全桥时最高，为单臂的四倍。 例2-4 采用阻值R=120Ω灵敏度系数K=的金属电阻应变片与阻值R=120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V。当应变片应变为1000时，若要使输出电压大于10mV，则可采用何种工作方式（设输出阻抗为无穷大） 解：由于不知是何种工作方式，可设为n，故可得： 得n要小于2，故应采用全桥工作方式。 例 2-5 解：（1）沿纵向粘贴时： 由 112 10t E0.49 E210N/m σ σεεμε =??=== ? ， 6 R R R K K20.490.9810 R ε ε - ? ? =?=?=?=? （2）沿圆周向粘贴时： 66 R 0.30.49100.14710 R με-- ? =-=-??=-? 例2-6 解： 按题意要求圆周方向贴四片相同应变片，如果组成等臂全桥电路，当四片全感受应变 时，桥路输出信号为零。故在此种情况下，要求有补偿环境温度变化的功能，同时桥路输出 电压还要足够大，应采取两片 3 1 R R、贴在有应变的圆筒壁上做敏感元件，而另两片 4 2 R R、
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
初三圆的典型例题
圆典型例题精选 【例题1】如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【例题2】如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由． 【例题3】已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）请说明：∠ACO=∠BCD ． （2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 【例题4】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ， BC ∥AD ，AC 与BD 相交于点E ，在不添加 任何辅助线的情况下： (1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中 一对全等三角形进行证明． (2) 若BD 平分∠ADC ，请找出图中与△ABE 相似的所有三角形 （全等三角形除外）． 【例题5】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3． （1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？ （2）若点O 沿线段CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？ E B D C A O 第 1 题图 图9 E D B A O C
【例题6】推理运算：如图，AB 为圆○直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．OCD ∠的平分线CE 交圆○于E ，连结OE ． （1）请说明：E 为弧ADB 的中点； （2）如果圆○的半径为1，3CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为 12 ． 【例题7】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC ?交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形． 【例题8】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线． 【例题9】已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为2 2 π， 求弦AD 、AC 的长． 【例题10】如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆○交AC 于点 E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切； （2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ． A B O C P M 图4 A B C D ·O 45° A B D E O C H B D C E A O
一道课本例题引发的探究
一道课本例题引发的探究 【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。 【关键词】例习题 问题 探究 引申 高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。 一、问题的提出 （选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-9 4 ，求点M 的轨迹方程。 解答：（略） 本题由学生用直译法做，没有太大的问题。 二、问题的引申 1、逆向思维，大胆猜想： 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？ 猜想1：椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一 点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值. 解答：（略） 有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。 2、大胆假设，归纳引申：
先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？ 我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。 问题：椭圆22 132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --2222 111,13232 x y x y ∴+ =+=,两式相减得: 22221132x x y y --∴=, 22122 12 3 y y x x -∴=-- 22111221112 3 PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-∴?=?==- -+- 让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。 命题1: 椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点P 与过中心的弦AB 的两 端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，则直线PA PB 、的斜率之积 为定值. 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --1,122122122 22=+=+∴b y a x b y a x ,两式相减 得: 22122212b y y a x x --=- 22 2 12212a b x x y y -=--∴ 22 1111a b x x y y x x y y K K PB PA -=++?--=?∴为定值. 3、极限思想，知识串联； G ?波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。 这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题.
实数经典例题与习题 竞赛
经典例题 类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有 （） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数 故选C 举一反三： 【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， ∵=9，9的平方根是±3，∴A正确． ∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确． 【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C． 【变式3】 【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴ 类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B.
C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三： 【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），， 【变式2】求下列各式中的 （1）（2）（3） 【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4 类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ 解析：在数轴上找到A、B两点， 举一反三： 【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）． A．－1 B．1－ C．2－ D．－2 【答案】选C [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】： 类型四．实数绝对值的应用
圆的知识点总结及典型例题.
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2
初三数学-有关圆的经典例题
初三数学有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况 讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示， 过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D， （1）求证：△ABC是直角三角形； 分析： 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；
（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E 又∵AD=DC ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA 例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（） 分析： 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，
∵ 在△AFB中，有AF+FB>AB ∴选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD，∴AB>CE ∴选A。 例 4. 求CD的长。 分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长 AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD